高級中學名校試題PAGEPAGE1湖南省沅澧共同體2025屆高三下學期2月聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，則.故選：B.2.命題“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題“”的否定是“”.故選：A.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，解得，則.故選：D.4.已知為拋物線的焦點，點在上，且，則點到軸的距離為（）A.2 B.3 C. D.4【答案】D【解析】拋物線的準線為，設點，則，解得，所以點到軸的距離為4.故選：D5.空間中有兩個不同的平面和兩條不同的直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，則B若，則C.若，則D.若，且，則【答案】B【解析】選項A，若，則與可以相交，也可以平行，不一定垂直，A錯；選項B，若，則直線的方向向量分別是平面的法向量，兩平面垂直，即為它們的法向量垂直，則，B正確；選項C，若，則可能有，也可能相交，C錯；選項D，若，且，則或，D錯．故選：B．6.的展開式中的常數項為（）A.8 B.2 C. D.【答案】C【解析】因為，二項式的展開式的通項公式為，，所以展開式的常數項為.故選:C.7.已知是等比數列的前n項和，則“依次成等差數列”是“依次成等差數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】設等比數列的公比為，由依次成等差數列可得，即，因，可得，解得或.當時，，不滿足，故充分性不成立；由依次成等差數列，可得，顯然，故有，因，且，化簡得：，解得或，當時，，即依次成等差數列；當時，，而，故得，即依次成等差數列.故必要性成立.綜上可得，“依次成等差數列”是“依次成等差數列”的必要不充分條件.故選：B.8.設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，.則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】為奇函數，故，又為偶函數，故，中，令代替得，結合得，即，又，故，的一個周期為4，又時，，且，則，則，則，，則時，，故.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，若將的圖象向右平移個單位后，再把所得曲線上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，則下列說法正確的是（）A.B.圖象關于點對稱C.的圖象關于直線對稱D.的圖象與的圖象在內有4個交點【答案】BD【解析】的圖象向右平移個單位后，可得，進而可得，故A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，，故不是的對稱軸，故C錯誤，對于D，分別作出與在內的圖象，可知有4個交點，故D正確，故選：BD10.下列命題中，正確的命題是（）A.若,若，則B.設為隨機事件，且，若，則與相互獨立C.設隨機變量服從正態分布，若，則D.若，當時，取得最大值【答案】ABC【解析】對于A，由題可得，故A正確；對于B，因，則A的發生對B的發生沒有影響，故A與相互獨立，故B正確；對于C，因，則，故C正確；對于D，，則當時，取得最大值，故D錯誤.故選：ABC11.雙紐線最早于1694年被瑞士數學家雅各布?伯努利用來描述他發現的曲線.在平面直角坐標系xOy中，把到定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知點是時的雙紐線上一點，則（）A.關于原點成中心對稱B.上滿足的點有2個C.面積的最大值為D.當直線與有3個交點時，的取值范圍是【答案】ACD【解析】對于A，設動點，由題可得的軌跡方程，把關于原點對稱的點代入軌跡方程顯然成立，故A正確；對于B，時的雙紐線的方程為，若，則在的中垂線軸上，故此時，代入得，即，所以只有一個點，故B錯誤；對于C，因為，是上的一點，故，當，即時等號成立，下面說明垂直時可取到，，則，代入，得，解得，故C正確；對于D，直線與有3個交點時，聯立與，得，當時，適合上述方程，當時，，即，則，則，所以直線與有3個交點時，的取值范圍是，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.復數的虛部為_______.【答案】【解析】依題意，，所以所求虛部為.故答案為：13.已知雙曲線漸近線與x軸的夾角為，則該雙曲線的離心率為________.【答案】2【解析】根據漸近線的傾斜角為，可得，所以，故答案為：2.14.高中數學必修一教材第87頁中提到：函數圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數.有同學發現可以將其推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數.若函數的圖象關于點成中心對稱圖形，則實數t的值為______，若，則實數m的取值范圍是______.【答案】①.1②.【解析】由函數的圖象關于點成中心對稱，得為奇函數，，，則，所以，所以，那么，又，所以.故函數，因為在上都是遞增函數，所以在上是遞增函數，又因為是奇函數，且是連續函數，所以函數在上單調遞增，要使，只需，解得或，故m的取值范圍是.故答案為：1；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）延長BC到D，使得，且，求的面積.解：（1）因為，由正弦定理得.所以設，，則，，由余弦定理得，又，所以.（2），解得，結合，則，由（1）知，則，則，因為由（1）知，則，則.16.如圖1，在平面四邊形中，，，，.將沿折疊至處，使平面平面（如圖2），為中點，為的中點，是靠近點的四等分點.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因為，點為的中點，所以，因為平面平面ABD，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.因為，，所以是等邊三角形，所以，所以，所以，即，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：取的中點，連接，則，又因為平面，則平面，因為，以點為坐標原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則、，、、、，所以，，.設平面的一個法向量為，則，令，得，，所以，設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.17.已知點在橢圓上，與橢圓的上，下頂點的連線的斜率之積為．（1）求橢圓的離心率；（2）若直線與橢圓相交于、兩點，且的面積為（為坐標原點），求橢圓的標準方程．解：（1）因橢圓上、下頂點的坐標分別為、，依題意，整理得（*），因點在橢圓上，則，即，代入（*），化簡得：，又，所以，則橢圓的離心率；（2）如圖，設、，由（1）已得，則由，消去并整理得，此時，解得，由韋達定理得，，所以，又原點到直線的距離，所以的面積，解得，故橢圓的方程為．18.某城市一室內游泳館，為給顧客更好的體驗，推出了A和B兩個套餐服務，顧客可自由選擇A和B兩個套餐之一；該游泳館在App平臺上推出了優惠券活動，下表是App平臺統計某周內周一至周五銷售優惠券情況.星期t12345銷售量y（張）218224230232236經計算可得：，，.（1）已知y關于t的經驗回歸方程為，求y關于t的經驗回歸方程；（2）若購買優惠券的顧客選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為，并且A套餐包含兩張優惠券，B套餐包含一張優惠券，記App平臺累計銷售優惠券為n張的概率為.①求、及；②判斷，，是否為定值，并求及的最值.參考公式：，.解：（1）由題意，，則，.所以關于的經驗回歸方程為.（2）①由題意，可知，，，②當時，，即，又，所以當時，數列為各項都為1的常數列，即，所以，又，所以數列為首項為公比為的等比數列，所以，即.當為偶數時，，且隨的增大而減小，因此的最大值為；當為奇數時，，且隨的增大而增大，因此的最小值為，綜上所述，的最大值為，最小值為.19.已知函數，，.（1）若，求實數m的取值范圍；（2）設函數，且，是的兩個零點.（i）求a的取值范圍；（ii）證明：.解：（1）函數的定義域為，，易知在上單調遞增，且，當時，，當時，，所以當時，該函數取得極小值，也為最小值，所以，解得，所以實數m的