第一章向量代數向量代數運算、內積、外積和混合積向量線性相關性和仿射坐標系加法規則:三角形法則,平行四邊形法則,多邊形法則仿射坐標系,直角坐標系兩個向量共線它們線性相關坐標成百分比三個向量共面它們線性相關混合積為零坐標組成行列式為零四個空間向量必線性相關4/26/20251

1/20向量運算坐標表示4/26/20252

2/20向量運算坐標表示4/26/20253

3/20內積基本性質兩個向量正交當且僅當它們內積為零4/26/20254

4/20外積運算性質外積交換律和結合律都不成立兩個向量共線當且僅當它們外積為零4/26/20255

5/20第二章行列式置換:逆序對,逆序數,符號(排列符號)行列式定義:n階方陣一個函數;n!個項和,每一個項帶正負號(第二個指標排列符號),每一行取一個元,且要求n個元所在列不一樣行列式性質:計算行列式方法克拉默法則:求解特殊線性方程組行列式按一行或一列展開拉普拉斯定理:行列式按多行或多列展開4/26/20256

6/20行列式性質(1)性質1.4/26/20257

7/20行列式性質(2)性質2.性質3.行列式有一行(或一列)全為零時,行列式為零.性質4.交換行列式兩個行,行列式改變符號.性質5.行列式有兩行(或兩列)成百分比時,行列式為零.性質6.把行列式某一行(或某一列)c倍加到另一行(或另一列)上,行列式值不變.4/26/20258

8/20展開定理，克拉默法則4/26/20259

9/20第三章線性方程組與線性子空間線性方程組初等變換把線性方程組變成與它同解方程組.任意一個矩陣都能夠經過一系列初等行變換化成行階梯形矩陣.任意一個矩陣都能夠經過一系列初等行變換化成簡化行階梯形矩陣.非齊次線性方程組解情況:唯一解,無解,無窮多解齊次線性方程組解情況:有非零解條件幾個相關概念:主變量,自由未知量,普通解,齊次線性方程組秩4/26/202510

10/20第三章線性方程組與線性子空間非齊次線性方程組求解:初等行變換(簡化)行階梯形矩陣若出現矛盾,則方程組無解(秩[A,b]=秩A+1);不然有解(秩[A,b]=秩A):若秩A=n,有唯一解;若秩A<n,有沒有窮多解.齊次線性方程組求解:秩A=n,有唯一解;若秩A<n,有沒有窮多解.若A為方陣,則AX=0有非零解det(A)=0齊次線性方程組解結構:基礎解系張成線性子空間非齊次線性方程組解結構:一個特解與齊次線性方程組解和(線性流形)4/26/202511

11/20第三章線性方程組與線性子空間線性相關性與線性方程組線性子空間線性子空間交集是線性子空間線性子空間和是線性子空間任何線性子空間都包含0元素若干向量線性組合全體集合是線性子空間(生成子空間)齊次線性方程組解集是線性子空間基:能夠表示全部向量線性無關向量組基存在性、性質維數和秩概念4/26/202512

12/20第四章利用向量、行列式和線性方程組理論研究幾何空間中平面與直線仿射性質和度量性質平面方程普通方程、三點式方程、參數方程、點法式方程直線方程標準方程、參數方程、兩點式方程、普通方程平面之間位置關系：相交、平行、重合從秩觀點看直線之間位置關系：相交、平行、重合、異面直線與平面位置關系：相交、平行、包含點到直線距離、點到平面距離、異面直線距離兩個平面夾角、平面與直線夾角、公垂線4/26/202513

13/20第五章矩陣秩線性方程組有解當且僅當方程組系數矩陣系數矩陣與增廣矩陣有相同秩：且當秩與未知量個數相等時,方程組解是唯一齊次線性方程組有非零解秩<n在取定線性空間基后,線性變換與矩陣之間存在一一對應關系矩陣加法與減法運算矩陣乘法與除法（逆）運算分塊、初等矩陣初等變換與矩陣乘積關系矩陣逆求法、矩陣方程求解（初等行變換）4/26/202514

14/20第六章(1)概念線性空間:一個非空集合，一個數域，兩種代數運算，八條規則歐幾里得空間:線性空間+內積（對稱性、線性、正定性）長度、夾角（正交）線性空間同構:存在映射滿足1)一一映射;2)線性;歐幾里得空間同構:存在線性空間同構映射且保內積；同構維數相同基、維數、坐標；正交向量組、正交基、規范正交基度量矩陣（規范正交基度量矩陣）線性子空間和與直和補子空間，正交補空間,正交投影正交變換與正交矩陣(旋轉變換、鏡像變換及其矩陣)4/26/202515

15/20第六章(2)方法無關向量組擴充；利用矩陣初等變換求子空間基和維數；Gram-Schmidt正交化方法;正交投影求法;最小二乘問題求解；4/26/202516

16/20第六章(3)主要結果線性子空間W=W1+W2是包含W1與W_2最小線性子空間;線性子空間中線性無關向量組能夠被擴充成該子空間一組基;維數公式(利用基擴充);Cauchy-Schwarz不等式或Cauchy-Buniakowski不等式;勾股定理;內積由度量矩陣完全確定；正交向量組一定是線性無關;歐幾里得空間必存在規范正交基;最正確迫近元與正交投影關系；正交變換與正交矩陣性質；4/26/202517

17/20矩陣初等變換化矩陣為（簡化）行階梯形矩陣求方陣行列式求解線性方程組求矩陣秩求矩陣逆求矩陣等價標準形求解矩陣方程4/26/202518

18/20空間幾何空間

n維向量空間線性空間歐氏空間空間向量n維向量普通向量線性相關性，基，坐標，維數線性子空間和與交：維數公式線性無關組擴充線性無關證實4/26/202519

19/20矩陣，行列式，線性方程組行列式是方陣函數（不一樣矩陣能夠有相同行列式）克拉默法則（求解特殊線性方程組）秩A=r存在非零r階子式，不存在非零r+1階子式求解線性方程組Ax=β(求坐標，求組合系數，…)找n維列向量x使得Ax=β設A=[

1,

2,…,

n],找x1,x2,…,xn