高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山東省菏澤市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將姓名、班級(jí)等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答．超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知二項(xiàng)式（其中且）的展開式中與的系數(shù)互為相反數(shù)，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】依題意，，則，又，則，所以.故選：A.2.若函數(shù)在處可導(dǎo)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題得.故選：B.3.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】,直線的斜率為-a.所以a=-2,故選D.4.，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因且，表示80個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積，其中最大因數(shù)為，最小因數(shù)為，由排列數(shù)公式的意義得結(jié)果為，所以.故選：A.5.已知函數(shù)有極值，則c的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，若函數(shù)有極值，則，解得，故選：A．6.的展開式中無(wú)理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】由題，又的展開式，所以的展開式的通項(xiàng)公式為，所以當(dāng)?shù)闹笖?shù)不為整數(shù)時(shí)，該項(xiàng)為無(wú)理項(xiàng)，而當(dāng)時(shí)，不為整數(shù)，所以展開式中無(wú)理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為4.故選：B.7.某個(gè)單位安排7位員工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在5月1日,丁不排在5月7日,則不同的安排方案共有（）A504種 B.960種 C.1008種 D.1200種【答案】C【解析】依題意，滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天的方法共有（種），其中滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在5月1日值班的方法共有（種）；滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丁在5月7日值班的方法共有(種)；滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有(種).因此滿足題意的方法共有(種).故選：C.8.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，得，，而對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分.部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則m的取值可能是（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】BC【解析】根據(jù)題意,對(duì)于,有0≤m﹣1≤8且0≤m≤8,則有1≤m≤8,若,則有,變形可得：m＞27﹣3m,解可得：m＞,綜合可得：＜m≤8,則m＝7或8；故選：BC.10.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.C.函數(shù)在x＝5處取得極小值D.函數(shù)存在最小值【答案】ACD【解析】在恒成立，則在上單調(diào)遞減，故A正確；在恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，故B錯(cuò)誤；上，上,則函數(shù)在x＝5處取得極小值，故C正確;由導(dǎo)數(shù)圖可知在上遞減，在上遞增，在上遞減，在上遞增，故在兩個(gè)極小值和中產(chǎn)生，故存在最小值，故D正確;故選：ACD.11.已知，則下列描述不正確的是（）A. B.除以5所得的余數(shù)是1C. D.【答案】ACD【解析】，令，可得，再令，可得，,故A錯(cuò)誤．由于，即展開式各項(xiàng)系數(shù)和系數(shù)和，故，，故C錯(cuò)誤．由題意，，顯然，除了最后一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均能被5整除，除以5所得的余數(shù)是1，故B正確．把函數(shù)兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)數(shù)，可得，再令，可得，，可得，故,故D錯(cuò)誤．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程的斜率為____________.【答案】【解析】由題得，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程的斜率為.13.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有____________種.（請(qǐng)用數(shù)字作答）【答案】24【解析】先將丙和丁綁在一起有種排列方法，然后將其與乙、戊進(jìn)行排列有種排列方法，最后將甲插入中間兩空中的一空中有種排列方法，所以不同的排列方式共有種.14.已知關(guān)于x的不等式恰有3個(gè)不同的整數(shù)解，則k的取值范圍是____________.【答案】【解析】由不等式，化為，令且，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，則當(dāng)時(shí)，取得極大值，也為最大值，且當(dāng)時(shí)，，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，而直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線位于如圖所示的兩條直線和之間，其中包含，不包含時(shí)，恰有三個(gè)整數(shù)解，與的圖象分別交于點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題.共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的展開式中共有13項(xiàng).（1）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和.解：（1）由題意可知：，則的展開式通項(xiàng)為，令，解得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（2）令，可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為.16.從1到7這7個(gè)數(shù)字中取2個(gè)偶數(shù)、3個(gè)奇數(shù)，排成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．求：（1）共有多少個(gè)五位數(shù)？（2）其中偶數(shù)排在一起的有多少個(gè)？（3）其中偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有多少個(gè)？（4）其中兩個(gè)偶數(shù)不相鄰的有多少個(gè)？解：（1）依題意，從1到7這7個(gè)數(shù)字中取2個(gè)偶數(shù)、3個(gè)奇數(shù)，共有（種）情況，共有（個(gè)）五位數(shù)．（2）把選出的偶數(shù)捆綁在一起，和奇數(shù)進(jìn)行全排列，故其中偶數(shù)排在一起的有（個(gè)）．（3）把選出的偶數(shù)捆綁在一起，把選出的奇數(shù)也捆綁在一起，再全排列，故其中偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有（個(gè)）．（4）先排3個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)插空，故其中兩個(gè)偶數(shù)不相鄰的共有（個(gè)）．17.已知函數(shù)，，若的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，（1）求函數(shù)的解析式；（2）若在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，又，則，即，又，即切點(diǎn)為，于是，解得，所以函數(shù)的解析式為．（2）由（1）知，在上是減函數(shù)，則對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，又在上為減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．18.某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購(gòu)買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“√”表示購(gòu)買，“×”表示未購(gòu)買．顧客人數(shù)商品甲乙丙丁100√××√217√√××200√√√×250√×√×100×××√133√×√×（1）試估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買了甲、乙兩種商品的概率；（2）假設(shè)每位顧客是否夠買這四種商品是相互獨(dú)立的，在近期內(nèi)再對(duì)這四種商品購(gòu)買情況進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取4名顧客，試估計(jì)恰有2名顧客購(gòu)買了兩種商品，1名顧客購(gòu)買了一種商品、1名顧客購(gòu)買了三種商品的概率；（3）如果顧客購(gòu)買了甲，則該顧客同時(shí)購(gòu)買丙、丁中哪種商品的可能性最大．（結(jié)論不要求證明）解：（1）從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中同時(shí)購(gòu)買了甲、乙兩種商品有（位）.所以顧客同時(shí)購(gòu)買了甲、乙兩種商品的概率可以估計(jì)為．（2）設(shè)事件A：顧客購(gòu)買了兩種商品，事件B：顧客購(gòu)買一種商品，事件C：顧客購(gòu)買了三種商品．從統(tǒng)計(jì)表可以看出，顧客購(gòu)買了兩種商品有（位）；顧客購(gòu)買一種商品有（位）；顧客購(gòu)買了三種商品（位）；所以可估計(jì)為，可估計(jì)為，可估計(jì)為．依題意，在隨機(jī)抽取4名顧客中，求恰有2名顧客購(gòu)買了兩種商品，1名顧客個(gè)購(gòu)買一種商品，一名顧客購(gòu)買了三種商品的概率為：．因此所求的概率可估計(jì)為0.1176．（3）因?yàn)樵谶@1000位顧客中，顧客同時(shí)購(gòu)買了甲、丙兩種商品的概率可以估計(jì)為；顧客同時(shí)購(gòu)買了甲、丁兩種商品的概率可以估計(jì)為．所以該顧客購(gòu)買丙的可能性最大.19.若，都存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)存在“源數(shù)列”.已知.（1）證明：存在源數(shù)列；（2）（ⅰ）若恒成立，求的取值范圍；（ⅱ）記的源數(shù)列為，證明：前項(xiàng)和.解：（1）由，得，即在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)且x無(wú)限趨近于0時(shí)，趨