2025年統計學專業期末考試題庫數據分析計算題庫（隨機變量分析試題）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、離散型隨機變量分布要求：計算下列離散型隨機變量的分布列、期望和方差。1.設隨機變量X的可能取值為1，2，3，其對應的概率分別為P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.5，P(X=3)=0.2，求X的分布列、期望和方差。2.設隨機變量Y服從參數為p的0-1分布，其中p=0.4，求Y的分布列、期望和方差。3.設隨機變量Z服從參數為λ的泊松分布，其中λ=3，求Z的分布列、期望和方差。4.設隨機變量W的可能取值為-1，0，1，其對應的概率分別為P(W=-1)=0.2，P(W=0)=0.4，P(W=1)=0.4，求W的分布列、期望和方差。5.設隨機變量T服從參數為p的幾何分布，其中p=0.6，求T的分布列、期望和方差。6.設隨機變量U的可能取值為0，1，2，其對應的概率分別為P(U=0)=0.1，P(U=1)=0.6，P(U=2)=0.3，求U的分布列、期望和方差。7.設隨機變量V的可能取值為1，2，3，其對應的概率分別為P(V=1)=0.2，P(V=2)=0.5，P(V=3)=0.3，求V的分布列、期望和方差。8.設隨機變量W服從參數為p的負二項分布，其中p=0.4，r=2，求W的分布列、期望和方差。9.設隨機變量X的可能取值為1，2，3，其對應的概率分別為P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.5，P(X=3)=0.3，求X的分布列、期望和方差。10.設隨機變量Y服從參數為p的均勻分布，其中p=0.4，求Y的分布列、期望和方差。二、連續型隨機變量分布要求：計算下列連續型隨機變量的分布函數、密度函數、期望和方差。1.設隨機變量X服從參數為λ的指數分布，其中λ=2，求X的分布函數、密度函數、期望和方差。2.設隨機變量Y服從參數為μ和σ的正態分布，其中μ=5，σ=2，求Y的分布函數、密度函數、期望和方差。3.設隨機變量Z服從參數為a和b的均勻分布，其中a=1，b=3，求Z的分布函數、密度函數、期望和方差。4.設隨機變量W服從參數為m和n的三角分布，其中m=2，n=4，求W的分布函數、密度函數、期望和方差。5.設隨機變量X服從參數為μ和σ的伽馬分布，其中μ=3，σ=2，求X的分布函數、密度函數、期望和方差。6.設隨機變量Y服從參數為α和β的beta分布，其中α=2，β=3，求Y的分布函數、密度函數、期望和方差。7.設隨機變量Z服從參數為a和b的卡方分布，其中a=3，b=4，求Z的分布函數、密度函數、期望和方差。8.設隨機變量W服從參數為λ的韋伯分布，其中λ=2，求W的分布函數、密度函數、期望和方差。9.設隨機變量X服從參數為α和β的F分布，其中α=2，β=3，求X的分布函數、密度函數、期望和方差。10.設隨機變量Y服從參數為p的柯西分布，其中p=0.5，求Y的分布函數、密度函數、期望和方差。四、隨機變量函數的分布要求：已知隨機變量X的分布，求以下隨機變量函數的分布。4.1.設隨機變量X服從標準正態分布N(0,1)，求Y=|X|的分布函數F_Y(y)。4.2.設隨機變量X服從指數分布Exp(λ)，其中λ=1/2，求Y=X^2的分布函數F_Y(y)。4.3.設隨機變量X服從參數為a的正態分布N(a,σ^2)，其中a=2，σ=3，求Y=e^X的分布函數F_Y(y)。4.4.設隨機變量X服從參數為p的二項分布B(n,p)，其中n=5，p=0.3，求Y=X^3的分布函數F_Y(y)。4.5.設隨機變量X服從參數為λ的泊松分布P(λ)，其中λ=4，求Y=log(X)的分布函數F_Y(y)。4.6.設隨機變量X服從參數為α和β的卡方分布χ^2(α)，其中α=3，求Y=√X的分布函數F_Y(y)。4.7.設隨機變量X服從參數為m和n的F分布F(m,n)，其中m=3，n=5，求Y=X/n的分布函數F_Y(y)。4.8.設隨機變量X服從參數為a和b的beta分布Beta(α,β)，其中α=2，β=3，求Y=X/(X+b)的分布函數F_Y(y)。4.9.設隨機變量X服從參數為a的伽馬分布Gamma(α,β)，其中α=3，β=2，求Y=X^(1/2)的分布函數F_Y(y)。4.10.設隨機變量X服從參數為σ的柯西分布Cauchy(σ)，其中σ=1，求Y=sin(X)的分布函數F_Y(y)。五、隨機變量的獨立性要求：判斷下列隨機變量是否相互獨立。5.1.設隨機變量X和Y都服從標準正態分布N(0,1)，判斷X和Y是否相互獨立。5.2.設隨機變量X服從參數為λ的指數分布Exp(λ)，Y服從參數為μ的指數分布Exp(μ)，判斷X和Y是否相互獨立。5.3.設隨機變量X服從參數為p的二項分布B(n,p)，Y服從參數為λ的泊松分布P(λ)，判斷X和Y是否相互獨立。5.4.設隨機變量X服從參數為a的正態分布N(a,σ^2)，Y服從參數為a的均勻分布U(a,b)，判斷X和Y是否相互獨立。5.5.設隨機變量X服從參數為α和β的卡方分布χ^2(α)，Y服從參數為m和n的F分布F(m,n)，判斷X和Y是否相互獨立。5.6.設隨機變量X服從參數為α和β的beta分布Beta(α,β)，Y服從參數為σ的柯西分布Cauchy(σ)，判斷X和Y是否相互獨立。5.7.設隨機變量X服從參數為a的伽馬分布Gamma(α,β)，Y服從參數為m和n的F分布F(m,n)，判斷X和Y是否相互獨立。5.8.設隨機變量X服從參數為p的0-1分布，Y服從參數為λ的指數分布Exp(λ)，判斷X和Y是否相互獨立。5.9.設隨機變量X服從參數為μ的正態分布N(μ,σ^2)，Y服從參數為μ的正態分布N(μ,σ^2)，判斷X和Y是否相互獨立。5.10.設隨機變量X和Y都服從參數為λ的指數分布Exp(λ)，判斷X+Y是否與X獨立。六、條件分布與邊緣分布要求：根據給定的條件分布和邊緣分布，求隨機變量的分布。6.1.設隨機變量X和Y的聯合分布為F(x,y)=(x+y)^2，當x≥0且y≥0，0otherwise。求邊緣分布F_X(x)和F_Y(y)。6.2.設隨機變量X和Y的聯合概率密度函數為f(x,y)=k(x+y)^{-2}，當x>0且y>0，0otherwise。求邊緣概率密度函數f_X(x)和f_Y(y)。6.3.設隨機變量X和Y的聯合概率質量函數為P(X=x,Y=y)=k，當x=0,1,2且y=0,1，0otherwise。求邊緣概率質量函數P_X(x)和P_Y(y)。6.4.設隨機變量X和Y的聯合概率密度函數為f(x,y)=k(x^2+y^2)，當x≥0且y≥0，0otherwise。求條件概率密度函數f_Y|X(y|x)。6.5.設隨機變量X和Y的聯合分布為F(x,y)=(x+y)^3，當x≥0且y≥0，0otherwise。求條件分布函數F_Y|X(y|x)。6.6.設隨機變量X和Y的聯合概率密度函數為f(x,y)=k(1-x^2-y^2)，當x^2+y^2≤1，0otherwise。求條件概率密度函數f_X|Y(x|y)。6.7.設隨機變量X和Y的聯合概率質量函數為P(X=x,Y=y)=k，當x=0,1,2且y=0,1，0otherwise。求條件概率質量函數P_X|Y(x|y)。6.8.設隨機變量X和Y的聯合概率密度函數為f(x,y)=k(1-x-y)，當x>0且y>0，0otherwise。求邊緣概率密度函數f_X(x)。6.9.設隨機變量X和Y的聯合概率密度函數為f(x,y)=k(x^2+y^2)，當x≥0且y≥0，0otherwise。求邊緣概率密度函數f_Y(y)。6.10.設隨機變量X和Y的聯合分布為F(x,y)=(x+y)^2，當x≥0且y≥0，0otherwise。求條件概率分布函數F_X|Y(x|y)。本次試卷答案如下：一、離散型隨機變量分布1.X的分布列：X|1|2|3---|---|---|---P|0.3|0.5|0.2期望E(X)=1*0.3+2*0.5+3*0.2=1.7方差Var(X)=(1-1.7)^2*0.3+(2-1.7)^2*0.5+(3-1.7)^2*0.2=0.492.Y的分布列：Y|0|1---|---|---P|0.6|0.4期望E(Y)=0*0.6+1*0.4=0.4方差Var(Y)=(0-0.4)^2*0.6+(1-0.4)^2*0.4=0.163.Z的分布列：Z|0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---P|0.0000|0.0001|0.0002|0.0003|0.0004|0.0005|0.0006|0.0007|0.0008|0.0009|0.0010期望E(Z)=0*0.0000+1*0.0001+2*0.0002+3*0.0003+4*0.0004+5*0.0005+6*0.0006+7*0.0007+8*0.0008+9*0.0009+10*0.0010=5.5方差Var(Z)=(0-5.5)^2*0.0000+(1-5.5)^2*0.0001+(2-5.5)^2*0.0002+(3-5.5)^2*0.0003+(4-5.5)^2*0.0004+(5-5.5)^2*0.0005+(6-5.5)^2*0.0006+(7-5.5)^2*0.0007+(8-5.5)^2*0.0008+(9-5.5)^2*0.0009+(10-5.5)^2*0.0010=5.754.W的分布列：W|-1|0|1---|---|---|---P|0.2|0.4|0.4期望E(W)=(-1)*0.2+0*0.4+1*0.4=0方差Var(W)=((-1)-0)^2*0.2+(0-0)^2*0.4+(1-0)^2*0.4=0.25.T的分布列：T|1|2|3|4|5|...---|---|---|---|---|---|---P|0.6|0.3|0.1|0.01|0.001|...期望E(T)=1*0.6+2*0.3+3*0.1+4*0.01+5*0.001+...=1.5方差Var(T)=(1-1.5)^2*0.6+(2-1.5)^2*0.3+(3-1.5)^2*0.1+(4-1.5)^2*0.01+(5-1.5)^2*0.001+...=0.256.U的分布列：U|0|1|2---|---|---|---P|0.1|0.6|0.3期望E(U)=0*0.1+1*0.6+2*0.3=1.1方差Var(U)=(0-1.1)^2*0.1+(1-1.1)^2*0.6+(2-1.1)^2*0.3=0.167.V的分布列：V|1|2|3---|---|---|---P|0.2|0.5|0.3期望E(V)=1*0.2+2*0.5+3*0.3=2.2方差Var(V)=(1-2.2)^2*0.2+(2-2.2)^2*0.5+(3-2.2)^2*0.3=0.288.W的分布列：W|1|2|3|4|5---|---|---|---|---|---|---P|0.1|0.2|0.3|0.2|0.2期望E(W)=1*0.1+2*0.2+3*0.3+4*0.2+5*0.2=2.8方差Var(W)=(1-2.8)^2*0.1+(2-2.8)^2*0.2+(3-2.8)^2*0.3+(4-2.8)^2*0.2+(5-2.8)^2*0.2=0.649.X的分布列：X|1|2|3---|---|---|---P|0.2|0.5|0.3期望E(X)=1*0.2+2*0.5+3*0.3=2.0方差Var(X)=(1-2.0)^2*0.2+(2-2.0)^2*0.5+(3-2.0)^2*0.3=0.1610.Y的分布列：Y|1|2|3|4|5---|---|---|---|---|---|---P|0.1|0.2|0.3|0.3|0.1期望E(Y)=1*0.1+2*0.2+3*0.3+4*0.3+5*0.1=3.0方差Var(Y)=(1-3.0)^2*0.1+(2-3.0)^2*0.2+(3-3.0)^2*0.3+(4-3.0)^2*0.3+(5-3.0)^2*0.1=1.6二、連續型隨機變量分布1.X的分布函數F_X(x)=1-e^(-2x)，當x≥0，0otherwise。密度函數f_X(x)=2e^(-2x)，當x≥0，0otherwise。期望E(X)=∫(0to∞)x*2e^(-2x)dx=1/2方差Var(X)=∫(0to∞)(x-1/2)^2*2e^(-2x)dx=1/42.Y的分布函數F_Y(y)=Φ((y-5)/2)，當y≥0，0otherwise。密度函數f_Y(y)=(1/2)*Φ'((y-5)/2)=(1/2)*(1/√(2π))*e^(-(y-5)^2/(2*2))，當y≥0，0otherwise。期望E(Y)=5方差Var(Y)=23.Z的分布函數F_Z(z)=(z-a)/(b-a)，當a≤z≤b，0otherwise。密度函數f_Z(z)=1/(b-a)，當a≤z≤b，0otherwise。期望E(Z)=(a+b)/2方差Var(Z)=(b-a)^2/124.W的分布函數F_W(w)=(w-m)/(n-m)，當m<w<n，0otherwise。密度函數f_W(w)=1/(n-m)，當m<w<n，0otherwise。期望E(W)=(m+n)/2方差Var(W)=(n-m)^2/125.X的分布函數F_X(x)=(1/√(2π))*e^(-(x-3)^2/(2*2))，當x≥0，0otherwise。密度函數f_X(x)=(1/√(2π))*(x-3)^(-1)*e^(-(x-3)^2/(2*2))，當x≥0，0otherwise。期望E(X)=3方差Var(X)=26.Y的分布函數F_Y(y)=(1/β)*(1-