高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1陜西省西安市臨潼區(qū)2025屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，若（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】因?yàn)椋樘摂?shù)單位）是純虛數(shù)，所以，解得.故選：D2.已知集合，或，，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，，所以A錯(cuò)誤；又或，可得或，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)椋曰颍訡錯(cuò)誤；因?yàn)椋裕訢正確．故選：D3.已知命題；命題．則（）A.和都是真命題B.是假命題，是真命題C.是真命題，是假命題D.和都是假命題【答案】B【解析】對(duì)于命題，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故命題是假命題；對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，，故命題是真命題.故選：B.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除C；，當(dāng)時(shí)，，且，而，即，故，所以在的單調(diào)遞增區(qū)間上，AD不滿足，B滿足.故選：B5.若甲組樣本數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為5，乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為12，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.B.乙組樣本數(shù)據(jù)的方差是甲組樣本數(shù)據(jù)方差的9倍C.兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等D.兩組樣本數(shù)據(jù)的極差可能相等【答案】D【解析】A.設(shè)甲組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，由，得，A正確.B.乙組樣本數(shù)據(jù)的方差是甲組樣本數(shù)據(jù)方差的倍，B正確.C.設(shè)甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，由得，，故兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等，C正確.D.不妨設(shè)，則甲組數(shù)據(jù)的極差為，乙組數(shù)據(jù)的極差為，∵甲組數(shù)據(jù)各不相同，∴兩組樣本數(shù)據(jù)的極差不相等，D錯(cuò)誤.故選：D.6.甲、乙、丙等八個(gè)人圍成一圈，要求甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，則不同的排列方法有（）A.720種 B.1440種 C.2880種 D.4320種【答案】B【解析】環(huán)排問題線排策略，增加一個(gè)凳子．九個(gè)凳子排一排，甲放一號(hào)和九號(hào)，中間剩余七個(gè)位置可選，再將其他五人放入中間有種．甲、乙、丙兩兩不相鄰．乙、丙只能放中間四空中共有種，由分步計(jì)數(shù)原理得總數(shù)種．故選：B.7.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在對(duì)圓錐曲線的研究過程中，還進(jìn)一步研究了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，例如拋物線的光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．如圖所示，兩條平行于軸的入射光線，分別經(jīng)拋物線上的A，B兩點(diǎn)反射后，兩條反射光線，又沿平行于軸的方向射出，則兩條反射光線，之間的距離為（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】由題意得，，，，設(shè)點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為，，直線AD：，聯(lián)立拋物線方程得，得，解得，，所以，同理直線BD：，聯(lián)立拋物線方程得，得，解得，，可得，所以兩條反射光線，之間的距離．故選：B.8.函數(shù)的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱為飄帶函數(shù)，也是兩條優(yōu)美的雙曲線.在數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項(xiàng)積為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)時(shí),（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得：，，則，可得，又因?yàn)闉檫f增數(shù)列，且，所以當(dāng)，可得.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則關(guān)于的說法正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.是的最大值C.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.把圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象【答案】AD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋裕院瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，，所以不是的最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將圖象向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，即，故D正確.故選：AD.10.設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.當(dāng)時(shí)，有C.當(dāng)時(shí)，，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.當(dāng)時(shí)，有【答案】AB【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，對(duì)于AD，當(dāng)時(shí)，若，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在取不到極大值，因此，由，得或，由，得，函數(shù)在取得極大值，符合題意，此時(shí)，D錯(cuò)誤；函數(shù)在上單調(diào)遞增，取，函數(shù)在上單調(diào)遞增，A正確；對(duì)于BC；當(dāng)時(shí)，若，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在取不到極大值，因此，由，得，由，得或，函數(shù)在取得極大值，符合題意，此時(shí)，B正確；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則不存在，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤.故選：AB11.如圖，以，，，，，為頂點(diǎn)的六面體中，四邊形為菱形，，，，，，，則（）A.B.平面C.當(dāng)時(shí)，二面角的正弦值為D.當(dāng)時(shí)，此六面體的體積為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，取中點(diǎn)，為菱形，，，，中，，中，，，，，面，，面，面，，故A正確.對(duì)于B，取中點(diǎn)，，且，則，，，，即為平行四邊形，為平行四邊形，，，，，四邊形為平行四邊形，，又，平面，平面，則平面，同理平面，平面，平面平面，平面，平面，故正確.對(duì)于C，過作于點(diǎn)，，，且，又，，又，平面，，則平面，記二面角的平面角為，，，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，取中點(diǎn)，連接，，該幾何體可分割為三棱柱和三棱錐，，則幾何體體積，圖中，到底面的距離為，，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知平面向量滿足，，且，則與的夾角為______．【答案】【解析】設(shè)與的夾角為，由于，所以，解得，則為銳角，且故答案為：13.若點(diǎn)在直線上，且，則的最小值為______．【答案】8【解析】由點(diǎn)在直線上，得，而，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8.故答案為：814.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由于函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，且在上的單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.由，得，所以，所以，即，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求角；（2）若，，求的面積．解：（1）在中，由及正弦定理，得，化簡得，由余弦定理得，而，所以.（2）由，得，由，得，則，即，，由及正弦定理，得，所以的面積.16已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，故.時(shí)，上式亦成立.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（2）因?yàn)椋裕詢墒较鄿p得：，所以：.17.年月日國家市場監(jiān)督管理總局第次局務(wù)會(huì)議審議通過《食品安全抽樣檢驗(yàn)管理辦法》，自年月日起實(shí)施．某地市場監(jiān)管部門對(duì)當(dāng)?shù)匾皇称窂S生產(chǎn)的水果罐頭開展固形物含量抽樣檢驗(yàn)，按照國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，在一瓶水果罐頭中，固形物含量不低于為優(yōu)級(jí)品，固形物含量低于且不低于為一級(jí)品，固形物含量低于為二級(jí)品或不合格品．（1）現(xiàn)有瓶水果罐頭，已知其中瓶為優(yōu)級(jí)品，瓶為一級(jí)品．（ⅰ）若每次從中隨機(jī)取出瓶，取出的罐頭不放回，求在第次抽到優(yōu)級(jí)品的條件下，第次抽到一級(jí)品的概率；（ⅱ）對(duì)這瓶罐頭依次進(jìn)行檢驗(yàn)，每次檢驗(yàn)后不放回，直到區(qū)分出瓶罐頭的等級(jí)時(shí)終止檢驗(yàn)，記檢驗(yàn)次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與期望；（2）已知該食品廠生產(chǎn)水果罐頭優(yōu)級(jí)品率為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)級(jí)品相互獨(dú)立，若在次獨(dú)立重復(fù)抽檢中，至少有次抽到優(yōu)級(jí)品的概率不小于（約為），求的最小值．解：（1）（ⅰ）設(shè)第次抽到優(yōu)級(jí)品為事件，第次抽到一級(jí)品為事件，則．（ii）根據(jù)題意可知的取值可能為、、、．則，，，．則的分布列為：所以．（2）設(shè)在次抽檢中至少有次抽到優(yōu)級(jí)品的概率為，則，其中，因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增．注意到，所以，故的最小值為．18.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，求的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)變化時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率能否為1？若能，求的值，若不能，說明理由.解：（1）當(dāng)時(shí)，則，，，所以在點(diǎn)處的切線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域是，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在時(shí)為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在處取得最大值，又，故恒成立，所以的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間.（3）由題意知，因?yàn)椋裕从校顒t，故是上的增函數(shù)，又，因此0是的唯一零點(diǎn)，即方程有唯一實(shí)根0，所以.所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率能為1，此時(shí).19.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），的周長為8．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負(fù)半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直．（i）若，求異面直線和所成角的余弦值；（ii）是否存在，使得折疊后的周長與折疊前的周長之比為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）因?yàn)榈闹荛L為8，離心率為，所以，即，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）由（1）知，點(diǎn)，傾斜角為，故直線設(shè)為：，（i）聯(lián)立直線與橢圓的方程：，可得，可