高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1寧夏回族自治區(qū)吳忠市2025屆高三下學(xué)期第一次模擬聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】.故選：D2.已知集合，則（）A. B.C.? D.?【答案】C【解析】由，顯然為奇數(shù)，而，所以?.故選：C3.已知單位向量滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)與的夾角為，因?yàn)椋裕裕?故選：C.4.的展開式中的系數(shù)是（）A. B. C.120 D.210【答案】B【解析】由的展開式通項(xiàng)為，令，解得，則的系數(shù)為.故選：B.5.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，所以，，，則，解得，故選：A.6.函數(shù)的最小值為（）A.0 B. C.1 D.2【答案】B【解析】，當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：B7.若，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，∴.A.，A錯(cuò)誤.B.，B錯(cuò)誤.C.，C正確.D.，D錯(cuò)誤.故選：C.8.在三棱錐的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（）A.141種 B.144種 C.147種 D.149種【答案】A【解析】如下圖，共有10個(gè)點(diǎn)任選4個(gè)有種，每個(gè)側(cè)面的6個(gè)點(diǎn)都共面，任選4個(gè)有種，共4個(gè)面，則有60種共面情況，如分別構(gòu)成一個(gè)平面，有3種，如分別構(gòu)成一個(gè)平面，有6種，綜上，在三棱錐的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有種.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯(cuò)選的得0分.9.在正方體中，點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，則（）A.B.C.平面D.與平面所成的角為【答案】ACD【解析】設(shè)正方體的棱長為，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.則，由得，，故，A正確.由，則得與不垂直，B錯(cuò)誤.由題意得，平面的法向量為.∵，平面，∴平面，C正確.由題意得，平面的法向量為，設(shè)與平面所成的角為，則，由得，D正確.故選：ACD.10.若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”.設(shè)是公比為的無窮等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，下列的四組量中，一定能成為該數(shù)列的“基本量”的是（）A.與 B.與C與 D.與【答案】AD【解析】對于A，若已知與，則、確定，該數(shù)列唯一確定；

對于B，若已知與，、可能不唯一，如則可得且或且；

對于C，若已知與，和也有可能不唯一，如則或；

對于D，若已知與，則顯然和唯一確定故選：AD.11.對于一段曲線，若存在點(diǎn)，使得對于任意的，都存在，使得，則稱曲線為“自相關(guān)曲線”.則下列曲線中都是“自相關(guān)曲線”的是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】AB【解析】設(shè)圓的半徑為r，在圓的直徑AB的反向延長線上取點(diǎn)M，如圖1所示，滿足，即，則分別為圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值和最大值，對于圓上的任意點(diǎn)P，.由于，所以，所以，即，根據(jù)圓的圖形的連續(xù)性，可知存在Q，滿足，從而.橢圓：設(shè)其長軸為AB，，在AB的反向延長線上取點(diǎn)M，如圖2所示，滿足，即，則分別為橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值和最大值，對于橢圓上的任意點(diǎn)P，.由于，所以，所以，即，根據(jù)橢圓的圖形的連續(xù)性，可知存在Q，滿足，從而.雙曲線和拋物線：不是封閉曲線，且其圖象趨向無窮遠(yuǎn).由，所以，于是M不在曲線上，設(shè)M到曲線的上點(diǎn)的距離的最小值為d，則當(dāng)時(shí)，這與d的最小性相矛盾，故此時(shí)不存在要求的點(diǎn)Q.因此雙曲線和拋物線不符合題意.故選：AB.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.復(fù)數(shù)的值等于__________．【答案】1【解析】因?yàn)椋运源鸢笐?yīng)填1．考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算．13.不等式的解集為________．【答案】【解析】設(shè)，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖可知，不等式的解集為.故答案為：14.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上.若點(diǎn)和關(guān)于經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的對稱點(diǎn)都在拋物線上，則拋物線的方程為__________.【答案】【解析】如圖所示，由題意設(shè)拋物線C的方程為，且x軸和y軸不是所求直線，又過原點(diǎn)，因而可設(shè)的方程為，設(shè)分別是關(guān)于的對稱點(diǎn).關(guān)于對稱于，則，同理可得，又在拋物線C上，所以，由此知，即，，由此得，從而，整理得，解得，當(dāng)時(shí)，,這與在拋物線上矛盾，故舍去，當(dāng)時(shí)，,故拋物線方程為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.2024年巴黎奧運(yùn)會上，我國乒乓球運(yùn)動員取得了優(yōu)異成績，激發(fā)了民眾參與乒乓球運(yùn)動的熱情，某社區(qū)成立了一個(gè)乒乓球協(xié)會.該協(xié)會為了解性別是否影響居民參與乒乓球運(yùn)動的意愿，對居民是否愿意參加乒乓球運(yùn)動進(jìn)行了抽樣調(diào)查，從該社區(qū)的居民中隨機(jī)抽取了100名進(jìn)行調(diào)查，得到下表：性別乒乓球運(yùn)動合計(jì)參與不參與男性4010女性3050合計(jì)6040100（1）求；（2）為加強(qiáng)管理，該社區(qū)決定從樣本參與乒乓球運(yùn)動的居民中按性別利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6名擔(dān)任乒乓球協(xié)會管理員，并從這6名管理員中選出2名擔(dān)任乒乓球協(xié)會會長，記男性居民擔(dān)任會長的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為居民是否參與乒乓球運(yùn)動與性別有關(guān)聯(lián)？附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）（2）根據(jù)分層隨機(jī)抽樣可知，隨機(jī)抽取的6名居民中有男性4名，女性2名，所以隨機(jī)變量的所有可能取值為，有，，所以的分布列為：012所以.（3）零假設(shè)為：居民是否參與乒乓球運(yùn)動與性別無關(guān)聯(lián).有，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為居民是否參與乒乓球運(yùn)動與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.16.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求證：；（2）若，求的面積．（1）證明：因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理得：又，所以，所以，即，所以，或（舍），所以.（2）解：根據(jù)正弦定理得，即，有余弦定理，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，，，則，，而，矛盾，舍去，故，所以的面積為17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若在上存在唯一零點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋驗(yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增.（2）的定義域?yàn)椋O(shè)（對稱軸為），因?yàn)閮H有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在上僅有一個(gè)變號零點(diǎn)，有，解得，即的取值范圍為.（3）由（2），知當(dāng)即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，所以在上無零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，又，不符合題意；若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，又，也不符合題意；若，即時(shí)，存在，使得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)，即，即時(shí)，存在唯一的，使得，故函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)時(shí)，所以的取值范圍為.18.如圖，在四棱錐中，底面.（1）求證：平面平面；（2）若為的中點(diǎn)，且；（i）求證：四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，并求該球的半徑；（ii）求二面角的正弦值.（1）證明：由余弦定理，有，因?yàn)椋矗裕驗(yàn)榈酌嫫矫妫裕驗(yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）解：（i）連接，因?yàn)槠矫嫫矫妫裕驗(yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，同理，有，因?yàn)榈酌嫫矫妫裕驗(yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因此，有，所以為四棱錐的外接球的球心.按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，連接，取的中點(diǎn)，連接，由，有，又，所以是正三角形，有，易知，設(shè)，則，有，因?yàn)椋裕校茫矗校仕睦忮F的外接球的半徑為（ii），得，設(shè)平面的法向量為，由有則，取，得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，由有取，則，得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則19.已知直線且與相交于點(diǎn).按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn).記的橫坐標(biāo)為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）證