高級中學名校試題PAGEPAGE1吉林省長春市2025屆高三質量監測（三）數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，故復數的虛部為.故選：B2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解不等式，可得或，因為是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A．3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，所以，即.故選:D.4.為了了解學校質量監測成績，現隨機抽取該校200名學生的成績作為樣本進行分析，并繪制頻率分布直方圖，若該頻率分布直方圖的組距為10，且樣本中成績在區間這一組內的學生有40人，則在頻率分布直方圖中該組數據對應的矩形高度為（）A.0.2 B.0.02 C.0.4 D.0.04【答案】B【解析】由題意成績在區間內學生頻率為，因此，故選:B5.已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為3和4，母線長為，則該圓臺的側面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可作圖如下：則，已知，則，可得，解得，即，小圓錐的側面積為，大圓錐的側面積為，所以圓臺的側面積為.故選：B.6.在的展開式中，的系數是（）A.20 B. C.40 D.【答案】C【解析】由于，所以含的項為，所以的系數為，故選:C.7.已知函數是定義在上的偶函數，函數的圖象關于點中心對稱，若，則（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】由函數的圖象關于點中心對稱可知，，即，可得，因此函數有對稱軸，由，可得，由為上的偶函數且具有對稱軸，可得.故選:B.8.古希臘數學家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來研究圓錐曲線，如圖1，設圓錐軸截面的頂角為，用一個平面去截該圓錐面，隨著圓錐的軸和所成角的變化，截得的曲線的形狀也不同.據研究，曲線的離心率為，比如，當時，，此時截得的曲線是拋物線.如圖2，在底面半徑為1，高為的圓錐中，是底面圓上互相垂直的直徑，是母線上一點，，平面截該圓錐面所得的曲的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意的，則，所以，在中，，則，所以，且.由正弦定理得，，即，故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則下列說法正確的是（）A.函數的最小正周期為B.函數在區間上單調遞增C.函數的圖象的對稱軸方程為D.函數的圖象可由函數的圖象向右平移個單位長度得到【答案】AC【解析】函數的周期為，故A正確；的單調增區間為，即，故B錯誤；令，則，故C正確；函數向右平移個單位長度得到，故D錯誤.故選：AC.10.已知數列滿足，則下列說法中正確的是（）A.若，則是等差數列B.若，則是等差數列C.若，則是等比數列D.若，則是等比數列【答案】BCD【解析】對于A，當時，若，可演繹為，因此數列不是等差數列，故A選項錯誤；對于B，當時，若，可演繹為因此數列是等差數列，故B選項正確；對于C，當時，若，可演繹為因此數列是等比數列，故C選項正確；對于D，當時，若，可演繹為因此數列是等比數列，故D選項正確；故選：BCD.11.在平面內，存在定圓和定點，點是圓上的動點，若線段的中垂線交直線于點，關于點軌跡敘述正確的是（）A.當點與圓心重合時，點的軌跡為圓B.當點在圓內且不與圓心重合時，點的軌跡為橢圓C.當點在圓上時，點的軌跡為拋物線D.當點在圓外時，點的軌跡為雙曲線【答案】ABD【解析】設圓的半徑.當點與圓的圓心重合時，線段的中垂線與直線的交點即為的中點，此時，因此點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故選項A正確；當點在圓內且非圓心時，如圖所示.∵點是線段中垂線與直線的交點，，，（其中為圓的半徑），∴點的軌跡為橢圓，故選項B正確；

當點在圓上時，如圖所示，根據圓的性質可知線段的中垂線與直線的交點即為圓心，軌跡為一個點，故選項C錯誤；

當點在圓外時，如圖所示.∵點是線段的中垂線與直線的交點，，，或，∴或（其中為圓的半徑），即，∴點的軌跡為雙曲線，故選項D正確.

故選：ABD.三?填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.已知公差不為0的等差數列的首項為1，且成等比數列，則__________.【答案】【解析】設等差數列公差為d，則，則或（舍），則.故答案為：.13.已知向量滿足，且，則__________.【答案】【解析】.故答案為：.14.2025年春晚，一場別開生面的機器人舞蹈表演震撼了觀眾.現在編排一個動作，機器人從原點出發，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移動一個單位，共移動3次.求該機器人在有且僅有一次經過（含到達）點位置的條件下，水平方向移動2次的概率為__________.【答案】【解析】設事件“有且僅有一次經過”，事件“水平方向移動2次”，按到位置需要1步，3步分類討論.記向左，向右，向上，向下，①若1步到位為事件，則滿足要求的是或或或或，或或或或，所以；②若3步到位為事件，則滿足要求的是，所以；所以，滿足的情況有：或或或或.所以，所以.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內角的對邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.解：（1）因為，由余弦定理得，由正弦定理得，在中，所以，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理可得，由，當且僅當時“”成立，，.16.已知函數.（1）若存在，使成立，求的取值范圍；（2）已知，若在上恒成立，求的最小值.解：（1）因為存在，使成立，即，所以，令，則，令可得，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以時，有極大值，即最大值，，所以.（2），令，令，則（舍）或，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以時，有極大值，即最大值，，則，則的最小值為.17.斜三棱柱各棱長為為棱上的一點.（1）求證：；（2）若平面平面，且二面角的余弦值為，求的長.（1）證明：取中點，在中，為中點，所以，在中，，所以，所以有，即，所以，又因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以；（2）解：由（1）知且平面平面，所以面，則，如圖以兩兩垂直，以為坐標原點，以方向為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系.，設，，設平面法向量為，，可取，平面的法向量為，所以有，化簡得，所以有（舍）或者，所以.18.某網店發現其某款商品的日銷售量與該店在購物平臺的日訪問量呈線性相關關系，為了吸引更多的顧客購買該商品，在上推出了和兩款互動游戲，顧客在參與游戲后，有機會獲得優惠券.下圖是該商品的日銷售量（單位：千件）與日訪問量（單位：萬人次）的散點圖：（1）求出關于的回歸方程，并預測日訪問量12萬人次時日銷售多少千件商品；（2）款游戲為通關游戲，游戲規則為：顧客每次挑戰都有的概率成功通關，一旦成功，則游戲立即結束并獲得優惠券，如果挑戰失敗，可繼續挑戰；每位顧客共有次挑戰機會，第無論成功與否都結束游戲.設為游戲結束時，進行挑戰的次數，的數學期望為，證明：；（3）款游戲為抽球游戲，游戲規則為：有個小球，編號為，參與者從中隨機抽取個小球，記錄編號后放回，再重新隨機抽取個小球，記被重復抽取的小球數為，并向參與者發放張優惠卷，求使取得最大值時的值.參考數據：.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：（1）解：由題意可得：，.所以回歸方程，時，，所以日訪問量12萬人時銷售千件商品；（2）證明：可取值為，當時，，，所以的分布列為123故①.因為②由①-②得，所以；（3）解：當時，只能取，故只能取，有；當時，整數滿足，其中是0和中的較大者.兩次抽球包含的基本事件總數為，事件“”所包含的基本事件數為，此時，當時，，因為，所以，當時，顯然，當時，，所以，當時，取得最大值的整數或，當時，取得最大值的整數，其中為不超過的最大整數.19.已知為坐標原點，動點到軸距離為，且，其中均為常數，動點的軌跡稱為曲線.（1）若曲線為雙曲線，試問應滿足什么條件？（2）設曲線為曲線，點是上位于第一象限的一點，點關于原點中心對稱，點關于軸對稱.延長至，使得，且直線和曲線的另一個交點位于第二象限內.（i）求的取值范圍；（ii）設直線斜率為，直線斜率為，判斷與的關系，并求的取值范圍.解：（1）設點，則由，得，即，若曲