高級中學名校試題PAGEPAGE1山西省部分學校2025屆高三下學期3月聯考數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.樣本數據25，17，26，31，29，18，28，40的中位數為（）A.31 B.29 C.30 D.27【答案】D【解析】樣本數據按照從小到大的順序排列為17，18，25，26，28，29，31，40，中間的兩個數為26，28，故中位數為．故選：D2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，故．故選：B3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以．故選：C.4.已知函數是定義域為的奇函數，且當時，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為函數是定義域為的奇函數，故，又因為當時，，故，所以．故選：A.5.已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（）A. B.0 C.1 D.【答案】B【解析】因為向量，，且與的夾角為，故.故選：B.6.已知球的半徑和圓錐的底面半徑相等，且圓錐的側面展開圖是圓心角為的扇形，則球與圓錐的體積之比為（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】設球的半徑和圓錐的底面半徑均為，圓錐的母線長為，由圓錐的側面展開圖是圓心角為的扇形，得，則，所以球的體積與圓錐的體積之比為.故選：C7.已知函數的圖像關于點對稱，則函數的最小正周期為（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】因為函數的圖像關于點對稱，故，即，，故，，則，且當時，，故的最小正周期為，的最小正周期為．故選：A.8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的一條直線與的右支交于，兩點，且，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，且，設，，，，，，由雙曲線的定義可得，故，，，，，，．設，在中，，即，故，所以的離心率為．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設，，則（）A. B.C D.【答案】AC【解析】因為，，故，所以，故A正確；不妨取，，則，故B錯誤；因為，，所以，即，即，故C正確；不妨取，，則，故D錯誤．故選：AC.10.“黃金分割”體現了和諧之美．把大小為的角分為不等的兩個角，用表示較小的角，若滿足，則稱為黃金分割角．許多植物相繼出現的葉片之間的夾角恰好等于黃金分割角，如圖中編號相鄰的葉片之間的夾角都等于黃金分割角，這種排布不僅是自然界和諧之美的體現，還可以增加葉片的受光面積．對于黃金分割角，下列各式正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】因為，故，是把大小為的角分為不等的兩個角中較小的角，故，，易知，故，，故A正確；由可得，，故，故B錯誤；由可得，，故，即，故C正確；由可得，，故①，②，由①，②可知，故D正確．故選：ACD.11.空間個點滿足任意三點不共線，任意四點不共面，將所有的點兩兩相連，并用紅、藍兩種顏色將所有相連得到的線段染色（一條線段只染一種顏色）．對于由上述線段構成的所有三角形和三棱錐，下列說法中正確的有（）A.若，則可能存在任意2條沒有公共點的棱不是同一種顏色的三棱錐B.若，則一定存在3條邊是同一種顏色的三角形C.若，則可能存在任意三角形的3條邊不是同一種顏色的情況D.若，則一定存在至少有4條棱是同一種顏色的三棱錐【答案】AD【解析】若，4點僅能構成一個三棱錐，記為，不妨把，，染成紅色，把，，染成藍色，則滿足要求，故A正確；若，設這5個點分別為，如圖，實線表示紅色線段，虛線表示藍色線段，則存在三角形的3條邊不是同一種顏色的情況，故B錯誤；若，設這6個點分別為，考慮由一點引出5條線段，，，，，則至少有3條線段是同色，不妨設，，為紅色，，為藍色．對于的三條邊，若有一條邊為紅色（不妨設為紅色），則的3條邊都是紅色，若任意一條邊都為藍色，則的三條邊都是藍色，故一定存在一個三角形的3條邊都是同一種顏色的情況，故C錯誤；若，設這8個點分別為，從中任取6個點，則由上可知，這6個點所構成的三角形中一定存在3條邊是同一種顏色的三角形，不妨設的3條邊都是紅色，則以中一點為頂點，以為底面的三棱錐中，僅當棱都是藍色時，在三棱錐的所有棱中恰有3條是紅色，3條是藍色，否則存在某個三棱錐至少有4條棱是紅色的情況，但如果棱都是藍色，則在三棱錐中，棱，，，是藍色，故無論棱是何種顏色，三棱錐至少有4條棱是藍色，所以不存在一個三棱錐的6條棱恰有3條棱是紅色，3條棱是藍色的情況，故D正確．故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，，，，則________．【答案】【解析】因為，，，由正弦定理可知，，即，故．故答案為：.13.已知為橢圓上一動點．設點，，則的最小值為________．【答案】【解析】根據題設可知，為橢圓的右焦點，設為橢圓的左焦點，則，所以，當，，三點共線時等號成立．又，故，即的最小值為．故答案為：．14.已知和分別是函數的極大值點和極小值點．若在區間單調，則的取值范圍是________．【答案】【解析】．若和分別為函數的極大值點和極小值點，則方程有兩個解，即，故或．（i）當時，在單調遞減，且，故當時，，故此時滿足在區間單調，又，故；（ii）當時，，，且，故，若在區間單調，則只能單調遞減，故，即．綜上，的取值范圍是．由上可知，，，設，則，當時，因為，故，此時，故，即，故；當時，，，故，解得．綜上，的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，多面體中，，底面是矩形，為的中點．（1）證明：平面；（2）若，，側面是邊長為1的正三角形，且平面平面，求二面角的正切值．證明：（1）如圖，連接交于點，連接．因為是矩形，故為的中點．又因為為的中點，故．又平面，平面，所以平面．（2）解：方法1：如圖，取的中點，連接，，，易知為的中點，故，且．因為，且，，故，且，所以四邊形是平行四邊形，故．因為是正三角形，故，又因為平面平面，平面平面，平面,故平面．過作，過作，同理可證平面，平面，故，是二面角的平面角．因為側面是邊長為1的正三角形，易知為的中點，故，，又，故，，且．由上可知平面平面，故二面角的平面角與二面角的平面角互余，所以二面角的正切值為．方法2：如圖，取的中點，連接，，，因為為的中點，故，且．因為，且，，故，且，所以四邊形是平行四邊形，故．因為是正三角形，故，又因為平面平面，平面平面，故平面．以為坐標原點，的方向為軸正方向建立空間坐標系．因為正的邊長為1，且，，故，，，，，，．設平面的法向量為，平面的法向量為，則，不妨取，，則，．故，．易知二面角為銳角，故其正切值為．16.為了解南、北方消費者對新能源汽車的認可度，隨機對南、北方共500位消費者進行問卷調查，得到如下列聯表：對新能源汽車的認可度合計認可不認可南方消費者150150300北方消費者75125合計225500（1）求，；（2）根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為南、北方消費者對新能源汽車的認可度有差異？（3）記南、北方消費者中對新能源汽車認可的概率分別為，，給出，的估計值，并根據，求4位消費者（2位南方消費者和2位北方消費者）中認可新能源汽車的人數的分布列與期望．附：．0.0050.0100.0013.8416.63510.828解：（1）由列聯表得，．（2）．由于，所以根據小概率值的獨立性檢驗，可以認為南，北方消費者對新能源汽車的認可度有差異．（3）南、北方消費者中對新能源汽車認可的頻率分別為，，因此，的估計值分別為，．4位消費者（2位南方消費者和2位北方消費者）中認可新能源汽車的人數，則，，，．故的分布列為：01234故．17.已知拋物線的焦點為，過的一條直線與交于，兩點，且與的準線交于點．（1）若的縱坐標為2，求；（2）已知為坐標原點，過且平行于的直線與直線，分別交于，兩點，證明：為線段的中點．解：（1）若的縱坐標為2，可知的坐標為，又，故直線的方程為，由得，設，，則，故由拋物線的定義可知，；（2）設的方程為，由得，故根據（1）中所設，的坐標有，，又易知，故直線的斜率為，直線的方程為，直線的方程為，與直線的方程聯立得，同理得．故，，代入，，得，，故為線段的中點．18.已知函數，為的導數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論零點的個數；（3）設為的零點，證明：當時，．（1）解：當時，，則，故，，曲線在點處的切線方程為．（2）解：因為，且，故零點的個數等價于函數在零點的個數．當時，，沒有零點．當時，，令，則，且當時，，單調遞減，當時，，單調遞增．又，當時，，此時沒有零點；當時，，此時有一個零點．若，則，又，，，結合的單調性可知，在區間和各恰有一個零點，即在區間存在一個零點，在區間存在一個零點．綜上，當時，沒有零點；當時，有一個零點；當時，有兩個零點．（3）證明：（i）若，由（2）可知，在區間沒有零點，且，故在區間單調遞增，，且此時．因為，故．設，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故．故當時，．（ii）若，由（2）可知，在區間存在一個零點，即在存在唯一極大值點，故當時，．由（2）可知，，且，故當時，都有．又因為，且在區間單調遞增，故存在唯一零點，且滿足．設，則，．由上可知，在區間單調遞減，且，故，此時也有．綜上，由（i），（ii）可知，當時，．19.設為不小于6的整數，數列和滿足，且．設，區間，定義為的長度，且．規定．已知區間，．（1）若，，，，求，；（2）設，證明：（i）存在和，且，使得；（ii）若，，則對任意和，．解：（1），，，，，，故，．，