浙江省Q21聯盟2025屆初三四月考數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．如圖，⊙O的直徑AB=2，C是弧AB的中點，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，以E為圓心，AE為半徑作扇形EAB，π取3，則陰影部分的面積為（）A．﹣4 B．7﹣4 C．6﹣ D．2．若與互為相反數，則x的值是（）A．1 B．2 C．3 D．43．的倒數的絕對值是（）A． B． C． D．4．如圖，直線l1∥l2，以直線l1上的點A為圓心、適當長為半徑畫弧，分別交直線l1、l2于點B、C，連接AC、BC．若∠ABC=67°，則∠1=（）A．23° B．46° C．67° D．78°5．如圖，已知點A（1，0），B（0，2），以AB為邊在第一象限內作正方形ABCD，直線CD與y軸交于點G，再以DG為邊在第一象限內作正方形DEFG，若反比例函數的圖像經過點E，則k的值是（）（A）33（B）34（C）35（D）366．加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加工總粒數的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足的函數關系p＝at2+bt+c（a，b，c是常數），如圖記錄了三次實驗的數據．根據上述函數模型和實驗數據，可得到最佳加工時間為（）A．4.25分鐘 B．4.00分鐘 C．3.75分鐘 D．3.50分鐘7．如果（，均為非零向量），那么下列結論錯誤的是（）A．// B．-2=0 C．= D．8．如圖，等腰△ABC的底邊BC與底邊上的高AD相等，高AD在數軸上，其中點A，D分別對應數軸上的實數﹣2，2，則AC的長度為（）A．2 B．4 C．2 D．49．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D在BC上，BD=3，DC=1，點P是AB上的動點，則PC+PD的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．710．將一根圓柱形的空心鋼管任意放置，它的主視圖不可能是（）A． B． C． D．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．在不透明的口袋中有若干個完全一樣的紅色小球，現放入10個僅顏色不同的白色小球，均勻混合后，有放回的隨機摸取30次，有10次摸到白色小球，據此估計該口袋中原有紅色小球個數為_____．12．一個不透明的袋子中裝有5個球，其中3個紅球、2個黑球，這些球除顏色外無其它差別，現從袋子中隨機摸出一個球，則它是黑球的概率是_____．13．已知：如圖，△ABC內接于⊙O，且半徑OC⊥AB，點D在半徑OB的延長線上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，則由，線段CD和線段BD所圍成圖形的陰影部分的面積為__．14．已知二次函數的圖像與軸交點的橫坐標是和，且，則________．15．農科院新培育出A、B兩種新麥種，為了了解它們的發芽情況，在推廣前做了五次發芽實驗，每次隨機各自取相同種子數，在相同的培育環境中分別實驗，實驗情況記錄如下：種子數量10020050010002000A出芽種子數961654919841965發芽率0.960.830.980.980.98B出芽種子數961924869771946發芽率0.960.960.970.980.97下面有三個推斷：①當實驗種子數量為100時，兩種種子的發芽率均為0.96，所以他們發芽的概率一樣；②隨著實驗種子數量的增加，A種子出芽率在0.98附近擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計A種子出芽的概率是0.98；③在同樣的地質環境下播種，A種子的出芽率可能會高于B種子．其中合理的是__________（只填序號）．16．在實數﹣2、0、﹣1、2、中，最小的是_______．17．在日本核電站事故期間，我國某監測點監測到極微量的人工放射性核素碘﹣131，其濃度為0.0000872貝克/立方米．數據“0.0000872”用科學記數法可表示為________．三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）如圖，在⊿中，,于,.⑴.求的長；⑵.求的長.19．（5分）如圖，圖①是某電腦液晶顯示器的側面圖，顯示屏AO可以繞點O旋轉一定的角度．研究表明：顯示屏頂端A與底座B的連線AB與水平線BC垂直時(如圖②)，人觀看屏幕最舒適．此時測得∠BAO＝15°，AO＝30cm，∠OBC＝45°，求AB的長度．(結果精確到0.1cm)20．（8分）已知P是⊙O外一點，PO交⊙O于點C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，∠AOC的度數為60°，連接PB．求BC的長；求證：PB是⊙O的切線．21．（10分）如圖，安徽江淮集團某部門研制了繪圖智能機器人，該機器人由機座、手臂和末端操作器三部分組成，底座直線且，手臂，末端操作器，直線.當機器人運作時，，求末端操作器節點到地面直線的距離.（結果保留根號）22．（10分）綜合與探究如圖，拋物線y=﹣與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，直線l經過B，C兩點，點M從點A出發以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，連接CM，將線段MC繞點M順時針旋轉90°得到線段MD，連接CD，BD．設點M運動的時間為t（t＞0），請解答下列問題：（1）求點A的坐標與直線l的表達式；（2）①直接寫出點D的坐標（用含t的式子表示），并求點D落在直線l上時的t的值；②求點M運動的過程中線段CD長度的最小值；（3）在點M運動的過程中，在直線l上是否存在點P，使得△BDP是等邊三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．23．（12分）如圖，拋物線（a≠0）交x軸于A、B兩點，A點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，4），以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G．求拋物線的解析式；拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于點E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數式表示PM的長；在（2）的條件下，連結PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由．24．（14分）如圖，在Rt中，，分別以點A、C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，連結MN，與AC、BC分別交于點D、E，連結AE．（1）求；（直接寫出結果）（2）當AB=3，AC=5時，求的周長．

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、A【解析】∵O的直徑AB=2，∴∠C=90°，∵C是弧AB的中點，∴，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，∴∠EAB=∠EBA=22.5°，∴∠AEB=180°?(∠BAC+∠CBA)=135°，連接EO，∵∠EAB=∠EBA，∴EA=EB，∵OA=OB，∴EO⊥AB，∴EO為Rt△ABC內切圓半徑，∴S△ABC=(AB+AC+BC)?EO=AC?BC，∴EO=?1，∴AE2=AO2+EO2=12+(?1)2=4?2，∴扇形EAB的面積==，△ABE的面積=AB?EO=?1，∴弓形AB的面積=扇形EAB的面積?△ABE的面積=，∴陰影部分的面積=O的面積?弓形AB的面積=?()=?4，故選：A.2、D【解析】由題意得+=0,去分母3x+4(1-x)=0,解得x=4.故選D.3、D【解析】

直接利用倒數的定義結合絕對值的性質分析得出答案．【詳解】解：?的倒數為?,則?的絕對值是：.故答案選：D.本題考查了倒數的定義與絕對值的性質，解題的關鍵是熟練的掌握倒數的定義與絕對值的性質.4、B【解析】

根據圓的半徑相等可知AB=AC，由等邊對等角求出∠ACB，再由平行得內錯角相等，最后由平角180°可求出∠1.【詳解】根據題意得：AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=67°，∵直線l1∥l2，∴∠2=∠ABC=67°，∵∠1+∠ACB+∠2=180°，∴∠ACB=180°-∠1-∠ACB=180°-67°-67°=46o．故選B．本題考查等腰三角形的性質，平行線的性質，熟練根據這些性質得到角之間的關系是關鍵.5、D【解析】試題分析：過點E作EM⊥OA，垂足為M，∵A（1，0），B（0，2），∴OA-1，OB=2，又∵∠AOB=90°，∴AB==，∵AB//CD，∴∠ABO=∠CBG，∵∠BCG=90°，∴△BCG∽△AOB，∴，∵BC=AB=，∴CG=2，∵CD=AD=AB=，∴DG=3，∴DE=DG=3，∴AE=4，∵∠BAD=90°，∴∠EAM+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠EAM=∠ABO，又∵∠EMA=90°，∴△EAM∽△ABO，∴，即，∴AM=8，EM=4，∴AM=9，∴E（9，4），∴k=4×9=36；故選D．考點：反比例函數綜合題．6、C【解析】

根據題目數據求出函數解析式，根據二次函數的性質可得．【詳解】根據題意,將(3,0.7)、(4,0.8)、(5,0.5)代入p=at2+bt+c，得：解得：a=?0.2,b=1.5,c=?2，即p=?0.2t2+1.5t?2，當t=?=3.75時，p取得最大值，故選C.本題考查了二次函數的應用，熟練掌握性質是解題的關鍵.7、B【解析】試題解析：向量最后的差應該還是向量.故錯誤.故選B.8、C【解析】

根據等腰三角形的性質和勾股定理解答即可．【詳解】解：∵點A，D分別對應數軸上的實數﹣2，2，∴AD＝4，∵等腰△ABC的底邊BC與底邊上的高AD相等，∴BC＝4，∴CD＝2，在Rt△ACD中，AC＝，故選：C．此題考查等腰三角形的性質，注意等腰三角形的三線合一，熟練運用勾股定理．9、B【解析】試題解析：過點C作CO⊥AB于O，延長CO到C′，使OC′=OC，連接DC′，交AB于P，連接CP．此時DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵DC=1，BC=4，∴BD=3，連接BC′，由對稱性可知∠C′BE=∠CBE=41°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=41°，∴BC=BC′=4，根據勾股定理可得DC′===1．故選B．10、A【解析】試題解析：∵一根圓柱形的空心鋼管任意放置，∴不管鋼管怎么放置，它的三視圖始終是，，，主視圖是它們中一個，∴主視圖不可能是．故選A.二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、20【解析】

利用頻率估計概率，設原來紅球個數為x個，根據摸取30次，有10次摸到白色小球結合概率公式可得關于x的方程，解方程即可得.【詳解】設原來紅球個數為x個，則有=，解得，x=20，經檢驗x=20是原方程的根.故答案為20.本題考查了利用頻率估計概率和概率公式的應用，熟練掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解題的關鍵.12、【解析】

用黑球的個數除以總球的個數即可得出黑球的概率．【詳解】解：∵袋子中共有5個球，有2個黑球，∴從袋子中隨機摸出一個球，它是黑球的概率為；故答案為．本題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=．13、2﹣π．【解析】試題分析：根據題意可得：∠O=2∠A=60°，則△OBC為等邊三角形，根據∠BCD=30°可得：∠OCD=90°，OC=AC=2，則CD=，，則．14、－12【解析】

令y=0，得方程，和即為方程的兩根，利用根與系數的關系求得和，利用完全平方式并結合即可求得k的值．【詳解】解：∵二次函數的圖像與軸交點的橫坐標是和，令y=0，得方程，則和即為方程的兩根，∴，，∵，兩邊平方得：，∴，即，解得：，故答案為：．本題考查了一元二次方程與二次函數的關系，函數與x軸的交點的橫坐標就是方程的根，解題的關鍵是利用根與系數的關系，整體代入求解．15、②③【解析】分析：根據隨機事件發生的“頻率”與“概率”的關系進行分析解答即可.詳解：（1）由表中的數據可知，當實驗種子數量為100時，兩種種子的發芽率雖然都是96%，但結合后續實驗數據可知，此時的發芽率并不穩定，故不能確定兩種種子發芽的概率就是96%，所以①中的說法不合理；（2）由表中數據可知，隨著實驗次數的增加，A種種子發芽的頻率逐漸穩定在98%左右，故可以估計A種種子發芽的概率是98%，所以②中的說法是合理的；（3）由表中數據可知，隨著實驗次數的增加，A種種子發芽的頻率逐漸穩定在98%左右，而B種種子發芽的頻率穩定在97%左右，故可以估計在相同條件下，A種種子發芽率大于B種種子發芽率，所以③中的說法是合理的.故答案為：②③.點睛：理解“隨機事件發生的頻率與概率之間的關系”是正確解答本題的關鍵.16、﹣1．【解析】

解：在實數﹣1、0、﹣1、1、中，最小的是﹣1，故答案為﹣1．本題考查實數大小比較．17、【解析】

科學記數法的表示形式為ax10n的形式，其中1≤lal<10，n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時，n是正數；當原數的絕對值<1時，n是負數.【詳解】解：0.0000872=故答案為：本題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.三、解答題（共7小題，滿分69分）18、（1）25（2）12【解析】整體分析：（1）用勾股定理求斜邊AB的長；（2）用三角形的面積等于底乘以高的一半求解.解：(1).∵在⊿中，，.∴，(2).∵⊿，∴即，∴20×15＝25CD.∴.19、37【解析】試題分析：過點作交于點．構造直角三角形，在中，計算出,在中,計算出.試題解析：如圖所示：過點作交于點．

在中，

又∵在中，

答：的長度為20、（1）BC=2；（2）見解析【解析】試題分析：（1）連接OB，根據已知條件判定△OBC的等邊三角形，則BC=OC=2；（2）欲證明PB是⊙O的切線，只需證得OB⊥PB即可．（1）解：如圖，連接OB．∵AB⊥OC，∠AOC=60°，∴∠OAB=30°，∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC的等邊三角形，∴BC=OC．又OC=2，∴BC=2；（2）證明：由（1）知，△OBC的等邊三角形，則∠COB=60°，BC=OC．∵OC=CP，∴BC=PC，∴∠P=∠CBP．又∵∠OCB=60°，∠OCB=2∠P，∴∠P=30°，∴∠OBP=90°，即OB⊥PB．又∵OB是半徑，∴PB是⊙O的切線．考點：切線的判定．21、（）cm.【解析】

作BG⊥CD，垂足為G，BH⊥AF，垂足為H，解和，分別求出CG和BH的長，根據D到L的距離求解即可.【詳解】如圖，作BG⊥CD，垂足為G，BH⊥AF，垂足為H，在中，∠BCD=60°，BC=60cm，∴，在中，∠BAF=45°，AB=60cm，∴，∴D到L的距離.本題考查解直角三角形，解題的關鍵是構造出適當輔助線，從而利用銳角三角函數的定義求出相關線段.22、（1）A（﹣3，0），y=﹣x+；（2）①D（t﹣3+，t﹣3），②CD最小值為；（3）P（2，﹣），理由見解析.【解析】

（1）當y=0時，﹣=0，解方程求得A（-3，0），B（1，0），由解析式得C（0，），待定系數法可求直線l的表達式；（2）分當點M在AO上運動時，當點M在OB上運動時，進行討論可求D點坐標，將D點坐標代入直線解析式求得t的值；線段CD是等腰直角三角形CMD斜邊，若CD最小，則CM最小，根據勾股定理可求點M運動的過程中線段CD長度的最小值；（3）分當點M在AO上運動時，即0＜t＜3時，當點M在OB上運動時，即3≤t≤4時，進行討論可求P點坐標．【詳解】（1）當y=0時，﹣=0，解得x1=1，x2=﹣3，∵點A在點B的左側，∴A（﹣3，0），B（1，0），由解析式得C（0，），設直線l的表達式為y=kx+b，將B，C兩點坐標代入得b=mk﹣，故直線l的表達式為y=﹣x+；（2）當點M在AO上運動時，如圖：由題意可知AM=t，OM=3﹣t，MC⊥MD，過點D作x軸的垂線垂足為N，∠DMN+∠CMO=90°，∠CMO+∠MCO=90°，∴∠MCO=∠DMN，在△MCO與△DMN中，，∴△MCO≌△DMN，∴MN=OC=，DN=OM=3﹣t，∴D（t﹣3+，t﹣3）；同理，當點M在OB上運動時，如圖，OM=t﹣3，△MCO≌△DMN，MN=OC=，ON=t﹣3+，DN=OM=t﹣3，∴D（t﹣3+，t﹣3）．綜上得，D（t﹣3+，t﹣3）．將D點坐標代入直線解析式得t=6﹣2，線段CD是等腰直角三角形CMD斜邊，若CD最小，則CM最小，∵M在AB上運動，∴當CM⊥AB時，CM最短，CD最短，即CM=CO=，根據勾股定理得CD最小；（3）當點M在AO上運動時，如圖，即0＜t＜3時，∵tan∠CBO==，∴∠CBO=60°，∵△BDP是等邊三角形，∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP，∴∠NBD=60°，DN=3﹣t，AN=t+，NB=4﹣t﹣，tan∠NBO=，=，解得t=3﹣，經檢驗t=3﹣是此方程的解，過點P作x軸的垂線交于點Q，易知△PQB≌△DNB，∴BQ=BN=4﹣t﹣=1，PQ=，OQ=2，P（2，﹣）；同理，當點M在OB上運動時，即3≤t≤4時，∵△BDP是等邊三角形，∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP，∴∠NBD=60°，DN=t﹣3，NB=t﹣3+﹣1=t﹣4+，tan∠NBD=，=，解得t=3﹣，經檢驗t=3﹣是此方程的解，t=3﹣（不符合題意，舍）．故P（2，﹣）．考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：待定系數法，勾股定理，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的性質，三角函數，分類思想的運用，方程思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．23、（1）拋物線的解析式為；（2）PM=（0＜m＜3）；（3）存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似．此時m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形．【解析】

（1）將A（3，0），C（0，4）代入，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式．（2）先根據A、C的坐標，用待定系數法求出直線AC的解析式，從而根據拋物線和直線AC的解析式分別表示出點P、點M的坐標，即可得到PM的長．（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E對應，則若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似時，分兩種情況進行討論：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分別用含m的代數式表示出AE、EM、CF、PF的長，根據相似三角形對應邊的比相等列出比例式，求出m的值，再根據相似三角形的性質，直角三角形、等腰三角形的判定判斷出△PCM的形狀．【詳解】解：（1）∵拋物線（a≠0）經過點A（3，0），點C（0，4），∴