高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山東省齊魯名校2025屆高三第六次聯(lián)考模擬預(yù)測（沖刺二）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，，則，即.故選：C.2.已知平面向量，，，，且A，B，C三點共線，則實數(shù)（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】，，因為A，B，C三點共線，所以設(shè)，即.故選：B3.已知集合，或，且，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以當(dāng)時滿足題意，此時，當(dāng)時，要滿足題意，則有綜上實數(shù)的取值范圍為.故選：A4.記為等差數(shù)列的前項和，，，則（）A.58 B.63 C.75 D.84【答案】D【解析】由，所以，又，所以，設(shè)該等差數(shù)列的公差為d，則由題意可知，所以.故選：D5.已知三棱錐內(nèi)接于半徑的球，平面ABC，，，，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)球心為，取線段的中點記為.因為，，，所以在中，由余弦定理可得，即.則有，即是以線段為斜邊的直角三角形.所以點是截面ABC的圓心，半徑為則平面ABC.又因為平面ABC，且三棱錐內(nèi)接于半徑的球，所以球心在線段的垂直平分線上，所以，由，,解得.所以三棱錐的體積為.故選：C.6.已知圓，直線.若過直線上任意一點都能作圓的兩條切線，切點為P，Q，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為圓的半徑為，且過直線上任意一點都能作圓的兩條切線，切點為P，Q，且，所以圓心到直線l的距離，解得或，故實數(shù)的取值范圍是.故選：D7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與軸相交于點，與雙曲線在第一象限部分的交點為，且，，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】因為，，所以與相似，所以，所以，則，所以由得，所以，解得（舍去）或.所以雙曲線的離心率為.故選：D8.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，都有成立，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為當(dāng)時，都有成立，不妨令，則都有成立，即對任意，且，都有成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，所以不等式或或，解得或.所以不等式解集為.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知隨機變量服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論正確的是（）（參考數(shù)值：隨機變量服從正態(tài)分布，則，，A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對于A，因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：ABC10.某小區(qū)共有2000名20~60歲的居民進行消防知識有獎答題，滿分100分.答題完成后，工作人員從中隨機抽取100人的答卷，并根據(jù)成績繪制了頻率分布直方圖（如圖），則下列結(jié)論正確的是（）A.頻率分布直方圖中B.小區(qū)2000名20~60歲居民答題成績的平均數(shù)約為70.5，極差約為60C.估計這100名居民答題成績的第60百分位數(shù)為70D.被抽取的100人中答題成績在的約有45人【答案】ABD【解析】由圖可知，所以，故A正確；記平均數(shù)為，則，極差約為，故B正確；設(shè)第60百分位數(shù)為，所以，故C錯誤；成績在的占比為，所以約有人，故D正確.故選：ABD11.如圖所示，在棱長為1的正方體中，為上的動點（不與點重合），則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.平面平面C.點到平面的距離為定值D.存在一點，使得直線與平面所成角為【答案】AB【解析】對于A：由正方體易知，又不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，所以平面，正確；對于B：由正方體易知平面，又在平面內(nèi)，所以平面平面，正確；對于C，在正方體中，易知，又不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，所以平面，又為上的動點，所以點到平面的距離等于到平面的距離距離，，由等體積可得：即，所以，所以點到平面的距離為定值，故錯誤；連接，由正方體易知直線與平面所成角,所以，若存在一點，使得直線與平面所成角為，即需滿足，，也即，而在等腰直角三角形中，，顯然不能成立，所以不存在點，使得直線與平面所成角為，D錯誤；故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_____.【答案】【解析】因為，所以由展開式的通項公式得，所以.故答案為：.13.已知函數(shù)在其定義域內(nèi)的區(qū)間內(nèi)有極值點，則實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】由，可知，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，存在唯一極值點2，所以，解得：，又，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：14.已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有5個根，且在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為_____.【答案】【解析】由題意，，由，可得，則或由可得，由恰有5個根，可得，解得.由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即，且，解得.所以，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，E是邊的中點，，.（1）求的值；（2）的平分線交于點，求的長.解：（1）由余弦定理得：，，因為,且，所以有：，解得；（2）由余弦定理是：，因為，所以，又因為是平分線，所以，再由面積公式可得：，代入，可得.16.我們把魚在水中聚集的比較密的地方叫做魚窩.某人在一湖中用粘網(wǎng)（也叫掛網(wǎng)）捕魚，如果找到魚窩下網(wǎng)，則捕到魚的概率為；如果找不到魚窩下網(wǎng)，則捕到魚的概率為.若這個人能夠找到魚窩的概率為.（1）求此人能捕到魚的概率；（2）此人連續(xù)下網(wǎng)次，每次下網(wǎng)捕魚之間相互獨立，若能捕到魚的次數(shù)為，則為何值時，次捕到魚的概率的值最大?解：（1）記事件為“此人能補到魚”，事件為“此人能找到魚窩”，則，，，.（2）由（1）知：，，假設(shè)當(dāng)時，次補到魚的概率最大，則，解得：，若的值最大，則，解得：，又且，或，即當(dāng)或時，次補到魚的概率的值最大.17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為8的菱形，為的中點，，.（1）求證：；（2）若，求平面與平面夾角的正弦值.（1）證明：如圖，連接,，為的中點，,底面是菱形,,是等邊三角形，則,平面,平面,平面.又平面平面,（2）解：由題意，在中，,所以，.在中，,所以，.則,,所以.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸，過點作軸底面，則，,.設(shè)平面的法向量，，則，令，則，所以設(shè)平面的法向量，，則，令，則，所以所以設(shè)平面與平面夾角為，則所以，平面與平面夾角的正弦值為.18.已知點，，是平面內(nèi)一動點，，垂足位于線段上且不與點A，B重合，.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點且與曲線相交的兩條線段分別為和，（直線EF，MN的斜率均存在，且點E，F(xiàn)，M，N都在曲線上），若G，H分別是和的中點，求證：直線過定點.（1）解：由題可設(shè)，，因為，所以，整理得，即動點的軌跡的方程為.（2）證明：由題可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，所以，所以的中點為，因為，所以直線方程為，同理可得中點坐標(biāo)為，所以直線斜率為，所以直線的方程為，令.所以直線過定點.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（2）關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）易知函數(shù)的定義域為，，令，易知，顯然時，，即此時單調(diào)遞增，時，，此時單調(diào)