PAGE4-第三章數系的擴充與復數的引入3.2復數代數形式的四則運算3.2.2復數代數形式的乘除運算A級基礎鞏固一、選擇題1．復數(1＋i)(1＋ai)是實數，則實數a等于()A．2B．1C．0D解析：(1＋i)(1＋ai)＝(1－a)＋(1＋a)i，若是實數，則1＋a＝0，所以a＝－1.答案：D2．復數z＝eq\f(－1＋i,1＋i)－1在復平面內對應的點在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：z＝eq\f(－1＋i,1＋i)－1＝eq\f(（－1＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)－1＝eq\f(－1＋i＋i－i2,2)－1＝i－1＝－1＋i，則復數z對應的點為(－1，1)，此點在其次象限．答案：B3．已知復數z＝1－i，則eq\f(z2－2z,z－1)＝()A．2iB．－2iC．2D．－2解析：因為z＝1－i，所以eq\f(z2－2z,z－1)＝eq\f(（1－i）2－2（1－i）,1－i－1)＝eq\f(－2,－i)＝－2i.答案：B4．復數z為純虛數，若(3－i)·z＝a＋i(i為虛數單位)，則實數a的值為()A.eq\f(1,3)B．3C．－eq\f(1,3)D．－3解析：由已知設z＝ki(k∈R，且k≠0)，則(3－i)·ki＝a＋i，即k＋3ki＝a＋i，由兩個復數相等的充要條件知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝a，,3k＝1，))解得a＝k＝eq\f(1,3).答案：A5．設i是虛數單位，是復數z的共軛復數．若z·i＋2＝2z，則z＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，又z·i＋2＝2z，所以(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋答案：A二、填空題6．已知a，b∈R，若a－i與2＋bi互為共軛復數，則(a＋bi)2＝________．解析：因為a－i與2＋bi互為共軛復數，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.答案：3＋4i7．設i是虛數單位，z表示復數z的共軛復數．若z＝1＋i，則eq\f(z,i)＋i·＝________．解析：因為z＝1＋i，則＝1－i.所以eq\f(z,i)＋i·＝eq\f(1＋i,i)＋i(1－i)＝eq\f(i（1＋i）,－1)＋i＋1＝2.答案：28．下面關于復數z＝eq\f(2,－1＋i)的結論，正確的命題是________(填序號)．①|z|＝2；②z2＝2i；③z的共軛復數為1＋i；④z的虛部為－1.解析：z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2（－1－i）,（－1＋i）（－1－i）)＝－1－i，所以|z|＝eq\r(（－1）2＋（－1）2)＝eq\r(2)，z2＝(－1－i)2＝2i.z的共軛復數為－1＋i.z的虛部為－1，所以②④正確．答案：②④三、解答題9．已知復數z＝1＋i，復數z的共軛復數是，求實數a、b使az＋2b＝(a＋2z)2.解：因為z＝1＋i，＝1－i，所以az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)因為a、b都是實數，所以由az＋2b＝(a＋2z)2，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝a2＋4a，,a－2b＝4（a＋2），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝2.))10．已知復數z滿意z＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求復數z的共軛復數；(2)若w＝z＋ai，且復數w對應向量的模不大于復數z所對應向量的模，求實數a的取值范圍．解：(1)z＝(－1＋3i)·(1－i)－4＝(2＋4i)－4＝－2＋4i，所以z的共軛復數z＝－2－4i.(2)由(1)知，w＝＋ai＝－2＋(a＋4)i，所以|w|＝eq\r(（－2）2＋（a＋4）2)＝eq\r(20＋a2＋8a)，|z|＝2eq\r(5).依題意，得20＋a2＋8a≤20，即a2＋8a所以－8≤a≤0，即a的取值范圍為[－8，0]．B級實力提升1．若i為虛數單位，如圖中復平面內點Z表示復數z，則表示復數eq\f(z,1＋i)的點是()A．EB．FC．GD．H解析：由題圖可得z＝3＋i，所以eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，則其在復平面上對應的點為H(2，－1)．答案：D 2．(2024·全國Ⅲ卷改編)若z＝1＋2i，則eq\f(4i（2＋i）,z·\o(z,\s\up6(－))－1)＝________．解析：因為z·eq\o(z,\s\up6(－))＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋4＝5，所以eq\f(4i（2＋i）,z·z－1)＝eq\f(4i（2＋i）,4)＝i(2＋i)＝2i－1.答案：2i－13．已知復數z＝eq\f(（1＋i）2＋2（5－i）,3＋i).(1)求|z|；(2)若z(z＋a)＝b＋i，求實數a，b的值．解：(1)因為z＝eq\f(2i＋10－2i,3＋i)＝eq\f(10,3＋i)＝eq\f(10（3－i）,10)＝3－i，所以|z|＝eq\r(10).(2)又z(z＋a)＝b＋i，則(3－i)(3－i＋a)＝(3－i)