高級中學名校試題PAGEPAGE1天津市部分區2025屆高三下學期質量調查（一）數學試卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以或，所以.故選：D.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，所以，反之，若，則，當時，沒有意義，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.下列說法中，不正確的是（）A.在1，3，6，7，9，10，12，15這組數據中，第50百分位數為8B.分類變量A與B的統計量越大，說明“A與B有關系”的可信度越大C.根據具有線性相關關系的兩個變量的統計數據所得的經驗回歸方程為，若，，，則D.兩個模型中，殘差平方和越大的模型擬合的效果越好【答案】D【解析】對A：因為，所以這組數據的第50百分位數為：，故A選項內容正確；對B：根據統計量意義可知，B選項內容正確；對C：根據線性回歸方程必過得：，故C選項內容正確；對D：因為殘差平方和越小，模型擬合的效果越好，故D選項內容錯誤.故選：D4.設，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，且，即，又，，所以.故選：B5.已知m，n是兩條直線，是一個平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】對A：平行于同一個平面的兩條直線的位置關系不確定，故A錯誤；對B：若，，則或，故B錯誤；對C：根據線面垂直的定義可知，C正確；對D：若，，則直線與平面的位置關系不確定，故D錯誤.故選：C6.已知是各項均為正數的等比數列，且，，成等差數列，則的值是（）A. B. C.9 D.16【答案】A【解析】設正項等比數列的公比為，由，，成等差數列，可得，即，所以，解得（舍去）或，所以.故選：A7.函數在區間上有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，令，依題意與在上有兩個交點，由，則，令，解得，所以在上單調遞減，且，；令，解得，所以在上單調遞增，且；所以，解得，即實數的取值范圍是.故選：C8.已知，，為球的球面上的三個點，為的外接圓，若的面積為，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為的面積為，設的半徑為，則，解得，又，所以等邊三角形，則，所以，設球的半徑為，所以，所以球的表面積.故選：C9.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，上一點關于一條漸近線的對稱點恰為右焦點．若是上的一個動點，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設與漸近線的交點為，則為的中點，且，又為的中點，所以，即，所以，要使，則點在以為圓心，為半徑的圓的內部，根據對稱性可知，即的取值范圍是.故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10.ｉ是虛數單位，復數________________.【答案】【解析】故答案為11.在的展開式中，常數項為__________.（用數字作答）【答案】【解析】由的展開式的通項為，令，，則，即在的展開式中，常數項為，故答案為：.12.已知圓的方程為．當圓的面積最小時，直線與圓相切，則的值為_______．【答案】【解析】依題意，圓的方程為，所以，所以圓心為，半徑為，所以當時，半徑最小，圓的面積最小，且半徑的最小值為，此時圓心到直線的距離為或（舍去）.故答案為：13.某中學組建了，，，，五個不同的社團，旨在培養學生的興趣愛好，要求每個學生必須且只能參加一個社團．假定某班級的甲、乙、丙三名學生對這五個社團的選擇是等可能的，且結果互不影響．記事件為“甲、乙、丙三名學生中恰有兩人參加社團”，則_______；若甲、乙、丙三名學生中有兩人參加社團，則恰巧甲參加社團的概率為________．【答案】①.②.【解析】依題意甲、乙、丙三名學生選擇社團的可能結果有個，若甲、乙、丙三名學生中恰有兩人參加社團，則有種選擇，所以；甲、乙、丙三名學生中有兩人參加社團，則恰巧甲參加社團，則有種選擇，所以甲、乙、丙三名學生中有兩人參加社團，則恰巧甲參加社團的概率.故答案為：；14.在邊長為的菱形中，，且，，則_______；若為線段上的動點，則的最小值為_______．【答案】①.②.【解析】因為，所以，所以，又且、不共線，所以，所以；如圖建立平面直角坐標系，則，，，所以，由，所以，所以，因為為線段上的動點，設，所以，所以，所以，所以，所以當時取得最小值，且最小值為.故答案為：；15.已知，函數若關于的方程，恰有2個互異的實數解，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】由，fx可得當時，即，所以；當時，，所以，令，，則m'x=2-所以在上單調遞增，所以mx>m1所以，所以a=x+1,x≤1令gx=x+1,x≤12①當時，，則在上單調遞增，且；②當時，則，令，則，所以當時，則在上單調遞增，當時，則在上單調遞減，所以，所以恒成立，所以恒成立，所以在上單調遞減，又，因為，所以g12=且當時，，所以；所以，即的取值范圍是.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）由余弦定理可得，即，解得或（舍去）.（2）由正弦定理，所以；（3）由余弦定理，所以，，所以.17.如圖，在四棱錐中，底面，，，，，，為棱的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點P到平面的距離．（1）證明：因為底面，底面，所以，又因為平面，所以平面，即為平面的一個法向量，如圖以點為原點，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，可得，，，，，由為棱的中點，得，向量，，故，又平面，所以平面；（2）解：因為，設平面的法向量為，則，取，又平面的法向量，設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為；（3）因為，所以點P到平面的距離，即點P到平面的距離為.18.已知橢圓的左焦點在拋物線的準線上，且橢圓的短軸長為．（1）求橢圓的方程；（2）已知過原點的直線與橢圓相交于M，N兩點，若直線：上存在點Q，使得是以為底邊的等腰直角三角形，求直線的方程．解：（1）拋物線的準線方程為，橢圓的左焦點為，即，橢圓的短軸長為，，即，，橢圓的方程為；（2）設，，當直線斜率不存在時，：，此時M，N分別為橢圓的上、下頂點，不妨設，，要使是以為底邊的等腰直角三角形，則，，，，不合題意；當直線的斜率為時，：，此時M，N分別為橢圓的左、右頂點，不妨設，，要使是以為底邊的等腰直角三角形，則，，，，滿足題意；當直線的斜率存在且不為時，設：，由，得，，，，設的垂直平分線方程為，由，得，是以為底邊的等腰直角三角形，，，化簡得，，或(舍)，：，綜上，直線的方程為或.19.已知為等差數列，其前項和為，滿足，且．（1）求的通項公式；（2）設數列滿足其中．（i）記，．證明：是等差數列；（ii）求．解：（1）設等差數列的公差為，由，且，所以，解得，所以；（2）（i）由（1）可知，又其中，所以其中，當為奇數時，，所以，所以，則，所以是以為首項，為公差的等差數列；（ii）令，而，，所以.20.已知函數，，其中．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）是否存在，使得函數在區間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）設是函數的極小值點，且，證明：．（1）解：因為，所以，則，而，則，所以在點處的切線方程是.（2）解：由題意，定義域為，則，因為，所以當時，所以在上單調遞減，當時，所以在上單調遞增；若，即時在上單調遞增，則，不符合題意；若，即時，則在上