高級中學名校試題PAGEPAGE1陜西省西安市部分學校2025屆高三聯考數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符題目要求的.1.復數的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以的虛部為.故選：C.2.已知集合，.若，則（）A.0 B.1 C. D.0或【答案】D【解析】由可得或，則當時，；當時，；因，且，則或.故選：D.3.已知，且三點共線，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】因為三點共線，所以，因為，所以，解得.故選：A.4.已知為鈍角，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，，所以.故選：D5.已知變量和的統計數據如下表.8090100110120y120140165180若，線性相關，經驗回歸方程為，則（）A.155 B.158 C.160 D.162【答案】A【解析】由表中數據可得，代入經驗回歸方程可得，則.故選：A6.已知函數，若在上有2個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當時，有1個零點，則當時，只有一個零點，即方程在時有一個解，即方程在時有一個解，因為函數為增函數，且當時，，則，即.故選：B.7.圓的圓心與拋物線的焦點重合，為兩曲線的交點，則（）A.4 B.8 C. D.【答案】C【解析】圓的圓心為，拋物線的焦點為，所以，所以，聯立，得，解得或，在拋物線中，，所以，代入得，所以.故選：C8.在我國古代建筑中，梁一直是很重要的組成部分，現代工程科學常用抗彎截面系數來刻畫梁的承重能力.若梁的截面形狀是圓，且圓形截面的半徑為，則抗彎截面系數；若梁的截面形狀是正方形，且正方形截面的邊長為，則抗彎截面系數；若梁的截面形狀是長方形，且長方形截面的長為，寬為，則抗彎截面系數.若上述三種截面形狀的梁的截面周長相同，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】記這三種截面的周長為C，則，從而，，.由，得令，，則，顯然在上恒成立，故在上單調遞增，因為，，所以.因為，所以.故選:D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數的最小正周期為，則（）AB.C.的圖象關于直線對稱D.將圖象上所有點的縱坐標縮短到原來的（橫坐標不變），可得到函數的圖象【答案】ABD【解析】已知函數的最小正周期為，，則，故A正確；，則，故B正確；，故的圖象不關于直線對稱，故C錯誤；將圖象上所有點的縱坐標縮短到原來的（橫坐標不變），可得到函數的圖象，故D正確；故選：ABD．10.記為等比數列的前項和，已知，則（）A.B.C.D.的最小值為【答案】BCD【解析】根據題意，設等比數列的公比為，則，解得.所以，解得.所以，.故A錯誤，BC正確.對于D，，根據函數單調性可知，在和時，取得最小值.故D正確.故答案選：BCD11.已知曲線，則下列結論正確的是（）A.若，則曲線表示一條直線B.曲線上的點到原點的距離的最小值為C.若，則曲線與直線只有1個公共點D.若曲線與直線只有2個公共點，則【答案】ABD【解析】若，則曲線，即,則曲線表示一條直線，故A正確；若，曲線，當時，曲線方程為，表示圓的一部分，當時，曲線方程為，表示焦點在軸上的等軸雙曲線的一部分，當時，曲線方程為，表示焦點在軸上的等軸雙曲線的一部分，當時，方程不表示任何曲線，所以曲線大致圖象如圖所示：對于B，當時，曲線上的點到原點的距離的最小值為0，當時，由圖可知，曲線上的點到原點的距離的最小值為，故B正確；對于C，若，由圖可知，則曲線與直線沒有公共點，故C錯誤；對于D，當時，曲線與直線不可能只有2個公共點，不符合題意；當時，直線過定點，結合題意易得，當直線與相切時，可得，解得（舍去）或，此時直線為與曲線只有1個公共點，當時，直線與曲線只有1個公共點；當時，若直線與交于兩點，則必定與交于一點，此時直線與曲線有3個公共點，不符合題意，要使直線與曲線有2個公共點，則直線與交于一點，且與相切，如下圖，聯立，即，則，解得（舍去）或，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，常數項為__________.【答案】20【解析】由通項公式可知常數項為：;所以常數項為20；故答案為：2013.定義在上的奇函數滿足當時，，則__________；使的的取值范圍是__________.【答案】①.②.【解析】因為定義在上的奇函數滿足當時，，所以當時，，，且奇函數的定義域為，所以，所以,所以，當時，，當時，，當時，，所以使的的取值范圍是，故答案為:;.14.已知是球的球面上兩點，是該球面上的動點，是該球面與平面交線上的動點.若四面體體積的最大值為，則球的體積為__________.【答案】【解析】設球的半徑為.因為是球與平面交線上的動點，即平面，在中，，，設的中點為，連接并延長，交球于，則，，，此時三角形的面積最大，且最大面積為.是球面上的動點，要使四面體的體積最大，則點到平面的距離要最大，當平面時，點到平面的距離最大，且最大距離.依題意，解得.球的體積為.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求外接圓的半徑；（3）若，求的面積.解：（1）因為，可設，則，所以；（2）由（1）知，，，所以，設外接圓的半徑為，則由正弦定理，所以,所以外接圓的半徑為；（3）因為，由（1）知，，則，所以.16.如圖，在直四棱柱中，的中點分別為.（1）證明：.（2）求二面角的正弦值.（1）證明：在直四棱柱中，因為，所以兩兩垂直，又因為，所以，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系.因為，所以，則，從而，所以；（2）解：根據題意，可知平面的法向量為，設平面的法向量為，則，令，可得，所以易知二面角的正弦值為.17.為了解某地小學生對中國古代四大名著內容的熟悉情況，從各名著中分別選取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大鬧天宮”4個經典故事，進行尋找經典故事出處的答題游戲（不同的經典故事不能搭配同一本名著）.規定：每答對1個經典故事的出處，可獲得10分.（1）小王同學的答題情況如圖所示，①求小王同學的得分；②老師指出了小王同學答錯的試題，并要求他重新作答錯誤試題，求小王同學避開此次錯誤答案后隨機作答并全部答對的概率（2）小李同學將這4個經典故事與四大名著隨機地搭配進行答題，記他的得分為X，求X的分布列與期望.解：（1）①由圖可知，小王同學答對1道試題，故他的得分為10分.②經過老師指出可知，“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”對應的出處錯誤，針對錯誤試題進行分析后，給出的答案可能為{（草船借箭，三國演義），（黛玉葬花，紅樓夢），（武松打虎，水滸傳）}，{（草船借箭，水滸傳），（黛玉葬花，三國演義），（武松打虎，紅樓夢）}，共2種情況，其中錯誤試題全部答對的情況為{（草船借箭，三國演義），（黛玉葬花，紅樓夢），（武松打虎，水滸傳）}，故所求的概率為.（2）由題可知，的所有取值可能為0，10，20，40.，，，\\.X的分布列為：X0102040P故.18.已知為橢圓的右焦點，過點作與軸平行的直線，該直線與橢圓交于兩點（點在第一象限），當時，.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與軸交于點，證明：四點共圓.解：（1）依題，，即①，把代入中，解得，因點在第一象限，則，由可得，代入點的坐標可得：，即得，整理得：②，將①代入②可得：，解得（負值舍去），則，故橢圓的標準方程為：.（2）依題意，點關于軸對稱，故的外接圓圓心在軸上，設，將代入，解得，依題意，，則的外接圓半徑為，于是的外接圓的方程為：，因點在該圓上，代入解得，故的外接圓的方程可化簡為：（*）.又直線的方程為：，令，可得，將其代入（*），可得：，即點在該圓上，故四點共圓.19.已知是定義在上的函數，若對任意，恒成立，則稱為上的非負函數.（1）判斷是否為上的非負函數，并說明理由.（2）已知為正整數，為上的非負函數，記的最大值為，證明：為等差數列.（3）已知且，函數，若為上的非負函數，證明：.解：（1）是上的非負函數.理由如下：因，，所以.當時，，單調遞減，當時，，單調遞