2023-2024學年高一下學期第三次月考數學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時．選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時．將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內容：人教A版必修第二冊第六章至第八章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.如圖，在正三棱錐中，分別為的中點，則異面直線與所成的角為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由可得，是異面直線與所成的角，進而求即可.【詳解】因為分別為的中點，所以，則是異面直線與所成的角.因為三棱錐為正三棱錐，所以是等邊三角形，于是.故異面直線與所成的角為.故選：A.2.已知在中，，則外接圓的周長為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據正弦定理求得三角形外接圓的半徑，進而得到三角形外接圓的周長.【詳解】設外接圓的半徑為，根據正弦定理可得，則，故外接圓的周長為，故選：D.3.用斜二測畫法畫三角形OAB的直觀圖，如圖所示，已知，，則（）A.B.C.2D.4【答案】B【解析】【分析】在直觀圖中，計算出，從而得到.【詳解】畫出三角形OAB的原圖，如圖所示：在直觀圖中，，，由勾股定理得，則在原圖中，．故選：B4.如圖所示，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】確定好基底，由向量的加減法的運算性質解出即可.【詳解】.故選：C5.下列命題是真命題的是（）A.上底面與下底面相似的多面體是棱臺B.若一個幾何體所有的面均為三角形，則這個幾何體是三棱錐C.若直線在平面外，則D.正六棱錐的側面為等腰三角形，且等腰三角形的底角大于【答案】D【解析】【分析】對A、B選項，舉反例即可得出A、B錯誤；對C選項，直線在平面外，包含兩種情況：或直線與平面相交，故C錯誤；對D選項，用排除法也可以得出，D正確.【詳解】對A選項，正方體的上底面與下底面相似，但正方體不是棱臺，A錯誤；對B選項，如圖所示的幾何體所有的面均為三角形，但該幾何體不是三棱錐，B錯誤；對C選項，若直線在平面外，則或直線與平面相交，C錯誤；對D選項，正六棱錐的側面為等腰三角形，設其.中一個側面為，其中，因，所以，D正確.故選：D.6.已知某圓柱的軸截面是面積為4的正方形，則該圓柱的內切球的體積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依據題意求出內切球半徑，再利用體積公式計算體積即可.【詳解】依題意可得該圓柱的底面半徑為1，高為2，易得該圓柱的內切球的半徑為1，則該圓柱的內切球的體積為．故選：B7.已知，且．則在上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用給定條件結合投影向量的定義求解即可.【詳解】如圖，依題意可得點O為的外心．因為，所以，所以，則四邊形為菱形．設，則．因為，所以在上的投影向量為．故選：A.8.是內一點，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】在中，分別使用正弦定理，結合化簡整理即可得解【詳解】因為，所以，設，因為，所以．在中，由正弦定理可得，則，即，即，解得．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.若，則下列結論正確的是（）A.若為實數，則B.若，則C.若在復平面內對應的點位于第一象限，則D.若，則【答案】AD【解析】【分析】A選項，根據復數的類型得到方程，求出；B選項，利用復數除法法則計算出，從而得到方程組，求出答案；C選項，由所在象限得到不等式組，求出；D選項，計算出，利用復數模長公式求出答案.【詳解】A選項，若為實數，則正確.B選項，若，則，則解得錯誤.C選項，若在復平面內對應的點位于第一象限，則解得，錯誤.D選項，若，則，解得，則正確.故選：AD10.已知銳角的內角的對邊分別為若，則的值可能為（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用正弦定理可得，進而可知，結合三角恒等變換化簡得，結合正弦函數分析求解.【詳解】因為，由正弦定理得，即.又因為是銳角三角形，即，可知.由，解得，則，且，可知，則，所以的取值范圍為.結合選項可知：AC錯誤，BD正確；故選：BD.11.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正方體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，，點的曲率為分別為的中點，則（）A.直線平面B.在三棱柱中，點的曲率為C.在四面體中，點的曲率小于D.二面角的大小為【答案】ABD【解析】【分析】利用面面平行的判定性質判斷A；利用曲率的定義計算判斷BC；作出二面角的平面角并求得其大小判斷D【詳解】對于A，取的中點，連接BG，FG，由D，E，F分別為的中點，得，而平面，平面，則平面，又，則四邊形為平行四邊形，，而平面，平面，則平面，又，平面，于是平面平面，由平面BFG，得平面，A正確；對于B，直三棱柱中，，則點的曲率為，解得，由，得，而，因此點的曲率為，B正確；對于C，過作，交的延長線于，連接，由平面ABC，平面ABC，得，，平面，則平面，平面，因此，，，又，則，，在四面體中，點的曲率為，C錯誤；對于D，由選項C知，為二面角的平面角，又，則，所以，D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.復數的虛部為______．【答案】2【解析】【分析】利用復數的運算法則求解出復數，再利用虛部的定義得到答案即可.【詳解】因為，所以復數的虛部為2．故答案為：213.如圖，為了測量某建筑物的高度OP，測量小組選取與該建筑物底部在同一水平面內的兩個測量基點與.現測得米，20米，在測量基點測得建筑物頂點的仰角為，則該建筑物的高度OP為____________米.【答案】【解析】【分析】由余弦定理得，進一步結合銳角三角函數即可得解.【詳解】在中，由余弦定理可得，則OA米.中，米.故答案為：.14.如圖，在長方體中，是線段上異于的一點，則的最小值為____________.【答案】【解析】【分析】將側面沿著旋轉至與平面在同一平面上，則的最小值為，解三角形求出即可.【詳解】將側面沿著旋轉至與平面在同一平面上，連接，如圖所示：由長方體結構特征，易得，由，，所以，由，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，15.已知向量.（1）若，求的值.（2）設，向量與的夾角為，求的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若，時，，代入求解即可；（2）根據，求出，再分別求出、、、，進而得到的大小.【小問1詳解】若，則，解得.【小問2詳解】因為，所以，即，解得，所以，，，故，因為，所以.16.在中，.（1）求角的大小；（2）若在邊上，，且，求的面積.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理及余弦定理化簡即可得出所求角；（2）由正弦定理求出，再由三角形的面積公式求解.【小問1詳解】由題意得，即，由正弦定理得，由余弦定理得.因為，所以.【小問2詳解】如圖，因為，所以.在中，由正弦定理得，解得，則或（舍去），得，則.故.17.如圖．在正方形ABCD中，P，Q分別是AB，BC中點，將分別沿PD，PQ，DQ折起，使A，B，C三點重合于點M．（1）證明：MD⊥平面MPQ（2）證明：點M在平面PDQ的投影為的垂心．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）在正方形ABCD中，，，折起后，可得，,即可證得平面MPQ；（2）點M在平面PDQ的投影為O，則平面PDQ，連接DO并延長DO與PQ交于點F，連接QO并延長QO與PD交于點E，可得平面MPD，進而證得平面MOQ，則，同理可證，所以點M在平面PDQ的投影為△PDQ的垂心．【小問1詳解】因為在正方形ABCD中，，，所以折起后，重合為,可得，,為，又平面MPQ，所以平面MPQ．【小問2詳解】設點M在平面PDQ的投影為O，則平面PDQ，得，．連接DO并延長DO與PQ交于點F，連接QO并延長QO與PD交于點E，因為在正方形ABCD中，，所以折起后，可得，又因為，，所以平面MPD，因為平面MPD，所以，又且兩直線在平面MOQ內，所以平面MOQ，因為平面MOQ，所以，同理可證，故點M在平面PDQ的投影為的垂心．18.如圖，在中，.（1）證明:為等邊三角形.（2）試問當為何值時，取得最小值?并求出最小值.（3）求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2），（3）【解析】【分析】（1）利用向量的數量積公式，求出，得到，進而得證；（2）用基底和分別表示和，從而得到，利用函數求最值即可；（3）設，找到與的等量關系，表示出，再利用函數求取值范圍.【小問1詳解】因為，所以，因為，所以，因為，所以為等邊三角形.【小問2詳解】，，則，當時，取得最小值，最小值為.小問3詳解】由題意可得，在中，，設，則，所以，因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，且，所以的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：本題考查向量的數量積及模長范圍問題，關鍵是用唯一參數表示出要求的式子，并結合函數的單調性求得取值范圍.19.如圖，在四棱臺中，平面，底面為平行四邊形，，且分別為線段的中點.（1）證明：.（2）證明：平面平面.（3）若，當與平面所成的角最大時，求四棱臺的體積.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）證明線面垂直，利用垂直條件及題意即可證明；（2）證明出平面中的兩條相交直線均平行于平面即可；（3）結合題意先求出，再求出的體積即可.【小問1詳解】證明：如圖，連接，與交于點，因為平面平面，所以，又因為，所以平面，因為平面，所以，因為四邊形是平行四邊形，所以四邊形