高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省百師聯盟2024-2025學年高二下學期3月聯考數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名，準考證號，考場號，座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時間120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.從7本不同的書中選出3本送給3位同學，每人一本，不同的選法種數是（）A. B. C.21 D.210【答案】D【解析】根據分步乘法計數原理，不同的選法有種.故選：D2.下表是離散型隨機變量的概率分布，則常數a的值是（）3456A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，故選：C.3.有5名志愿者報名參加周六、周日的公益活動，若每天從這5人中安排2人參加，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）種A.30 B.50 C.60 D.80【答案】C【解析】從5人中選1人兩天都參加，有種方法，再從余下4人中選2人分派到周六、周日參加，有種方法，所以不同安排方式共有（種）.故選：C.4.一個三位正整數，百位，十位，各位上的數字分別為，，,若且,當為4或5時，則所有滿足條件的三位正整數的個數為（）A.32 B.25 C.20 D.12【答案】A【解析】當時，可以是1，2，3，可以是0，1，2，3，滿足條件的三位正整數有個；當時，可以是1，2，3，4，可以是0，1，2，3，4，滿足條件的三位正整數有個.由分類加法計數原理得，滿足條件的三位正整數共有（個）.故選：A.5.一位教授去參加學術會議，他選擇自駕、乘坐動車和飛機的概率分別為0.2，0.5，0.3，現在知道他選擇自駕、乘坐動車和飛機遲到的概率分別為0.5，0.2，0.1，則這位教授遲到的概率為（）A.0.8 B.0.5 C.0.23 D.0.32【答案】C【解析】依題意，教授遲到的概率為.故選：C6.設滿足，則（）A.120 B. C.40 D.【答案】A【解析】因為，令，即可得，令，即可得，可得，所以；令，即可得，得，得，所以.故選：A.7.甲、乙進行射擊訓練．已知甲、乙射中10環的概率分別為0.5和0.4，且兩人是否射中10環互不影響．甲、乙各射擊1次，若10環被射中，則只被甲射中的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設事件：甲射中10環，事件：乙射中10環，事件：10環被射中，則，，所以，因為，所以．故選：C．8.一袋中裝有4個白球和2個紅球，現從袋中往外取球，每次任取一個不放回，取出后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續抽取，停止時從袋中抽取的白球的個數為隨機變量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令表示前k個球為白球，第個球為紅球，此時，則．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.若隨機變量X的數學期望，則B.若隨機變量Y的方差，則C.將一枚硬幣拋擲3次，記正面向上的次數為X，則X服從二項分布D.從7男3女共10名學生中隨機選取5名學生，記選出女生的人數為X，則X服從超幾何分布【答案】ACD【解析】對于，因為，故正確；對于，因為，故錯誤；對于，根據二項分布的概念可知隨機變量服從，故正確；對于，根據超幾何分布的概念可知服從超幾何分布，故正確.故選：.10.某企業生產的個產品中有個一等品、個二等品，現從這批產品中任意抽取個，則其中恰好有個二等品的概率為（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】從個產品中任意抽取個，基本事件總數為個；其中恰好有個二等品的基本事件有個，恰好有個二等品的概率；也可由對立事件計算可得.故選：AD.11.某校高三年級選考地理科的學生有100名，現將他們該科的一次考試分數轉換為等級分，已知等級分X的分數轉換區間為，若等級分，則（）參考數據：；；A.這次考試等級分的標準差為5B.這次考試等級分超過80分約有45人C.這次考試等級分在內的人數約為48人D.【答案】ACD【解析】對于A，因，則，故A正確；對于B，因，即這次考試等級分超過80分的學生約占一半，故B錯誤；對于C，因,故這次考試等級分在內人數約為人，故C正確；對于D，因,故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量服從兩點分布，且，，那么________．【答案】【解析】由題意可知或，由于，所以，故答案為：13.從含有6件正品和4件次品的正品中任取3件，記為所抽取的次品數，則______．【答案】【解析】的所有可能取值為0，1，2，3，則，故.故答案為：.14.已知隨機變量的概率分布列如下表，則______，若，則____.234【答案】3；【解析】由隨機變量分布列的性質，得，所以，，解得，代入，得故答案為：3；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.從包含甲、乙2人的7人中選4人參加4×100米接力賽，求在下列條件下，各有多少種不同的排法？（結果用數字作答，否則無分）（1）甲、乙2人都被選中且必須跑中間兩棒；（2）甲、乙2人只有1人被選中且不能跑中間兩棒；（3）甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒；（4）甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒；（5）甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．解：（1）（2）（3）（4）（5）16.某地教育局為提升教師的業務能力，從當地中學教師中隨機選取100人參加教學技能比賽，統計他們的得分（滿分100分），其得分在各區間的人數比例如下表.規定得分不低于80分的為優秀教師.得分區間人數比例0.250.350.20（1）求的值并求參賽教師為優秀教師的頻率；（2）以頻率估計概率，若在當地中學教師中隨機選取3人，其中優秀教師的人數記為，求的分布列與期望.解：（1）由表可知，，解得，參賽教師為優秀教師的頻率為；（2）由(1)可知，當地中學教師是優秀教師的概率為0.3，的取值可能為0，1，2，3，，，，，的分布列為01230.3430.4410.1890.027.或寫成由，得.17.一個不透明的盒子中裝有紅色、黃色、白色、黑色小球各1個，這些小球除顏色外完全相同.現從盒于中隨機抽取若干個小球，抽中的小球的顏色對應的得分如下表.抽中小球的顏色紅色黃色白色黑色得分1234（1）若有放回地從盒子中抽取2次，每次抽取1個小球，求抽中小球對應的得分之和大于6的概率；（2）若一次性從盒子中抽取2個小球，記抽中的小球對應的得分之和為，求的分布列與期望．解：（1）有放回抽取兩次，總的可能有種，小球得分之和大于的情況只有第一次取白球，第二次取黑球；第一次取黑球，第二次取白球；兩次都取黑球種情況，所以小球得分之和大于的概率.（2）的取值有五種可能，，，，，，所以的分布列為.18.小睿與小金同學進行羽毛球比賽，經過大數據分析，每局比賽小睿獲勝的概率均約為.（1）若比賽為三局兩勝制：（ⅰ）設比賽結束時比賽場次為，求的分布列與數學期望；（ⅱ）求小金最終獲勝的概率；（2）若比賽為五局三勝制，已知小睿最終獲勝了，求在此條件下進行了5局比賽的概率.解：（1）（ⅰ）可取：，，，所以的分布列為：X23P.（ⅱ）小金最終獲勝的概率；（2）設事件“小睿最終獲勝”，事件“共進行了5場比賽”.則，，故.19.隨著巴黎奧運會的舉辦，中國義烏再度吸引全球目光，“義烏制造”再次被奧運“帶火”．某義烏體育用品公司承接了部分巴黎奧運會體育產品的制造，假設該產品在試產階段采用兩種不同的方案進行生產，已知每種方案均有三道加工工序，每道工序的加工結果相互獨立，且只有每道加工工序都合格，該產品方能出廠進行銷售，若某道加工工序不合格，則該產品停止加工．已知方案：每道加工工序合格的概率均為；方案：第一、二、三道加工工序合格的概率分別為．（1）若分別采用兩種方案各自生產一件產品，求生產的兩件產品中只有一件產品可以出廠銷售的概率；（2）若方案：每件產品每道工序的加工成本為10元，銷售時單價為100元；方案：每件產品的第一、二、三道工序的加工成本分別為5元，10元和15元，銷售時單價為100元．若以每件產品獲利的數學期望為決策依