高級中學名校試題PAGEPAGE1陜西省漢中市漢臺區2025屆高三二模數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，解得，解得，，所以.故選：C2.已知復數滿足，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由題意可得：，所以z在復平面內對應的點為，位于第二象限.故選：B.3.2024年全民健身運動的主題“全民健身與奧運同行”，為了滿足群眾健身需求，某健身房近幾年陸續購買了幾臺型跑步機，該型號跑步機已投入使用的時間（單位：年）與當年所需要支出的維修費用（單位：千元）有如下統計資料：234562.23.85.56.57根據表中的數據可得到線性回歸方程為，則（）A.與的樣本相關系數B.C.表中維修費用的第60百分位數為6.5D.該型跑步機已投入使用的時間為10年時，當年所需要支出的維修費用一定是12.38萬元【答案】B【解析】對于A，由，得與成正相關，樣本相關系數，A錯誤；對于B，，，則，B正確；對于C，，因此第60百分位數為，C錯誤；對于D，由選項B知，，當時，，則當年所需要支出的維修費用約為12.38萬元，D錯誤.故選：B4.向量，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，則，則，即，解得，所以.故選：D.5.若是第二象限角，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，因為，所以，因為是第二象限角，所以，所以，所以故選：A.6.已知等比數列滿足，，記為其前項和，則（）A. B. C. D.7【答案】A【解析】設等比數列的公比為，因為，，所以，解得或，當時，，，所以；當時，，，所以；綜上可得.故選：A7.已知直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于，兩點，則以線段為直徑的圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線，令，可得，即直線過點；拋物線的焦點，所以，解得，所以拋物線，由，消去整理得，設，，顯然，則，所以，則以線段為直徑的圓的面積.故選：C8.若滿足，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，則恒成立，即，因為，所以在上單調遞增，且當時，，故當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，取得極小值，即最小值，，令，得．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對A，周期為，故A對；對B，令，，則，若成立，則關于對稱，令，解得，因為，則B錯誤；對C，，故C正確；對D，，當時，則，則D錯誤，故選：AC.10.擲一枚質量均勻的骰子，記事件：擲出的點數為偶數；事件：擲出的點數大于2．則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由題意，，，則，，故A正確；由全概率公式，則，故B正確；事件表示擲出的點數為偶數且不大于2，則，事件表示擲出的點數為奇數且大于2，則，則，故C錯誤；，，則，故D正確．故選：ABD11.給定棱長為1的正方體，是正方形內（包括邊界）一點，下列結論正確的有（）A.三棱錐的體積為定值B.若點在線段上，則異面直線與所成角為定值C.若點在線段上，則的最小值為D.若，則點軌跡的長度為【答案】ABC【解析】如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，連接，設，，則，對于A，易得面的法向量為，設到面的距離為，由點到平面的距離公式得，而，則，即三棱錐的體積為定值，故A正確，對于B，因為點在線段上，所以，而，，則，，得到，，解得，即，如圖，連接，由題意得，，則，，設異面直線與所成角為，則，而，故，即異面直線與所成角為定值，故B正確，對于C，如圖，將面沿著翻折，使面與面共面，由題意得四邊形是正方形，四邊形是矩形，得到，，故而，則的長度即為所求最小值，由余弦定理得，解得，故C正確，對于D，如圖，連接，此時，，則由兩點間距離公式得，因為，所以，兩邊同時平方得，化簡得，則的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，由正方體性質得，則弧長為，即點軌跡的長度不為，故D錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線：與：平行，則與間的距離為__________．【答案】【解析】由與兩直線平行可得，解得；即可得：，所以與間的距離為.故答案：13.圖中平行四邊形有___________個（用數字作答）.【答案】90【解析】由平行四邊形有兩組對邊分別平行相等，所以分別從四條橫線中取兩條和從六條斜線中取兩條即可，即.故答案為：90.14.已知，函數，若，使得關于的不等式成立，則實數的取值范圍是__________．【答案】【解析】因為，則定義域為，所以的圖象是取與圖象位于下方的部分，作出的圖象如下所示（實線部分）：當時，顯然在上單調遞減，且；因為，使得關于的不等式成立，所以，令，解得，結合圖象可得的解集為或，即實數的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，，，分別是角的對邊，已知.（1）若，求實數的值；（2）若，求面積的最大值.解：（1）由，且，得，可變形為.依據余弦定理，可知，即.所以.（2）因為，根據余弦定理得，所以，即，當且僅當時等式成立，故，當且僅當等號成立，即所求面積的最大值是.16.設數列的前項和為，若，.（1）證明：數列是等差數列；（2）求.（1）證明：，當時，，兩式相減得，又，故，且，所以數列是以3為首項，公差為2的等差數列.（2）由（1）知，所以.17.已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設函數，求在區間上的最大值和最小值.解：（1），，，，在處的切線方程為，即.（2），令，則在上恒成立，且僅在處等號成立，在上單調遞減，，且僅在處等號成立，在上單調遞減，，.18.如圖，在三棱柱ABC?中，平面ABC，D，E，F，G分別為，AC，，的中點，AB=BC=，AC==2．（1）求證：AC⊥平面BEF；（2）求二面角B?CD?C1余弦值；（3）證明：直線FG與平面BCD相交．（1）證明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四邊形A1ACC1為矩形．又E，F分別為AC，A1C1的中點，∴AC⊥EF．∵AB=BC，E為AC的中點，．∴AC⊥BE，而，∴AC⊥平面BEF．（2）解：［方法一］：【通性通法】向量法由（1）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如圖建立空間直角坐稱系E-xyz．由題意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．∴，設平面BCD的法向量為，∴，∴，令a=2，則b=-1，c=-4，∴平面BCD的一個法向量，又∵平面CDC1的一個法向量為，∴．由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角，所以二面角B-CD-C1的余弦值為．［方法二］：【最優解】轉化＋面積射影法考慮到二面角與二面角互補，設二面角為，易知，，所以．故．［方法三］：轉化＋三垂線法二面角與二面角互補，并設二面角為，易知平面．如圖3，作，垂足為H，聯結．則是二面角的平面角，所以，不難求出，所以二面角的余弦值為．（3）證明：［方法一］：【最優解】【通性通法】向量法平面BCD的一個法向量為，∵G（0，2，1），F（0，0，2），∴，∴，∴與不垂直，∴GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內，∴GF與平面BCD相交．［方法二］：幾何轉化如圖4，取的中點，分別在取點N，M，使．聯結．則平面平面，又平面，平面，故直線與平面相交．［方法三］：根據相交的平面定義如圖5，設與交于P，聯結．因為，且，所以四點共面．因為，所以．又，所以四邊形是梯形，即直線與直線一定相交．因為平面，所以直線與平面相交．19.已知橢圓的焦距為2，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓上點處的切線方程是.在直線上任取一點引橢圓的兩條切線，切點分別是、.①求證：直線恒過定點；②是否存在實數，使得，若存在，求出的值，若不存在，請說