PAGEPAGE4小專題(四)利用勾股定理解決折疊與綻開(kāi)問(wèn)題【例】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝9，將△ABC折疊，使點(diǎn)C與AB的中點(diǎn)D重合，折痕交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N.(1)求線段BN的長(zhǎng)；(2)連接CD，與MN交于點(diǎn)E，寫出與點(diǎn)E相關(guān)的兩個(gè)正確結(jié)論：①DE＝EC；②∠DEM＝90__°．【思路點(diǎn)撥】先求得BD的長(zhǎng)，設(shè)BN＝x，由翻折的性質(zhì)可知：DN＝9－x.接下來(lái)，在Rt△BDN中，由勾股定理列出關(guān)于x的方程求解即可．解：∵D是AB的中點(diǎn)，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝3.設(shè)BN＝x，則CN＝9－x.由翻折的性質(zhì)可知：DN＝CN＝9－x.在Rt△BDN中，由勾股定理，得DN2＝BD2＋NB2，即(9－x)2＝32＋x2.解得x＝4.∴BN的長(zhǎng)為4.解決折疊問(wèn)題關(guān)鍵是抓住對(duì)稱性．勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式是一個(gè)含有平方關(guān)系的等式，求線段的長(zhǎng)時(shí)，可利用勾股定理，也可由勾股定理列出方程，運(yùn)用方程思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，以簡(jiǎn)化求解．1．如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則CE的長(zhǎng)為(A)A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm第1題圖第2題圖2．如圖，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段BN的長(zhǎng)為(C)A.eq\f(5,3) B.eq\f(5,2) C.eq\f(8,3) D．53．如圖，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB＝8cm，把長(zhǎng)方形紙片沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F.若AF＝eq\f(25,4)cm，則AD的長(zhǎng)為(C)A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm第3題圖第4題圖4．如圖，將邊長(zhǎng)為6cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，折痕為FH，則線段AF的長(zhǎng)是eq\f(9,4)cm.5．如圖，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF＝3，則AB＝6．第5題圖第6題圖6．如圖，把長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使其對(duì)角頂點(diǎn)A與C重合．若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)BC為8，寬AB為4，則折痕EF的長(zhǎng)度為2eq\r(5)．7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的C′點(diǎn)，那么△ADC′的面積是6__cm2．第7題圖第8題圖8．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB