高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1天津市南開區(qū)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)，，則.故選：A2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，如，但不成立，充分性不成立；若，顯然同號(hào)且不為0，則成立，必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，即.故選：D4.如圖是由一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖，以下四個(gè)回歸方程類型中適合作為與的回歸方程類型的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由散點(diǎn)圖中各點(diǎn)的變化趨勢：非線性、且上單調(diào)遞增，所以適合指數(shù)型模型.故選：C.5.已知是奇函數(shù)，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】是奇函數(shù)，由得，所以恒成立，則，解得.故選：C6.把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則函數(shù)的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于選項(xiàng)A，若，則把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長度，得到，由，故圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故A錯(cuò)；對于選項(xiàng)B，若，則把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長度，得到，由，故圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故B錯(cuò)；對于選項(xiàng)C，若，則把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長度，得到，由，可知圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故C正確；對于選項(xiàng)D，若，則把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長度，得到，由，故圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故D錯(cuò).故選：C.7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，因?yàn)榍遥院瘮?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，要使得函數(shù)在上單調(diào)遞減，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)取值范圍為.故選：A.8.如圖，在平行六面體中，是線段上的一點(diǎn)，且，則三棱錐的體積與平行六面體的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)及平行六面體的結(jié)構(gòu)特征易知，面，面，所以面，則上任意一點(diǎn)到面的距離為定值，又，則，由的底面面積是平行六面體底面面積的一半，且高相等，所以.故選：D9.設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)是的一條漸近線上一點(diǎn)，若，則的離心率為（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】〖祥解〗根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)點(diǎn)在第一象限，根據(jù)已知條件得到點(diǎn)在以原點(diǎn)為如圖所示，設(shè)點(diǎn)在第一象限，，因?yàn)椋渣c(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上.，解得.又因?yàn)椋?在中，，，，所以，即.所以，，，即，所以.故選：C二?填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對1個(gè)的給3分，全部答對的給5分．10.是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則__________．【答案】【解析】由為純虛數(shù)，所以，則.故答案為：11.若的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，且的系數(shù)為__________．【答案】【解析】由題意可得，即，通項(xiàng)公式，令，可得：，所以的系數(shù)為，故答案為：12.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)為的焦點(diǎn)，則直線被圓截得的弦長為__________．【答案】【解析】由題設(shè)，拋物線準(zhǔn)線為，則，故，由準(zhǔn)線與圓相切且圓心，易知，所以，即，故到的距離，所以直線被圓截得的弦長為.故答案為：13.有編號(hào)分別為的3個(gè)盒子，第1個(gè)盒子中有2個(gè)白球1個(gè)黑球，其余盒子中均為1個(gè)白球1個(gè)黑球．現(xiàn)從第1個(gè)盒子中任取一球放入第2個(gè)盒子，再從第2個(gè)盒子中任取一球放入第3個(gè)盒子，則從第1個(gè)盒子中取到白球的概率是__________；從第3個(gè)盒子中取到白球的概率是__________．【答案】①.②.【解析】由第1個(gè)盒子中有2個(gè)白球1個(gè)黑球，則從第1個(gè)盒子中取到白球的概率是，當(dāng)從第1個(gè)盒子中取到白球且概率為，則第2個(gè)盒子中有2個(gè)白球1個(gè)黑球，從第2個(gè)盒子抽到白球概率為，則第3個(gè)盒子中有2個(gè)白球1個(gè)黑球，故抽到白球概率為，從第2個(gè)盒子抽到黑球概率為，則第3個(gè)盒子中有1個(gè)白球2個(gè)黑球，故抽到白球概率為，所以，對應(yīng)概率為；當(dāng)從第1個(gè)盒子中取到黑球且概率為，則第2個(gè)盒子中有1個(gè)白球2個(gè)黑球，從第2個(gè)盒子抽到白球概率為，則第3個(gè)盒子中有2個(gè)白球1個(gè)黑球，故抽到白球概率為，從第2個(gè)盒子抽到黑球概率，則第3個(gè)盒子中有1個(gè)白球2個(gè)黑球，故抽到白球概率為，所以，對應(yīng)概率為；綜上，從第3個(gè)盒子中取到白球的概率是.故答案為：；14.在中，，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，用和表示__________；則的余弦值為__________．【答案】①.；②..【解析】由，則，由與的夾角相等，則，又，，則，所以，，，所以.故答案為：，15.已知，若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】令，則原方程可化為，因?yàn)椋忠驗(yàn)椋陨鲜娇苫癁?（1）當(dāng)時(shí)，2x+3x-1>0，所以則原方程可化為，整理可得2x（i）當(dāng)時(shí)，上式可化為，所以關(guān)于的一次方程有解必須滿足a+2≠0x=8-4aa+2>1，解得（ii）當(dāng)時(shí)，上式可化為，解得，此時(shí)②，（2）當(dāng)時(shí)，，，即，所以則原方程可化為，整理可得.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，原方程已有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，原方程要有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，方程必須有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，令，的對稱軸為必須讓二次函數(shù)在上與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以須滿足Δ=a2+16解得③，所以，綜上①②③可得實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：.三?解答題：本大題共5題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.在中，內(nèi)角對邊分別為，且．（1）求邊的長；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）因，由正弦定理可知，由余弦定理可得，即，解得，故．（2）由及，得，由正弦定理，得，解得．（3）由（2）得，所以．所以．所以17.如圖，在四棱錐中，平面平面，為棱上一點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋裕置婷妫妫婷妫云矫妫詾樵c(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則所以．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，得，令，則，從而．因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕制矫妫瑒t平面．（2）解：設(shè)與平面的夾角為，則．（3）解：顯然，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則．18.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸，軸，且過兩點(diǎn)．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)，斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線與軸交于，與軸交于，直線與軸交于，與軸交于．若，求直線的斜率．解：（1）設(shè)的方程為且，將兩點(diǎn)代入得，解得，故的方程為．（2）依題意，設(shè)直線，聯(lián)立，消去整理得，則，即，且．直線，直線，令，則，令，則，由，得，即，整理得，因?yàn)椋裕獾茫灾本€的斜率為．19.已知公差大于0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是的等比中項(xiàng)．（1）求的通項(xiàng)公式及；（2）記為在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，為數(shù)列的前項(xiàng)和．（i）若，求的最大值；（ii）設(shè)，證明：．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，，即①，，即②，將①代入②得，因?yàn)椋獾茫裕?）（i）令，即，解得，所以，即的通項(xiàng)公式為所以．又，所以．由，得，因?yàn)椋缘淖畲笾禐?．（ii）由（i）知，則，所以．設(shè)①，則②，①②得，所以．因?yàn)椋裕C上，．20.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，證明：．解：（1），則切線的斜率為，又，所以處的切線方程為，即．（2），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．若在區(qū)間上恒成立，則的取值范圍為．（3）由，