高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省聊城市某校2024-2025學年高一下學期第一次月考數學試題一、單選題（每題5分，共40分）1.在下列四個函數中，以為最小正周期，且在區間上單調遞減的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對A：對A：的圖象是由的圖象將軸下方的圖象關于軸對稱上去，軸及軸上方部分不變所得，其函數圖象如下所示：則的最小正周期為，且在上單調遞減，故A正確；對B：的最小正周期為，故B錯誤；對C：的最小正周期為，但是在上單調遞增，故C錯誤；對D：的最小正周期為，故D錯誤.故選：A.2.已知均為第二象限角，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】在第二象限，余弦函數值是負數且單調遞減，正弦函數值是正數且單調遞減.已知α，β均為第二象限角，當時，根據余弦函數在第二象限的單調性可知.因為正弦函數在第二象限單調遞減，當時，可得.這說明由可以推出.當時，根據正弦函數在第二象限單調遞減可知，再根據余弦函數在第二象限單調遞減，可得.說明由也可以推出.所以“”是“”的充分必要條件.故選：C.3.將函數的圖象上所有點向右平移個單位后得到的圖象關于原點對稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將函數的圖象上所有點向右平移個單位后得到的圖象的解析式為，因為的圖象關于原點對稱，所以，解得，因為，所以.故選：B.4.已知函數，且的最小值為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因，則的一個對稱中心為，一條對稱軸為，又最小值為，則相鄰對稱中心與對稱軸距離，即最小正周期的為，則最小正周期為，則.故選：B.5.已知函數，下列說法正確的是（）A.函數最小正周期為B.定義域為C.函數圖象所有對稱中心為，D.函數的單調遞增區間為，【答案】D【解析】對于A，由可得，所以函數最小正周期為，即A錯誤；對于B，由正切函數定義域可得，解得；可得定義域為，即B錯誤；對于C，利用對稱中心方程可得，解得,因此函數圖象所有對稱中心為，，可知C錯誤；對于D，根據正切函數單調性可得，解得，所以函數的單調遞增區間為，可得D正確.故選：D.6.已知的圖象為，為了得到的圖象，只要把上所有的點（）A.向右平行移動個單位長度 B.向左平行移動個單位長度C.向右平行移動個單位長度 D.向左平行移動個單位長度【答案】C【解析】因為，即圖像上所有的點向右平移個單位，又，即上述圖像再次向右平移個單位，綜上，為了得到的圖象，只要把上所有的點向右平行移動個單位長度.故選：C.7.已知函數是圖象的一條對稱軸，且在上單調，則為（）A.2 B.5 C.8 D.11【答案】B【解析】因為函數在上單調，，所以，得.又直線為的圖象的對稱軸，所以，得，當時，.故選：B.8.已知函數，若方程在上恰有6個實數解，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，令，得，當時，，令，要想在上恰有6個實數解，則，解得，即m的取值范圍是.故選：D.二、多選題（每題6分，部分選對部分得分，共18分）9.已知函數的最小正周期為，則（）A.B.點是圖象的一個對稱中心C.在上單調遞減D.將的圖象上所有的點向左平移個單位長度，可得到的圖象【答案】ABD【解析】因為，又的最小正周期為，所以，得到，所以選項A正確，對于選項B，因為，由，得到，所以的對稱中心為，當時，對稱中心為，所以選項B正確，對于選項C，當時，，且，所以由圖象與性質知，在上不單調，故選項C錯誤，對于選項D，將的圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到，所以選項D正確.故選：ABD.10.已知函數，其部分圖象如圖所示，其中B為最高點，，，則（）A.B.C.若，則D.【答案】BCD【解析】如圖，過點作軸的垂線，垂足為，，，，，所以，由，則，所以，，又，即，，，即，故A錯誤，B正確；對于C，令，則或，解得或，，，故C正確；對于D，是周期為4的函數，所以周期為12，則，，，，，，，，，故D正確.故選：BCD.11.筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到應用.假定在水流穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為，筒車轉輪的中心到水面的距離為，筒車每分鐘沿逆時針方向轉動3圈.若規定：盛水筒對應的點從水中浮現（即時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心為坐標原點，過點的水平直線為軸建立平面直角坐標系.設盛水筒從點運動到點時所經過的時間為（單位：），且此時點距離水面的高度為（單位：）（在水面下則為負數），則與的關系為.下列說法正確的是（）A.B.點第一次到達最高點需要的時間為C.在轉動的一個周期內，點在水中的時間是D.若在上的值域為，則的取值范圍是【答案】ABD【解析】對于A，因為筒車半徑為，筒車轉輪的中心到水面的距離為，則依題意，滿足，所以，因為筒車每分鐘60s沿逆時針方向轉動3圈，所以，，則，由可得，又因為，所以，故A正確；對于B，由已知得，與軸正方向的夾角為，所以點第一次到達最高點需要轉動，則所需時間為，故B正確；對于C，在轉動的一個周期內，點在水中轉動，則所需要的時間是，故C錯誤；對于D，若在上值域為，則在上的值域為，因為，所以，作出函數的圖象，依題意需使即，解得，故D正確.故選：ABD.三、填空題（每題5分，共15分）12.函數的對稱中心為________.【答案】【解析】令，解得，所以的對稱中心為.13.已知簡諧運動f(x)＝2sin的圖象經過點(0，1)，則該簡諧運動的振幅為______，初相為____.【答案】2【解析】因為圖象過，故，即，而，故，故簡諧振動的初相為，又由的解析式可得振幅為2.14.已知函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意令，則，由于函數在區間上單調遞增，且，故取，則，可得，解得，結合，知.四、解答題15.化簡并求值：.解：原式.16.已知函數．（1）用“五點法”畫出在區間的大致圖象（要求列表作圖）；（2）將的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，求的單調遞增區間和對稱中心的坐標．解：（1）在區間的大致圖象如下圖：（2）由題意得，，由，得，∴的單調遞增區間為．由，得，∴對稱中心的坐標為.綜上得，的單調遞增區間為，對稱中心的坐標為．17.已知函數的最小正周期為．（1）求函數的單調區間；（2）解不等式：．解：（1），故，解得，故，其中的遞增區間為的遞減區間，令，解得，故的遞減區間為，無遞增區間.（2），，故，，，解得.18.已知函數.（1）求函數的單調遞增區間及對稱中心；（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到函數的圖象，求函數在區間上的值域.解：（1）函數，∴.令，，得，，即函數的單調遞增區間為（）.令，，得，，所以函數的對稱中心為（）.（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象；再向下平移個單位長度得到函數的圖象.因為，所以，所以，所以，即的值域為.19.已知函數的部分圖象