高級中學名校試題PAGEPAGE1四川省成都市成華區2023-2024學年高一下學期期末考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若為純虛數，則實數（）A. B.2 C. D.1【答案】C【解析】，運用純虛數概念，知，解得.故選：C.2.已知向量，，且，則實數k等于（）A. B.4 C.0 D.【答案】A【解析】由向量，，可得，由，得.故選：A.3.已知m，n是兩條不同直線，，，是三個不同平面，則下列命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】對于A項，若，則可以是平行，可以相交，也可以異面，故A項錯誤；對于B項，若，則還可以平行，故B項錯誤；對于C項，由線面垂直的性質，可得，故C項正確；對于D項，若，則還可以相交，故D項錯誤.故選：C.4.如圖，在正方體中，點M，N分別為線段AC和線段的中點，求直線MN與平面所成角為（）A.60° B.45° C.30° D.75°【答案】B【解析】如圖，取的中點，連接，因是的中點，故，又因正方體中，平面，故平面，即是在平面上的射影，故即直線MN與平面所成角，因是的中點，故，易得，即直線MN與平面所成角為.故選：B.5.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.6.設，為單位向量，在方向上的投影向量為，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】因為，為單位向量，所以，又在方向上的投影向量為，所以，所以.故選：D.7.筒車亦稱“水轉筒車”，一種以水流作動力，取水灌田的工具，如圖是某公園的筒車，假設在水流穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針方向勻速圓周運動．現有一半徑為2米的筒車，在勻速轉動過程中，筒車上一盛水筒距離水面的高度（單位：米，記水筒在水面上方時高度為正值，在水面下方時高度為負值）與轉動時間（單位：秒）滿足函數關系式，，且時，盛水筒位于水面上方米處，當筒車轉動到第秒時，盛水筒距離水面的高度為（）米．A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意可得，即，又，所以，所以，則當時，即當筒車轉動到第秒時，盛水筒距離水面的高度為米.故選：B.8.已知角，滿足，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，因，代入可得，，則.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數的共軛復數為，則下列命題正確的是（）A.B.為純虛數C.D.【答案】ACD【解析】設復數，則，故，A正確；，當時，為實數，B錯誤；，則，C正確；，，故，則，D正確.故選：ACD.10.函數的圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關于直線對稱C.是奇函數D.若在上有且僅有兩個零點，則實數【答案】BD【解析】，由圖知函數經過點，則得，解得，即，因，故得，，則有.對于A，因的最小正周期為，故A錯誤；對于B，，因時，，此時函數取到最大值，故的圖象關于直線對稱，即B正確；對于C，，顯然這是偶函數，不是奇函數，故C錯誤；對于D，，當時，設，作出在上的圖象如圖.依題意，需使，即，故D正確.故選：BD.11.設點D是所在平面內一點，O是平面上一個定點，則下列說法正確的有（）A.若，則D是BC邊上靠近B的三等分點B.若，（且），則直線AD經過的垂心C.若，且x，，，則是面積的一半D.若平面內一動點P滿足，（且），則動點P的軌跡一定通過的外心【答案】ABC【解析】對于A，由可得，，即得，故點D是BC邊上靠近B的三等分點，故A正確；對于B，因，則，即，故直線AD經過的垂心，即B正確；對于C，因，，則，設，則，因，故三點共線，如圖1所示，，故的邊上的高是的邊上的高的一半，故是面積的一半，即C正確；對于D，由可得，，如圖2，取，則有，以為兩鄰邊作，易知是菱形，故平分，且故得，，故動點的軌跡為的平分線，即動點P的軌跡一定通過的內心，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知平面向量，滿足，，，則向量，夾角的余弦值為______．【答案】【解析】因為，所以，因，所以，則向量，夾角的余弦值為.故答案為：.13.若時，曲線與的交點個數為______．【答案】8【解析】作出函數與的圖象：所以曲線與的交點有8個．故答案為：8．14.已知菱形ABCD的邊長為2，．將沿著對角線AC折起至，連結．設二面角的大小為，當時，則四面體的外接球的表面積為______．【答案】【解析】連接交于點，由題意，點為中點，且，則即二面角的平面角.如圖，設分別是和的外心，分別過點作平面，過點作平面，，則點為四面體的外接球球心.由，平面，故得平面，又平面，平面，故得，平面平面，平面平面，故四點共面.由可知，，故四面體的外接球的半徑為：，于是四面體的外接球的表面積為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15設向量與不共線．（1）若，，若，，，求實數k的值；（2）若，，，求證：A，B，C三點共線．解：（1）由題設，，∵，∴，得，解得．（2）∵，，∴，且兩向量有公共點A，∴A、B、C三點共線．16.設函數.（1）求函數的單調遞增區間；（2）當時，求函數的值域.解：（1），由，，則函數遞增區間為，.（2）由，得，則，則，即值域為.17.如圖，在中，是邊的中點，與交于點.（1）求和的長度；（2）求.解：（1）是高，，在Rt中，，所以.是中線，，，，.（2），，，.另解：過D作交于，是的中點，是的中點，是的中位線，是的中位線，，.18.如圖，正四棱錐，，，P為側棱上的點，且，（1）求正四棱錐的表面積；（2）求點到平面的距離；（3）側棱上是否存在一點E，使得平面.若存在，求的值；若不存在，試說明理由.解：（1）取的中點，連接，因為，，則，且，所以，正四棱錐的表面積為.（2）連接交于點，連接、，如下圖所示：因為四邊形是邊長為的正方形，則，故是邊長為的等邊三角形，因為，則為、的中點，所以，且，，因為，則，由余弦定理可得，所以，所以，因為四邊形為正方形，則，因為，為的中點，則，因為，、平面，所以平面，因為平面，所以，因為，、平面，所以平面，因此，點到平面的距離為.（3）在側棱上存在一點，使平面，滿足，理由如下：取的中點為，因為，則，過作的平行線交于，連接、.在中，因為、分別為、的中點，則，因為平面，平面，所以平面，由，則，因為平面，平面，所以平面，而，、平面，故面面，又面，則平面，此時.19.如圖1，由射線PA、PB、PC構成的三面角，，，，二面角的大小為，類比于平面三角形中的余弦定理，我們得到三維空間中的三面角余弦定理：．（1）如圖2，在三棱錐中，點M是點B在平面APC中的投影，，連接MD，，，，，．①求平面APC與平面BPC所成的角的正弦值；②求三棱錐體積的最大值；（2）當、、時，請在圖1的基礎上，試證明三面角