PAGEPAGE1第四講二項式分布【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下一．條件概率及其性質(1)條件概率的定義對于兩個事務A和B，在已知事務B發生的條件下事務A發生的概率，稱為事務B發生的條件下事務A的條件概率．(2)條件概率的求法求條件概率除了可借助定義中的公式，還可以借助古典概率公式，即P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).二．二項分布在n次獨立重復試驗中，用X表示事務A發生的次數，設每次試驗中事務A發生的概率為p，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時稱隨機變量X聽從二項分布，記為X～B(n，p)．【修煉套路】【修煉套路】為君聊賦《今日詩》，努力請從今日始考向一條件概率【例1】已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現須要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只且不放回，則在他第1次取到的是螺口燈泡的條件下，第2次取到的是卡口燈泡的概率為________．【答案】eq\f(7,9)【解析】方法一設事務A為“第1次取到的是螺口燈泡”，事務B為“第2次取到的是卡口燈泡”，則P(A)＝eq\f(3,10)，P(AB)＝eq\f(3,10)×eq\f(7,9)＝eq\f(7,30)，則所求概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(7,30),\f(3,10))＝eq\f(7,9).方法二第1次取到螺口燈泡后還剩余9只燈泡，其中有7只卡口燈泡，故第2次取到卡口燈泡的概率為eq\f(C\o\al(1,7),C\o\al(1,9))＝eq\f(7,9).【套路總結】【套路總結】條件概率求解方法1.利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，這是通用的求條件概率的方法．2.借助古典概型概率公式，先求事務A包含的基本領件數n(A)，再在事務A發生的條件下求事務B包含的基本領件數，即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).【舉一反三】1．在100件產品中有95件合格品，5件不合格品，現從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，其次次取到不合格品的概率為________．【答案】eq\f(4,99)【解析】方法一(應用條件概率公式求解)設事務A為“第一次取到不合格品”，事務B為“其次次取到不合格品”，則所求的概率為P(B|A)，因為P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,100))＝eq\f(1,495)，P(A)＝eq\f(C\o\al(1,5),C\o\al(1,100))＝eq\f(1,20)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,495),\f(1,20))＝eq\f(4,99).方法二(縮小樣本空間求解)第一次取到不合格品后，也就是在其次次取之前，還有99件產品，其中有4件不合格品，因此其次次取到不合格品的概率為eq\f(4,99).2.某險種的基本保費為a(單位：元)，接著購買該險種的投保人稱為續保人，續保人的本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下：上年度出險次數01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設該險種續保人一年內出險次數與相應概率如下：一年內出險次數01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求續保人本年度的保費高于基本保費的概率；(2)若續保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；(3)求續保人本年度的平均保費與基本保費的比值．【答案】（1）0.55（2）eq\f(3,11).（3）1.23.【解析】(1)設A表示事務“續保人本年度的保費高于基本保費”，則事務A發生當且僅當一年內出險次數大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)設B表示事務“續保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事務B發生當且僅當一年內出險次數大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(0.15,0.55)＝eq\f(3,11).因此所求概率為eq\f(3,11).(3)平均保費E(A)＝0.85a×0.3＋0.15a＋1.25a×0.2＋1.5a×0.2＋1.75a×0.1＋2a×0.05＝1.23a，因此續保人本年度的平均保費與基本保費的比值為eq\f(1.23a,a)＝1.23考向二二項分布【例2】為探討家用轎車在高速馬路上的車速狀況，交通部門隨機選取100名家用轎車駕駛員進行調查，得到其在高速馬路上行駛時的平均車速狀況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過100km/h的有40人，不超過100km/h的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車速超過100km/h的有20人，不超過100km/h的有25人．(1)在被調查的駕駛員中，從平均車速不超過100km/h的人中隨機抽取2人，求這2人恰好有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率；(2)以上述樣本數據估計總體，從高速馬路上行駛的家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車平均車速超過100km/h且為男性駕駛員的車輛為X，求X的概率分布．【答案】（1）eq\f(25,52)（2）見解析【解析】(1)平均車速不超過100km/h的駕駛員有40人，從中隨機抽取2人的方法總數為Ceq\o\al(2,40)，記“這2人恰好有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員”為事務A，則事務A所包含的基本領件數為Ceq\o\al(1,15)Ceq\o\al(1,25)，所以所求的概率P(A)＝eq\f(C\o\al(1,15)C\o\al(1,25),C\o\al(2,40))＝eq\f(15×25,20×39)＝eq\f(25,52).(2)依據樣本估計總體的思想，從總體中任取1輛車，平均車速超過100km/h且為男性駕駛員的概率為eq\f(40,100)＝eq\f(2,5)，故X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5))).所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0＝eq\f(8,125).所以X的概率分布為X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)【套路總結】【套路總結】一．二項分布的推斷與應用1.某一事是否是進行n次獨立重復試驗，且每次試驗只有兩種結果，假如不滿意這兩個條，隨機變量就不聽從二項分布2.關鍵詞：有放回的抽樣、等可能的抽取、用樣本估計總體【舉一反三】1．某愛好小組在科學館的帕斯卡三角儀器前進行探究試驗.如圖所示，每次使一個實心小球從帕斯卡三角儀器的頂部入口落下，當它在依次遇到每層的菱形擋板時，會等可能地向左或者向右落下，在最底層的7個出口處各放置一個容器接住小球，該小組連續進行200次試驗，并統計容器中的小球個數得到柱狀圖：（Ⅰ）用該試驗來估測小球落入4號容器的概率，若估測結果的誤差小于，則稱該試驗是勝利的.試問：該愛好小組進行的試驗是否勝利？（誤差）（Ⅱ）再取3個小球進行試驗，設其中落入4號容器的小球個數為，求的分布列與數學期望.（計算時采納概率的理論值）【答案】（Ⅰ）是勝利的；（Ⅱ）詳見解析.【解析】（Ⅰ）小球落入4號容器的概率的理論值為.小球落入4號容器的概率的估測值為.誤差為，故該試驗是勝利的.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，每個小球落入4號容器的概率為，未落入4號容器的概率為.，，，，.的分布列為0123由于，所以.2．某市交通管理部門為了解市民對機動車“單雙號限行”的看法，隨機采訪了100名市民，將他們的看法和是否擁有私家車的狀況進行了統計，得到了如下的列聯表：贊同限行不贊同限行合計沒有私家車15有私家車45合計100已知在被采訪的100人中隨機抽取1人且抽到“贊同限行”者的概率是.（1）請將上面的列聯表補充完整；（2）依據上面的列聯表推斷能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“對限行的看法與是否擁有私家車有關”；（3）將上述調查所得到的頻率視為概率.現在從該市大量市民中，采納隨機抽樣方法每次抽取1名市民，抽取3次，記被抽取的3名市民中的“贊同限行”人數為.若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列、期望和方差.附：參考公式：，其中.臨界值表：0.150.100.050.0250.100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析【解析】（1）因為在被采訪的100人中隨機抽取1人且抽到“贊同限行”者的概率是，所以“贊同限行”的市民共75人，其中沒有私家車的30人，從而，所給列聯表補充如下：贊同限行不贊同限行合計沒有私家車301545有私家車451055合計7525100（2）依據表中數據，易得的觀測值為.因為，因此，在犯錯誤概率不超過0.10的前提下，能夠推斷市民“對限行的看法與是否擁有私家車有關”.（3）由題意，得～，從而：：；.所以的分布列為X0123P故：.考向三超幾何分布與二項分布區分【例3】某地區為調查新生嬰兒健康狀況，隨機抽取6名8個月齡嬰兒稱量體重（單位：千克），稱量結果分別為6，8，9，9，9.5，10.已知8個月齡嬰兒體重超過7.2千克，不超過9.8千克為“標準體重”，否則為“不標準體重”.(1)依據樣本估計總體思想，將頻率視為概率，若從該地區全部8個月齡嬰兒中任取3名進行稱重，則至少有2名嬰兒為“標準體重”的概率是多少？(2)從抽取的6名嬰兒中，隨機選取4名，設X表示抽到的“標準體重”人數，求X的分布列和數學期望.【答案】(1)(2)見解析【解析】（1）抽取的名嬰兒中“標準體重”的頻率為故從該地區中任取名嬰兒為“標準體重”的概率為：設“在該地區個月齡嬰兒中任取名，至少名為‘標準體重’”為事務則：（2）由題意知，的可能取值為；；的分布列為：【舉一反三】1．某種水果依據果徑大小可分為四類：標準果、優質果、精品果、禮品果.某選購 商從選購 的一批水果中隨機抽取個，利用水果的等級分類標準得到的數據如下：等級標準果優質果精品果禮品果個數10304020（1）若將頻率是為概率，從這個水果中有放回地隨機抽取個，求恰好有個水果是禮品果的概率.（結果用分數表示）（2）用樣本估計總體，果園老板提出兩種購銷方案給選購 商參考.方案：不分類賣出，單價為元.方案：分類賣出，分類后的水果售價如下：等級標準果優質果精品果禮品果售價(元/kg）16182224從選購 單的角度考慮，應當采納哪種方案？（3）用分層抽樣的方法從這個水果中抽取個，再從抽取的個水果中隨機抽取個，表示抽取的是精品果的數量，求的分布列及數學期望.【答案】（1）；（2）第一種方案；（3）詳見解析【解析】（1）設從個水果中隨機抽取一個，抽到禮品果的事務為，則現有放回地隨機抽取個，設抽到禮品果的個數為，則恰好抽到個禮品果的概率為：（2）設方案的單價為，則單價的期望值為：從選購 商的角度考慮，應當采納第一種方案（3）用分層抽樣的方法從個水果中抽取個，則其中精品果個，非精品果個現從中抽取個，則精品果的數量聽從超幾何分布，全部可能的取值為：則；；；的分布列如下：2．某機構對A市居民手機內安裝的“APP”(英文Application的縮寫，一般指手機軟件)的個數和用途進行調研，在運用智能手機的居民中隨機抽取了100人，獲得了他們手機內安裝APP的個數，整理得到如圖所示頻率分布直方圖：（Ⅰ）從A市隨機抽取一名運用智能手機的居民，試估計該居民手機內安裝APP的個數不低于30的概率；（Ⅱ）從A市隨機抽取3名運用智能手機的居民進一步做調研，用X表示這3人中手機內安裝APP的個數在[20,40)的人數．①求隨機變量X的分布列及數學期望；②用Y1表示這3人中安裝APP個數低于20的人數，用Y2表示這3人中手機內安裝APP的個數不低于40的人數．試比較EY1和EY2的大?。?只需寫出結論)【答案】（Ⅰ）0.48；（Ⅱ）①詳見解析；②.【解析】（Ⅰ）由得．從市隨機抽取一名運用智能手機的居民，該居民手機內安裝“APP”的數量不低于30的概率估計為．（Ⅱ）①從市隨機抽取一名運用智能手機的居民，該居民手機內安裝“APP”的數量在的概率估計為.全部的可能取值為0，1，2，3，則X∽B(3,).，，，.所以的分布列為0123所以的數學期望為.（或者.）②.考向四二項分布求最值【例4】．一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節，是希望的開端.某種植戶對一塊地的個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發芽的概率均為，且每粒種子是否發芽相互獨立.對每一個坑而言，假如至少有兩粒種子發芽，則不須要進行補播種，否則要補播種.（1）當取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最也許率為多少？（2）當時，用表示要補播種的坑的個數，求的分布列與數學期望.【答案】（1）當或時，有3個坑要補播種的概率最大，最也許率為；（2）見解析.【解析】（1）對一個坑而言，要補播種的概率，有3個坑要補播種的概率為.欲使最大，只需，解得，因為，所以當時，；當時，；所以當或時，有3個坑要補播種的概率最大，最也許率為.（2）由已知，的可能取值為0，1，2，3，4.，所以的分布列為01234的數學期望.【舉一反三】1.為了引導居民合理用電，國家確定實行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶）.某市隨機抽取10戶同一個月的用電狀況，得到統計表如下：（1）若規定第一階梯電價每度0.5元，其次階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出其次階梯每度0.8元，試計算居民用電戶用電410度時應交電費多少元？（2）現要在這10戶家庭中隨意選取3戶，求取到其次階梯電量的戶數的分布列與期望；（3）以表中抽到的10戶作為樣本估計全市居民用電，現從全市中依次抽取10戶，若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大，求的值.【答案】（1）元；（2）分布列見解析，期望為；（3）.【解析】（1）元（2）設取到其次階梯電量的用戶數為，可知其次階梯電量的用戶有3戶，則可取0,1,2,3，，，，故的分布列為∴（3）可知從全市中抽取10戶的用電量為第一階梯，滿意，可知（）令解得：，∴當時概率最大，∴.【運用套路】【運用套路】紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行1．4個高爾夫球中有3個合格、1個不合格，每次任取一個，不放回地取兩次．若第一次取到合格的高爾夫球，則其次次取到合格高爾夫球的概率為()A． B． C． D．【答案】B【解析】記事務A＝{第一次取到的是合格高爾夫球}，事務B＝{其次次取到的是合格高爾夫球}．由題意可得事務B發生所包含的基本領件數n(A∩B)＝3×2＝6，事務A發生所包含的基本領件數n(A)＝3×3＝9，所以P(B|A)＝.故選：B2．小明早上步行從家到學校要經過有紅綠燈的兩個路口，依據閱歷，在第一個路口遇到紅燈的概率為0.4，在其次個路口遇到紅燈的概率為0.5，在兩個路口連續遇到紅燈的概率是0.2.某天早上小明在第一個路口遇到了紅燈，則他在其次個路口也遇到紅燈的概率是（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】D【解析】記“小明在第一個路口遇到紅燈”為事務，“小明在其次個路口遇到紅燈”為事務“小明在第一個路口遇到了紅燈，在其次個路口也遇到紅燈”為事務則，，故選D.3．某學生在上學路上要經過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2min，這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間Y的期望為()A． B．1 C． D．【答案】D【解析】由題可得，遇到紅燈的次數聽從二項分布即：，所以所以因遇到紅燈停留的總時間Y的期望為故選：D4．某次考試共有12個選擇題，每個選擇題的分值為5分，每個選擇題四個選項且只有一個選項是正確的，學生對12個選擇題中每個題的四個選擇項都沒有把握，最終選擇題的得分為分，學生對12個選擇題中每個題的四個選項都能推斷其中有一個選項是錯誤的，對其它三個選項都沒有把握，選擇題的得分為分，則的值為()A． B． C． D．【答案】A【解析】設學生答對題的個數為，則得分（分），，，所以，同理設學生答對題的個數為，可知,，所以，所以.故選A.5．從，中任取2個不同的數，事務“取到的兩個數之和為偶數”，事務”取到的兩個數均為偶數”，則_______．【答案】【解析】依題意，事務所包含的基本領件為共六種，而事務所包含的基本領件為共三種，故.6．“微信運動”是由騰訊開發的一個類似計步數據庫的公眾賬號.用戶可以通過關注“微信運動”公眾號查看自己及好友每日行走的步數、排行榜，也可以與其他用戶進行運動量的或點贊.現從某用戶的“微信運動”摯友圈中隨機選取40人，記錄他們某一天的行走步數，并將數據整理如下：步數/步0～20002001～50005001～80008001～1000010000以上男性人數/人16954女性人數/人03642規定：用戶一天行走的步數超過8000步時為“運動型”，否則為“懈怠型”.（1）將這40人中“運動型”用戶的頻率看作隨機抽取1人為“運動型”用戶的概率.從該用戶的“微信運動”摯友圈中隨機抽取4人，記為“運動型”用戶的人數，求和的數學期望；（2）現從這40人中選定8人（男性5人，女性3人），其中男性中“運動型”有3人，“懈怠型”有2人，女性中“運動型”有2人，“懈怠型”有1人.從這8人中隨意選取男性3人、女性2人，記選到“運動型”的人數為，求的分布列和數學期望.【答案】（1），（2）分布列見解析，【解析】（1）由題意可知，“運動型”的概率為，且,則，.（2）由題意可知，的全部取值為，相應的概率分別為：,，，，所以的分布列為：2345.7．為了調查某款電視機的壽命，探討人員對該款電視機進行了相應的測試，將得到的數據分組：，，，，，并統計如圖所示：并對不同性別的市民對這款電視機的購買意愿作出調查，得到的數據如下表所示：情愿購買該款電視機不情愿購買該款電視機總計男性8001000女性600總計1200（1）依據圖中的數據，試估計該款電視機的平均壽命；（2）依據表中數據，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“是否情愿購買該款電視機”與“市民的性別”有關；（3）以頻率估計概率，若在該款電視機的生產線上隨機抽取4臺，記其中壽命不低于4年的電視機的臺數為X，求X的分布列及數學期望.參考公式及數據：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）該款電視機的平均壽命約為7.76年；（2）在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“是否情愿購買該款電視機”與“市民的性別”有關.；（3）.【解析】（1），故該款電視機的平均壽命約為7.76年.（2）依題意，完善表中的數據如下表所示：情愿購買該款電視機不情愿購買該款電視機總計男性8002001000女性4006001000總計12008002000計算得的觀測值為.故能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“是否情愿購買該款電視機”與“市民的性別”有關.（3）依題意，，故，，，，.故X的分布列為X01234P.8．某地因受天氣，春季禁漁等因素影響，政府規定每年的7月1日以后的100天為當年的捕魚期.某漁業捕撈隊對噸位為的20艘捕魚船一天的捕魚量進行了統計，如下表所示：捕魚量(單位：噸)頻數27731依據氣象局統計近20年此地每年100天的捕魚期內的晴好天氣狀況如下表（捕魚期內的每個晴好天氣漁船方可捕魚，非晴好天氣不捕魚）：晴好天氣(單位：天)頻數27632（同組數據以這組數據的中間值作代表）（Ⅰ）估計漁業捕撈隊噸位為的漁船單次出海的捕魚量的平均數；（Ⅱ）已知當地魚價為2萬元/噸，此種捕魚船在捕魚期內捕魚時，每天成本為10萬元/艘，若不捕魚，每天成本為2萬元/艘，若以（Ⅰ）中確定的作為上述噸位的捕魚船在晴好天氣捕魚時一天的捕魚量.①請依據往年天氣統計數據，試估計一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元的概率；②設今后3年中，此種捕魚船每年捕魚狀況一樣，記一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元的年數為，求的分布列和期望.【答案】（Ⅰ）16噸；（Ⅱ）①；②見解析.【解析】（Ⅰ）此噸位的捕魚船一天的捕魚量的平均數為：噸.（Ⅱ）①設每年100天的捕魚期內晴好天氣天數為，則年利潤為,由得：,一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元，即捕魚期內的晴好天氣天數不低于75天又100天的捕魚期內的晴好天氣天數不低于75天的頻率為預料一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元的概率為.②由題可知：隨機變量的可能取值為0，1，2，3，且,,,,,的分布列為：X0123P.9．某部門在同一上班高峰時段對甲、乙兩地鐵站各隨機抽取了50名乘客，統計其乘車等待時間（指乘客從進站口到乘上車的時間，乘車等待時間不超