高級中學名校試題PAGEPAGE1遼寧省葫蘆島市普通高中2025屆高三第一次模擬考試數學試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知，又，可得.故選：A2.若復數，則的共軛復數的模為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】因為，所以，所以.故選：B.3.將函數的圖象向左平移個單位后，所得圖像的解析式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數的圖像向左平移個單位得到的函數圖象的解析式為.故選：A.4.已知點是拋物線上的一個動點，則點到點的距離與點到該拋物線準線的距離之和的最小值為（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】依題意，拋物線中，，點到準線的距離，故點到點的距離與到該拋物線準線的距離之和為：，當且僅當A,P,F三點共線時等號成立.所以的最小值為.故選：C.5.已知圓心角為的扇形面積為，則由它圍成的圓錐的母線與底面所成角的余弦值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據題意設圍成的圓錐為，如下圖：設扇形的半徑為，則，解得；可知圓錐母線為4又扇形弧長為,設圓錐底面半徑為，則，因此；所以圓錐的母線與底面所成角的余弦值等于.故選：D6.平面向量，，則在上的投影為（）A B. C.1 D.【答案】A【解析】根據題意可知，在上的投影為.故選：A7.5G通信中的信號是由“0”和“1”組成的二進制編碼．某信號的二進制編碼由6個數字組成，則該信號編碼中恰好有3個“1”的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據題意可知某信號的6位數字均有“0”和“1”兩種選擇，因此可以編碼出種信號；若信號編碼中恰好有3個“1”，則其余三個數字是0，共有種信號，因此該信號編碼中恰好有3個“1”的概率為.故選：B8.已知函數的定義域為，且當時，，則下列結論一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為當時，，所以，，又因為，所以，，，，，，，，，，，，，故C正確，A錯誤，且無證據表明BD正確.故選：C.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．）9.已知圓的圓心到直線與距離為，則實數的值為（）A. B. C.14 D.【答案】AC【解析】因為圓的方程為，所以圓心為，又因為點到直線的距離為，所以，解得或.故選：.10.已知函數，則（）A.為奇函數 B.在單調遞增C.有且僅有1個零點 D.的最小值為【答案】ABC【解析】對于A，易知的定義域為，定義域關于原點對稱，可知，即為奇函數，可得A正確；對于B，當時，可得恒成立，因此在單調遞增，即B正確；對于C，由B可知在上單調遞增，且，因此有且僅有1個零點，即C正確；對于D，當時，可得趨近于，因此D錯誤.故選：ABC11.已知數列，不為常數列且各項均不相同，設，，下列正確的是（）A.若為等差數列且為等比數列，則方程最多有三個解B.若，均為等差數列，則方程最多一個解C單調遞增，單調遞減，則方程最多有一個解D.若，均為等比數列，則方程最多有三個解【答案】BC【解析】對于A，因為等差數列的通項公式是線性的，可表示為（其中為公差），而等比數列的通項公式是指數型的，可表示為（其中為公比且），方程即，當時，指數函數增速逐漸加快，而線性函數增速恒定，兩者可能先相交一次，隨后指數函數迅速超過線性函數，之后不再相交，或者指數函數初始值高于線性函數，隨后被線性函數超過一次，再被指數函數反超，此時最多相交兩次；當時，指數函數遞減，而線性函數遞增，兩者可能相交一次或不相交，進一步分析是否存在三個解的可能：假設存在三個自然數滿足，則指數函數需在三個點上與直線重合，但指數函數的凹凸性（始終向上凸或向下凸）與直線單調性的差異決定了它們的交點數量不可能超過兩次，若強行假設存在三個交點，則指數函數需在某一區間內先超過直線，再被直線超過，最后再次超過直線，這與其單調遞增或遞減的特性矛盾.因此，無論還是，方程在自然數范圍內最多有兩個解，而非三個，故A錯誤；對于B，因為當和均為等差數列時，它們的通項公式分別為和（其中，且數列不為常數列），方程可化簡為，若兩數列公差不同，方程等價于關于的一元一次方程，解為，由于方程至多有一個實數解，且題目中為自然數，因此方程要么存在唯一的自然數解，要么無解（例如解為負數或非整數），若兩數列公差相同，方程化簡為，由于題目規定兩數列不為常數列且各項均不同，若，則方程無解，若，則兩數列完全相同（即對所有成立），但題目明確要求數列“不為常數列且各項均不相同“，因此這種情況被排除.綜上，無論公差是否相等，方程在自然數范圍內最多存在一個解，故B正確；對于C，因為單調遞增，單調遞減，所以隨增大嚴格上升，隨增大嚴格下降，若存在某個使得，則對于更大的會繼續增大而繼續減小，兩者不再可能相等，對于更小的更小而更大，同樣無法再次相等，因此，方程最多有一個解，故C正確；對于D，因為當和均為等比數列時，它們的通項公式分別為和（其中，且數列不為常數列），方程等價于，整理并取對數可得：，若公比不同，此時，方程可解為，這是一個關于的一元一次方程，因此最多存在一個實數解；若公比相同，方程退化為，若，由于題目要求數列“不為常數列且各項均不相同“不合題意，若，方程無解，但題目明確排除了這種情況，故此時方程無解，即最多一個解，假設存在三個不同的自然數滿足方程，則，若，則，此時為嚴格單調函數時遞增，時遞減），而嚴格單調函數與常數最多相交一次，綜上，無論公比是否相等，方程在自然數范圍內最多存在一個解，故D錯誤.故選：BC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.二項式的展開式中的常數項為________．【答案】60【解析】展開式的通項為．令，得，則的常數項為．故答案為：．13.若雙曲線的一條漸近線的斜率大于，則雙曲線離心率的取值范圍是_____．【答案】【解析】易知雙曲線的一條漸近線的斜率為，依題意可得，所以所以雙曲線離心率，又，可知雙曲線離心率的取值范圍是.故答案為：14.已知銳角的內角，，的對邊分別為，，，且，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】因為，由正弦定理可得,即，所以，而三角形為銳角三角形，所以或(舍去)，所以，由題意得，所以，，令，，則，易得，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，故當時，函數取得最大值，又，，所以.故答案為：.四、解答題（本題共5小題；共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.DeepSeek，全稱杭州深度求索人工智能基礎技術研究有限公司，2024年末DeepSeekR1一經發布，引發全球轟動，其科技水準直接對標美國的OpenAIGPT4．對于人工智能公司而言，不同的客戶使用需求不同，造成公司運營的技術成本不同．某調研公司對DeepSeek和OpenAI兩家公司的客戶使用的技術成本進行調研，隨機抽取200個客戶，將客戶在使用時產生的技術成本分為高昂、較高、低廉三個類別進行數據統計如下表，其中技術成本高昂和較高情況下都稱為為高成本運營，低廉稱為低成本運營．高昂較高低廉總計DeepSeek361450100OpenAI462430100（1）請填寫如下列聯表，并判斷能否有99%的把握認為兩家公司的運營成本存在差異；高成本運營低成本運營DeepSeekOpenAI（2）對于技術成本而言，高成本運營占比越低，則認為技術水平越高．已知DeepSeek發布前openAI高成本運營占比為，設為DeepSeek發布后這兩家公司抽取的個客戶使用時的高成本運營占比，若，則可以認為DeepSeek的技術水平高于openAI，根據抽取的200個客戶信息，是否能夠認為DeepSeek的技術水平高于openAI．附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）根據題意可得列聯表：高成本運營低成本運營DeepSeek5050OpenAI7030可得因為，所以有99%的把握認為兩家公司的運營成本存在差異．（2）由題意可知：DeepSeek發布后這兩家公司的高成本運營占比，用頻率估計概率可得，又因為升級改造前該工廠產品的優級品率，則，可知，所以，能夠認為DeepSeek的技術水平高于openAI．16.設數列是公差大于1的等差數列，，滿足，記，分別為數列，的前項和，且，．（1）求的通項公式；（2）若存在，使得，求實數的取值范圍．解：（1），，解得，；由，可知，；，，又，，即，解得或（舍去），．（2）由（1）知：可知，，解得，所以為等差數列，故，存在，有即又所以故，整理解得．所以的取值范圍是.17.已知函數．（1）討論的單調性；（2）當時，，求實數的值．解：（1）因為，定義域為，求得，所以，當時，成立，此時在上單調遞減；當時，，，在上單調遞減；，，在上單調遞增．綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．（2）由（1）得，當時，，要使不等式成立，即需使不等式成立，即不等式成立，令，，則，令，則；令，則；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，若，則,所以.18.已知，，直線，交于點，且直線，的斜率之積為，點的軌跡記為曲線．（1）求的方程；（2）設直線與曲線相切，是否存在使得相應的為整數?若存在，求的值；若不存在，說明理由；（3）設直線與曲線交于點，兩點，點為弦的中點，滿足，且直線，與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，求直線的方程．解：（1）設點，則于是，整理得：.（2）由，消去得，由，化簡得，當時，不符合題意；當時，不符合題意；當時，．符合題意；所以在該集合中存在，使得為整數，且（3）設，，，由，消去得，由是弦的中點，可知，，整理得：，因式分解：，所以或．當時，直線的方程為，過定點，即必過點，不符合題意；當時，直線的方程為，過定點．因為為等腰三角形，且為底邊，可求得，所以當時，，即直線l的方程為，當時，，即直線l的方程為．19.已知函數圖像如圖1所示，，分別為圖像的最高點和最低點，過，作軸的垂線，分別交軸于，，點為該部分圖像與軸的交點，且，與軸的交點為．將繪有該圖像的紙片沿軸折成如圖2所示的二面角．折疊后，當二面角的值為時，．（1）求函數的解析式；（2）在圖2中，的圖像上存在點，使得平面，請確定點的個數，并簡要說明理由；（3）如圖3，在折疊過程中，若二面角的范圍是，求二面角的余弦值的取值范圍．解：（1）由題意：，，當繪有圖像的紙片折疊前，有，于是①又當二面角的值為時，可得，代入上式：②聯立①②，解得：，．所以，又與軸的交點為，可得，解得(舍)或，所以.（2）①在平面內，過點作圖象的切線，斜率為，又點，，故連線的斜率，連線的斜率，