2022屆高三數學一輪復習講義（新高考）教案第4章第2節同角三角函數的基本關系與誘導公式課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、設計意圖本節課旨在幫助學生掌握同角三角函數的基本關系與誘導公式，通過復習鞏固高中數學基礎知識，提高學生運用三角函數解決實際問題的能力，為后續學習打下堅實基礎。二、核心素養目標1.培養學生的邏輯推理能力，通過同角三角函數關系的推導，提升數學推理的嚴謹性。

2.增強學生的數學建模意識，學會運用三角函數關系解決實際問題。

3.提高學生的數學運算能力，熟練掌握三角函數的運算技巧和公式應用。三、教學難點與重點1.教學重點：

-理解并掌握同角三角函數的基本關系，如正弦、余弦、正切之間的關系。

-掌握誘導公式，能夠熟練運用這些公式進行三角函數值的計算和化簡。

-例如，重點講解如何通過正弦、余弦的關系推導出正切公式，并應用這些關系解決具體的三角函數問題。

2.教學難點：

-理解誘導公式的推導過程，理解其背后的數學原理。

-靈活運用誘導公式解決各種類型的三角函數問題，包括特殊角度和一般角度的三角函數值計算。

-例如，難點在于幫助學生理解為什么在角度加減時，正弦、余弦和正切的符號會發生變化，以及如何根據角度的象限確定函數值的符號。通過實際例題練習，如計算$\sin(75^\circ)$和$\cos(315^\circ)$，幫助學生掌握這些難點。四、教學資源-軟硬件資源：電子白板、計算機、投影儀

-課程平臺：學校內部數學教學平臺

-信息化資源：同角三角函數關系圖表、誘導公式推導動畫

-教學手段：多媒體教學課件、三角板、圓規五、教學過程一、導入新課

（教師）同學們，我們之前學習了三角函數的基本概念，了解了正弦、余弦、正切等函數。今天我們將進一步探討同角三角函數的基本關系與誘導公式，這些公式對于我們解決實際問題非常有幫助。

（學生）好的，老師，我們準備好了。

二、新課講授

1.同角三角函數的基本關系

（教師）首先，我們來回顧一下同角三角函數的基本關系。大家還記得正弦、余弦、正切之間的關系嗎？誰能上來板書一下？

（學生）$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$，$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$。

（教師）很好，非常好。接下來，我們要利用這些關系來推導出正切函數的公式。請大家跟我一起推導一下，$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$，兩邊同時平方，得到$\tan^2\theta=\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$。由于$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$，我們可以將$\sin^2\theta$替換為$1-\cos^2\theta$，得到$\tan^2\theta=\frac{1-\cos^2\theta}{\cos^2\theta}$。現在，我們來化簡這個式子。

（學生）$\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}-1$。

（教師）很好，這就是正切函數的公式。大家要記住這個推導過程，這對于理解三角函數的性質非常重要。

2.誘導公式

（教師）接下來，我們學習誘導公式。誘導公式是指角度的加減、乘除運算對三角函數值的影響。例如，$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$。這里，我們要重點講解誘導公式的推導和應用。

（教師）首先，我們來看一個例子，計算$\sin(75^\circ)$。我們可以將$75^\circ$分解為$45^\circ+30^\circ$，然后利用誘導公式進行計算。$\sin(75^\circ)=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ$。大家能完成這個計算嗎？

（學生）$\sin(75^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。

（教師）很好，大家做得非常棒。接下來，我們再來看一個例子，計算$\cos(315^\circ)$。同樣地，我們可以將$315^\circ$分解為$360^\circ-45^\circ$，然后利用誘導公式進行計算。$\cos(315^\circ)=\cos(360^\circ-45^\circ)=\cos360^\circ\cos45^\circ+\sin360^\circ\sin45^\circ$。現在，大家來嘗試完成這個計算。

（學生）$\cos(315^\circ)=1\times\frac{\sqrt{2}}{2}-0\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

（教師）非常好，大家已經掌握了誘導公式的應用。現在，讓我們通過一些練習題來鞏固所學知識。

三、課堂練習

（教師）下面，我們將進行一些課堂練習。請大家打開課本，完成以下題目：

1.利用同角三角函數的基本關系，證明$\tan^2\theta+1=\sec^2\theta$。

2.計算下列各式的值：

-$\sin(60^\circ+45^\circ)$

-$\cos(180^\circ-30^\circ)$

-$\tan(90^\circ-60^\circ)$

（學生）請大家認真完成練習，注意運用所學知識。

四、課堂小結

（教師）同學們，今天我們學習了同角三角函數的基本關系與誘導公式。這些公式對于我們解決實際問題非常有幫助。希望大家能夠熟練掌握這些知識，并能夠在今后的學習中靈活運用。

（學生）好的，老師，我們明白了。

五、布置作業

（教師）為了鞏固今天所學的知識，請大家完成以下作業：

1.復習課本相關內容，總結同角三角函數的基本關系與誘導公式。

2.完成課本后面的習題，特別是與誘導公式相關的題目。

（學生）好的，老師，我們知道了。

六、課后反思

（教師）今天的課程到此結束。在課后，請大家思考以下幾個問題：

1.同角三角函數的基本關系與誘導公式在實際問題中有什么應用？

2.如何提高運用三角函數解決實際問題的能力？

希望大家能夠在課后認真思考，不斷提高自己的數學素養。六、學生學習效果學生學習效果主要體現在以下幾個方面：

1.理解與掌握同角三角函數的基本關系：通過本節課的學習，學生能夠清晰地理解正弦、余弦、正切之間的關系，包括$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$和$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$等基本公式。這為他們進一步學習三角函數的性質和解決實際問題打下了堅實的基礎。

2.掌握誘導公式：學生能夠熟練運用誘導公式，如$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$，進行三角函數值的計算和化簡。這提高了他們在解決角度加減運算中的三角函數問題時的準確性和效率。

3.提高數學推理能力：學生在推導正切函數公式和誘導公式的過程中，鍛煉了邏輯推理能力。他們學會了如何從已知條件出發，通過邏輯推導得出新的結論。

4.增強數學建模意識：通過將實際問題轉化為三角函數問題，學生學會了如何運用數學模型來描述和分析現實世界中的現象。這種建模能力的提升對于他們未來的學習和工作具有重要意義。

5.提升數學運算能力：學生在計算三角函數值時，熟練運用了三角板和圓規等工具，提高了數學運算的準確性和速度。他們能夠快速準確地計算出各種角度的正弦、余弦、正切值。

6.培養解決問題的能力：通過課堂練習和作業，學生學會了如何運用所學知識解決實際問題。他們能夠獨立完成課本中的例題和習題，并在解題過程中發現和糾正錯誤。

7.增強自主學習能力：學生在學習過程中，通過查閱資料、討論交流等方式，提高了自主學習能力。他們能夠主動探索問題，尋找解決問題的方法。

8.培養團隊合作精神：在課堂討論和小組合作中，學生學會了傾聽他人意見，尊重他人觀點，共同解決問題。這種團隊合作精神的培養對于他們未來的學習和工作具有積極意義。七、板書設計①同角三角函數的基本關系

-正弦、余弦、正切的關系

-公式：$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

-公式：$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

-推導過程：利用平方和關系和正切的定義

②誘導公式

-角度加減運算的三角函數公式

-公式：$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

-公式：$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

-公式：$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

-公式：$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

-公式：$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

-公式：$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

③特殊角的三角函數值

-$\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$

-$\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

-$\tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

-$\sin(45^\circ)=\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

-$\tan(45^\circ)=1$

-$\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

-$\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$

-$\tan(60^\circ)=\sqrt{3}$八、教學反思教學反思

今天的教學，我覺得收獲頗豐，但也發現了一些可以改進的地方。

首先，我覺得在導入環節，我采用了實際生活中的例子來引入新課，比如通過建筑工地的角度測量問題，讓學生們感受到三角函數的實際應用。從學生的反應來看，這種方法挺有效的，他們對于三角函數的應用有了更直觀的認識。但是，我也注意到有些學生對于這些實際例子還是有些陌生，所以在今后的教學中，我可能會更多地結合學生已有的生活經驗，選擇更貼近他們生活的例子。

接著，在講解同角三角函數的基本關系時，我盡量用簡潔的語言和圖形來幫助學生理解。我發現，通過畫圖，學生更容易理解正弦、余弦、正切之間的關系。但是，我也注意到有些學生對于公式的推導過程理解得不夠深入，這說明我在講解過程中可能需要更加詳細地解釋推導過程，讓學生明白每一個步驟的邏輯。

在引入誘導公式時，我嘗試讓學生自己推導出一些公式，比如$\sin(\alpha+\beta)$和$\cos(\alpha+\beta)$。我發現這種方法能激發學生的學習興趣，提高他們的參與度。但是，我也發現有些學生對于公式的推導邏輯還是有些困惑，這可能是因為他們對于三角函數的基本概念掌握得不夠扎實。因此，在今后的教學中，我需要在講解誘導公式之前，先回顧一下基本概念，確保學生能夠順利地理解和推導出這些公式。

在課堂練習環節，我設計了多種類型的題目，旨在讓學生鞏固所學知識。從學生的表現來看，他們對于簡單的題目能夠迅速完成，但是對于一些稍微復雜的問題，他們還是有些猶豫。這讓我意識到，我在今后的教學中需要更多地關注學生的個體差異，提供個性化的輔導。

在課堂小結環節，我簡要回顧了本節課的重點內容，并鼓勵學生課后進行復習。我發現，有些學生對于重點內容的記憶還不夠牢固，這說明我在今后的教學中需要更多地利用多種教學方法，比如反復練習、小組討論等，來幫助學生加深記憶。

此外，我還需要進一步改進我的教學方法，比如利用多媒體技術來展示三角函數的動態變化，或者設計一些互動性的游戲，讓學生在輕松愉快的氛圍中學習。我相信，通過不斷地反思和改進，我能夠更好地幫助學生掌握三角函數的知識，提高他們的數學素養。教學評價1.課堂評價：

-提問環節：通過隨機提問學生關于同角三角函數基本關系和誘導公式的定義和推導過程，檢驗學生對基本概念的理解程度。

-觀察環節：注意學生在課堂上的參與度，包括他們對新知識的興趣、解決問題的能力和小組討論的表現。

-互動環節：組織課堂小游戲，如三角函數值的快速計算競賽，觀察學生在壓力下的反應和合作能力。

-測試環節：進行隨堂小測驗，包括選擇題和填空題，以評估學生對公式和概念的實際應用能力。

2.作業評價：

-批改作業：對學生的作業進行詳細批改，關注每個學生的答案，特別是那些需要額外解釋的問題。

-反饋與鼓勵：針對學生的作業，給出具體的反饋，指出錯誤的原因，并提出改進建議。對于完成得好的部分，給予積極的鼓勵和表揚。

-及時反饋：作業批改后，及時將結果反饋給學生，讓他們了解自己的學習進展，并知道如何改進。

-個性化指導：針對作業中表現出的個體差異，提供個性化的輔導和額外的練習，幫助學生克服學習難點。

3.學生自我評價：

-課后反思：鼓勵學生課后對自己在本節課的表現進行反思，包括哪些地方做得好，哪些地方需要改進。

-同伴評價：實施同伴互評，讓學生之間互相評價作業和課堂表現，提高學生的批判性思維和溝通能力。

4.定期測試：

-定期進行單元測試，評估學生對同角三角函數基本關系和誘導公式的綜合運用能力。

-分析測試結果，找出學生普遍存在的問題，針對性地調整教