高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1遼寧省部分高中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在等差數(shù)列中，，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，所以.故選：A．2已知集合，則（）A. B.C D.【答案】D【解析】不等式的解集為，，，所以，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D．3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由得，所以，故可得；當(dāng)時(shí)，取，則不成立；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A4已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?故選：C．5.已知，且，則的最小值為（）A.3 B. C.2 D.【答案】B【解析】，，又，，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立.故選：B．6.已知直線是曲線的切線，則實(shí)數(shù)（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則①，又點(diǎn)既在直線上，又在曲線上，②，③，由①②③解得，.故選：A．7.若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方法1：不等式化為，使成立，則，故選：A.方法2：將兩邊平方整理得，對(duì)恒成立，則有，解得，故選：A．8.若函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，因?yàn)樵趨^(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，當(dāng)顯然不出來(lái)；當(dāng)時(shí)，，即，故選:C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】由得，，，由，即，解得，故A正確；所以，，故B正確；所以，則，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔇錯(cuò)誤．故選：AB.10.已知數(shù)列滿足，則（）A. B.數(shù)列是遞增數(shù)列C. D.數(shù)列的最小值為【答案】AC【解析】由得，所以，故A正確，所以，設(shè)函數(shù)，則，令得，令得，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合，得當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤，由當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列知，所以，故C正確，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11.已知與x軸的三個(gè)交點(diǎn)依次為，且在這三個(gè)交點(diǎn)處的切線斜率分別記為，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】，由或；由.所以函數(shù)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以在處取得極大值，在處取得極小值，又.所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.對(duì)A：因?yàn)椋裕蔄正確；對(duì)B：因?yàn)榈膶?duì)稱中心為，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，故B不正確；對(duì)C：令，是方程其中的一個(gè)根，所以，則另兩個(gè)根分別為和，所以有，因?yàn)椋忠驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故C正確；對(duì)D：設(shè)A，B，C對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為，，，且，所以，，，則，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根同號(hào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)______．【答案】【解析】根據(jù)題意得到，即，解得.故答案為：.13.在等比數(shù)列中，，則_______.【答案】【解析】由于，由等比數(shù)列性質(zhì)知道，則；由于，由等比數(shù)列性質(zhì)知道；則.故答案為：.14.已知函數(shù)，若恒成立，則的最小值為_(kāi)______；則若在的圖象上有且僅有一對(duì)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)______．【答案】①②【解析】①由題意，當(dāng)時(shí)，對(duì)于恒成立，滿足條件；當(dāng)時(shí)，由得對(duì)于恒成立，令，則，在時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞增，故，所以的最小值為.②在的圖象上有且僅有一對(duì)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則在有唯一解，令，兩邊取對(duì)數(shù)，所以，令，恒成立，所以在單調(diào)遞增，且，所以在有唯一解，令，則，令，則，即單調(diào)遞增；令，則，即單調(diào)遞減；如圖所示，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以實(shí)數(shù)的取值為.故答案為：①，②.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與x軸平行．（1）求a的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間與極值．解：（1）因?yàn)椋裕矗?）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋桑?）知，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，函數(shù)無(wú)極大值．16.設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前n項(xiàng)和，求證：．解：（1）因?yàn)椋裕剩?dāng)時(shí)，，所以，所以，則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以．（2）因?yàn)椋裕佗冖佗诘茫运裕?7.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：不等式有實(shí)數(shù)解．解：（1）因?yàn)?①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，所以，若，，所以在上單調(diào)遞減，若，，所以在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）要證不等式有實(shí)數(shù)解，只需證明即可.由（1）得，則只要證明即可，即證.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，不等式有實(shí)數(shù)解.18.已知數(shù)列滿足．（1）計(jì)算，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）設(shè)，求使數(shù)列取得最大值時(shí)n的值．解：（1）由題意得，，猜想，式子可化為，因?yàn)椋裕虼藬?shù)列的通項(xiàng)公式為，得證．（2）由得，，所以，若，當(dāng)且僅當(dāng)成立，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，取最大值.19.已知函數(shù)，數(shù)列滿足正整數(shù)（1）求的最大值；（2）求