高級中學名校試題PAGEPAGE1遼寧省沈陽市五校協作體2023-2024學年高二下學期期中考試數學試卷第I卷（選擇題共58分）一、單項選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.記等差數列的前n項和為，則（）A.98 B.112 C.126 D.140【答案】B【解析】因為數列為等差數列，，所以，所以.故選：B2.已知公比為的等比數列的前項和，，且，則（）A48 B.32 C.16 D.8【答案】C【解析】因為公比為的等比數列的前項和①，當時，當時②，①②得，所以，則，又，所以，解得，所以，則；故選：C3.已知函數的導函數為，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，令，則，．故選：C4.已知函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，因為在上是增函數，故在上恒成立.若，則恒成立，符合題意；若，則或，解得，綜上，.故選：C5.若函數有兩個不同的極值點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數的定義域為，因為函數有兩個不同的極值點，所以有兩個不同正根，即有兩個不同正根，所以解得，故選:A.6.已知，為的導函數，則的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵，∴，∵，∴為奇函數，其圖象關于原點對稱，故B，D錯誤；將代入得：，故C錯誤．故選：A．7.某單位選派一支代表隊參加市里的辯論比賽，現有“初心”“使命”兩支預備隊.選哪支隊是隨機的，其中選“初心”隊獲勝的概率為0.8，選“使命”隊獲勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊參加比賽的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，記選“初心”隊為事件，選“使命”隊為事件，該單位獲勝為事件，則,因此，所以選“使命”隊參加比賽的概率.故選：D8.中心極限定理是概率論中的一個重要結論．根據該定理，若隨機變量，則當且時，可以由服從正態分布的隨機變量近似替代，且的期望與方差分別與的均值與方差近似相等．現投擲一枚質地均勻分布的骰子2500次，利用正態分布估算骰子向上的點數為偶數的次數少于1300的概率為（）附：若：，則，，．A.0.0027 B.0.5 C.0.8414 D.0.9773【答案】D【解析】骰子向上的點數為偶數的概率，故，顯然，其中，，故，則，由正態分布的對稱性可知，估算骰子向上的點數為偶數的次數少于1300的概率為.故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.下列結論正確的是（）A.一組樣本數據的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數據的樣本相關系數為0.95B.已知隨機變量，若，則C.在列聯表中，若每個數據a，b，c，d均變成原來的2倍，則也變成原來的2倍D.分別拋擲2枚質地均勻的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的點數是奇數．“2枚骰子正面向上的點數相同”，則A，B互為獨立事件【答案】BCD【解析】對于選項A：若所有樣本點都在直線上，且，所以這組樣本數據的樣本相關系數為，故A錯誤；對于選項B：如，則，因為，即所以，故B正確；對于選項C：在列聯表中，若每個數據均變成原來的2倍，則，所以也變成原來倍，故C正確；對于選項D：分別拋擲2枚質地均勻的骰子，基本事件總數為個，事件“第一枚骰子正面向上的點數是奇數”，則事件包含的基本事件數為個，事件“2枚骰子正面向上的點數相同”，則事件包含的基本事件數為個，所以，，又因為包含的基本事件有個，所以，所以，則A、互為獨立事件，故D正確；故選：BCD.10.已知函數，則下列結論正確的是（）A.在定義域上是增函數B.的值域為C.D.若，，，則【答案】BD【解析】對于A，函數的定義域為，，則在上均單調遞增，由于函數圖象在處不連續，故不能說在定義域上是增函數，A錯誤；對于B，結合函數的單調性，作出函數的大致圖象，結合圖象可知的值域為，B正確；對于C，由于，故，故，故，C錯誤；對于D，由題意知，又，即而，，故，結合在上單調遞增，可得，D正確，故選：BD11.如圖，該形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳析九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，……設第層有個球，從上往下層球的總數為，則下列結論正確的是（）A. B.（）C. D.數列的前100項和為【答案】ACD【解析】對于A，，，，，A正確．對于B，由每層球數變化規律可知（），B錯誤．對于C，當時，，當時，滿足，（）．，，C正確．對于D，，則其前100項和為，D正確．故選:ACD．第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數列的前n項和，則____________．【答案】56【解析】由題意.故答案為：56.13.某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積x（單位：）與水生植物的株數y（單位：株）之間的相關關系，收集了4組數據，用模型去擬合x與y的關系，設，x與z的數據如表格所示：x3467z22.54.57得到x與z的線性回歸方程，則___________.【答案】【解析】由已知可得，，，所以，有，解得，所以，，由，得，所以，，則.故答案為：14.設函數，已知，且，若的最小值為，則的值為__________．【答案】1【解析】令，則．因為，則，，可得，則．令，則，當時，即時，在內恒成立，可知在上單調遞減，則，解得，經檢驗滿足題意；當時，即時，令，解得；令，解得；可知在上單調遞減，在上單調遞增，則，解得這與矛盾，舍去；綜上所述：．故答案為：1.四、解答題：本題共5小題，共77分．15.已知函數在處取得極值．（1）求的值；（2）求過點且與曲線相切的切線方程．解：（1），依題意，，即，解得；（2）曲線方程為，點不在曲線上．設切點為，則點的坐標滿足．因，故切線的方程為，注意到點在切線上，有，化簡得：，解得．所以，切點為，切線方程為．16.已知等差數列前項和為（），數列是等比數列，，，，.（1）求數列和的通項公式；（2）若，設數列的前項和為，求.解：（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為（），由，，，，得，解得，，所以，.（2）由（1）知，，因此當為奇數時，，當為偶數時，，所以.17.在十余年的學習生活中，部分學生養成了上課轉筆的習慣．某研究小組為研究轉筆與學習成績好差的關系，從全市若干所學校中隨機抽取100名學生進行調查，其中有上課轉筆習慣的有45人．經調查，得到這100名學生近期考試的分數的頻率分布直方圖．記分數在600分以上的為優秀，其余為合格．（1）請完成下列2×2列聯表．并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的條件下，認為成績是否優秀與上課是否轉筆有關．上課轉筆上課不轉筆合計合格25優秀10合計100（2）現采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取5人進行進一步調查，記抽到5人中合格的人數為，求的分布列和數學期望．（3）若將頻率視作概率，從全市所有在校學生中隨機抽取20人進行調查，記20人中上課轉筆的人數為，求的期望和方差．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）抽取100名學生進行調查，其中有上課轉筆習慣的有45人，2×2列聯表如圖所示，上課轉筆上課不轉筆合計合格254570優秀201030合計4555100所以能在犯錯概率不超過0.01的條件下認為成績是否優秀與上課是否轉筆有關.（2）根據頻率分布直方圖大于600分的頻率為，小于600分的頻率為，故由分層抽樣知，抽取的10人中合格有人，優秀的為人，則從這10人中隨機抽取5人，合格人數服從超幾何分布，由題意的取值范圍為，故，，，，故分布列為2345.（3）由題意隨機抽取1人則其上課轉筆的概率為，故根據題意，，.18.已知函數．（1）求函數的單調區間；（2）當時（為大于0的常數），求的最大值；（3）若當時，不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1）由題意可知：的定義域為，且，令，解得；令，解得；所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．（2）由（1）可知：函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，當時，，所以；當時，在上單調遞減，所以．（3）當時，不等式，即恒成立，令，則，可知在上單調遞減，可得，即恒成立，易知在內單調遞減，所以，可得，所以的取值范圍為.19.已知在一個不透明的盒中裝有一個白球和兩個紅球（小球除顏色不同，其余完全相同），某抽球試驗的規則如下：試驗者在每一輪需有放回地抽取兩次，每次抽取一個小球，從第一輪開始，若試驗者在某輪中的兩次均抽到白球，則該試驗成功，并停止試驗.否則再將一個黃球（與盒中小球除顏色不同，其余完全相同）放入盒中，然后繼續進行下一輪試驗.（1）若規定試驗者甲至多可進行三輪試驗（若第三輪不成功，也停止試驗），記甲進行的試驗輪數為隨機