第8節(jié)立體幾何中向量方法(二)——求空間角1/50最新考綱1.能用向量方法處理直線與直線、直線與平面、平面與平面夾角計算問題；2.了解向量方法在研究立體幾何問題中應(yīng)用.2/501.異面直線所成角

設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2方向向量，則知

識

梳

理3/502.求直線與平面所成角

設(shè)直線l方向向量為a，平面α法向量為n，直線l與平面α所成角為θ，則sinθ＝_______________＝________.3.求二面角大小 (1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β兩個面內(nèi)與棱l垂直直線，則二面角大小θ＝__________.|cos〈a，n〉|4/50(2)如圖②③，n1，n2

分別是二面角α－l－β兩個半平面α，β法向量，則二面角大小θ滿足|cosθ|＝_________________，二面角平面角大小是向量n1與n2夾角(或其補角).|cos〈n1，n2〉|5/50[慣用結(jié)論與微點提醒]1.線面角θ正弦值等于直線方向向量a與平面法向量n所成角余弦值絕對值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cosθ＝|cos〈a，n〉|.2.二面角與法向量夾角：利用平面法向量求二面角大小時，當(dāng)求出兩半平面α，β法向量n1，n2時，要依據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量方向，來確定二面角與向量n1，n2夾角是相等，還是互補.6/50診

斷

自

測7/50解析(1)兩直線方向向量所成角是兩條直線所成角或其補角；(2)直線方向向量a，平面法向量n，直線與平面所成角為θ，則sinθ＝|cosa，n|；(3)兩個平面法向量所成角是這兩個平面所成角或其補角.答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√8/502.(教材練習(xí)改編)已知兩平面法向量分別為m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，則兩平面所成二面角為(

) A.45°

B.135°

C.45°或135°

D.90°答案

C9/50答案

30°10/504.已知正方體ABCD－A1B1C1D1如圖所表示，則直線B1D和CD1所成角為________.答案90°11/505.(·鄭州預(yù)測)過正方形ABCD頂點A作線段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，則平面ABP與平面CDP所成二面角為________.解析如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝PA＝1，則A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由題意，AD⊥平面PAB，設(shè)E為PD中點，連接AE，則AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，12/50故平面PAB與平面PCD所成二面角為45°.答案45°13/5014/50解析

(1)法一

以B為原點，建立如圖(1)所表示空間直角坐標(biāo)系.圖(1)

圖(2)15/50則B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).16/50法二

如圖(2)，設(shè)M，N，P分別為AB，BB1，B1C1中點，則PN∥BC1，MN∥AB1，∴AB1與BC1所成角是∠MNP或其補角.∵AB＝2，BC＝CC1＝1，17/5018/50法三

將直三棱柱ABC－A1B1C1補形成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖(3))，連接AD1，B1D1，則AD1∥BC1.圖(3)19/50(2)設(shè)等邊三角形邊長為2.取BC中點O，連接OA，OD，∵等邊三角形ABC和BCD所在平面相互垂直，∴OA，OC，OD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所表示空間直角坐標(biāo)系.20/5021/5022/5023/50解析法一取BC中點Q，連接QN，AQ，易知BM∥QN，則∠ANQ或其補角即為所求，設(shè)BC＝CA＝CC1＝2，24/50法二以C1為坐標(biāo)原點，建立如圖所表示空間直角坐標(biāo)系，答案C25/5026/50(1)證實作PG∥BD交CD于G，連接AG.在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝4＋12＝16，∴AC＝4，又E為AC中點，∴DE＝AE＝2，又AD＝2，∴∠ADE＝60°，∴AG⊥DE.∵AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，又∵BD⊥CD，AD∩CD＝D，∴BD⊥平面ADC，∴PG⊥平面ADC，∴PG⊥DE.又∵AG∩PG＝G，∴DE⊥平面AGP，又AP

平面AGP，∴AP⊥DE.27/50(2)解以D為坐標(biāo)原點，直線DB，DC，DA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，28/50設(shè)平面DEF法向量為n＝(x，y，z)，29/50規(guī)律方法

利用向量法求線面角方法：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)射影直線方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量夾角(或其補角)；(2)經(jīng)過平面法向量來求，即求出斜線方向向量與平面法向量所夾銳角或鈍角補角，取其余角就是斜線和平面所成角.30/50【訓(xùn)練2】

如圖，在六面體ABCD－HEFG中，四邊形ABCD為菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD.若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3. (1)求證：EG⊥DF； (2)求BE與平面EFGH所成角正弦值.31/50(1)證實連接AC，由AE綊CG可知四邊形AEGC為平行四邊形，所以EG∥AC，而AC⊥BD，AC⊥BF，所以EG⊥BD，EG⊥BF，因為BD∩BF＝B，BD，BF

平面BDHF，所以EG⊥平面BDHF，又DF

平面BDHF，所以EG⊥DF.32/50(2)解設(shè)AC∩BD＝O，EG∩HF＝P，由已知可得，平面ADHE∥平面BCGF，所以EH∥FG，同理可得：EF∥HG，所以四邊形EFGH為平行四邊形，所以P為EG中點，O為AC中點，所以O(shè)P綊AE，從而OP⊥平面ABCD，又OA⊥OB，所以O(shè)A，OB，OP兩兩垂直，由平面幾何知識，得BF＝2.33/5034/50考點三用空間向量求二面角(多維探究)命題角度1計算二面角大小【例3－1】

(·全國Ⅰ卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)證實：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C余弦值.35/50(1)證實∵∠BAP＝∠CDP＝90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，又∵AB∥CD，∴PD⊥AB，又∵PD∩PA＝P，PD，PA

平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB

平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.(2)解取AD中點O，BC中點E，連接PO，OE，∵AB綊CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴OE綊AB.36/50由(1)知，AB⊥平面PAD，∴OE⊥平面PAD，又PO，AD

平面PAD，∴OE⊥PO，OE⊥AD，又∵PA＝PD，∴PO⊥AD，∴PO，OE，AD兩兩垂直，37/50設(shè)n＝(x，y，z)為平面PBC法向量，∵∠APD＝90°，∴PD⊥PA，又知AB⊥平面PAD，PD

平面PAD，∴PD⊥AB，又PA∩AB＝A，PA，AB

平面PAB，∴PD⊥平面PAB，38/5039/50命題角度2已知二面角大小求值40/50因為四邊形ADNM是矩形，MA⊥AD，平面ADNM⊥平面ABCD且交線為AD，所以MA⊥平面ABCD，又DE

平面ABCD，所以DE⊥AM.又AM∩AB＝A，AM，AB

平面ABM，所以DE⊥平面ABM，又DE

平面DEM，所以平面DEM⊥平面ABM.41/50(2)解在線段AM存在點P，理由以下：由DE⊥AB，AB∥CD，得DE⊥CD，因為四邊形ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD且交線為AD，所以ND⊥平面ABCD.以D為原點，DE，DC，DN所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所表示坐標(biāo)系.42/5043/50規(guī)律方法

1.利用空間向量計算二面角大小慣用方法：(1)找法向量：分別求出二面角兩個半平面所在平面法向量，然后經(jīng)過兩個平面法向量夾角得到二面角大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角大小.(2)找與棱垂直方向向量：分別在二面角兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點兩個向量，則這兩個向量夾角大小就是二面角大小.2.利用向量法求二面角大小注意點(1)建立空間直角坐標(biāo)系時，若垂直關(guān)系不明確，應(yīng)先給出證實；(2)對于一些平面法向量，要結(jié)合題目條件和圖形多觀察，判斷該法向量是否已經(jīng)隱含著，不用單獨求.(3)注意判斷二面角平面角是銳角還是鈍角，可結(jié)合圖形進行，以防結(jié)論失誤.44/50(2)(一題多解)當(dāng)AB＝3，AD＝2時，求二面角E－AG－C大小.45/50解

(1)因為AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP

平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP，又BP

平面ABP，所以BE⊥BP，又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.46/50圖1因為∠EBC＝120°，所以四邊形BEHC為菱形，所以AE＝GE＝AC＝GC47/50取AG中點M，連接E