高級中學名校試題PAGEPAGE1江西省2025屆高三下學期2月一模考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若向量，，且，則（）A. B.45 C. D.【答案】C【解析】因為，所以，解得，故，故.故選：C.2.若，則（）A.5 B. C. D.【答案】A【解析】因為，，所以結合復數模的性質得，故A正確.故選：A.3.滿足的集合的個數為（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】因為，所以，則必須包含和，也必須包含的子集才不影響結果，又的子集共有8個，把每個子集與集合取并集都符合條件，則符合條件的集合共有8個，故B正確.故選：B.4.聲音經濟產業指的是圍繞聲音進行信息消費而引發的一切經濟現象及行為.已知年中國聲音經濟產業市場規模（單位：千億元）依次為：0.3，0.5，1.4，2.2，3.1，3.9，2.5，5，則這組數據的分位數為（）A.3.1 B.3.2 C.3.5 D.3.9【答案】C【解析】因為，所以該組數據的分位數為這組數據按照從小到大排列的第6個數（3.1）與第7個數（3.9）的平均數，所以這組數據的分位數為.故選：C.5.化簡（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由兩角和的正切公式得由誘導公式得，則原式可化為，故D正確.故選：D.6.若直線與冪函數，，的圖象從左到右依次交于不同的三點，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當時，由，得；由，得；由，得.因為，所以是關于的減函數.又，所以，所以.故選：A.7.已知點，直線：與拋物線：交于，兩點，且，則直線的斜率之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知直線過的焦點，將與聯立，得，所以，，，由拋物線定義可得.又，解得，直線的斜率為，直線DA與DB的斜率之和為，所以直線的斜率之和為.故選：B.8.已知正四棱錐的底面邊長為，側棱長為，點在該棱錐的高上，分別以，為球心作球，使得點，，，都在球的表面上，兩球面的公共點的集合是以線段上一點為圓心，半徑為的圓，則當球的半徑為時，球的表面積為（）A B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得圓的半徑為，設球，的半徑分別為，，設，則，，，由題意，得，解得，，，所以球的表面積為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線：與：，則與的（）A.離心率相等 B.漸近線相同 C.焦點坐標相同 D.焦距相等【答案】AB【解析】由雙曲線：，可得，所以的離心率是，由雙曲線：，可得，所以的離心率是，所以與的離心率都是，故A正確；的漸近線方程為，的漸近線方程是，故B正確；與的焦點坐標分別為，，故C錯誤；與焦距分別為，，故D錯誤.故選：AB.10.已知數列滿足對任意正整數，恒有且，設，則（）A.中前個奇數的和為 B.前100項的和為10100C.不存在等差數列，使其前項和為 D.【答案】BCD【解析】因為對任意正整數，，恒成立，令，，得，所以，，所以，所以是首項為1，公差為1的等差數列，故，經檢驗符合題意.中前個奇數的和為，故A錯誤；所以，所以，所以的前100項的和為，故B正確；假設存在，其前項和，則，當時，，所以，，所以不是等差數列，故C正確；，，所以，故D正確.故選：BCD.11.已知函數，若存在，，使得在區間上的值域為，則（）A.的取值范圍是 B.的取值范圍是C. D.【答案】AC【解析】由題意知在上單調遞增，又在上的值域為，所以，所以，是方程的兩個根，設，則，是方程的兩個根，因為，所以，所以方程有2個不相等的正根，，所以，解得，故A正確，B錯誤.由基本不等式，可得，所以，故C正確；，因為，所以，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量，若，則______.【答案】0.2【解析】因為，，所以，所以.故答案為：.13.已知正四棱柱的底面邊長為2，沿該棱柱的表面從點經過棱或棱上的一點到達點的最短距離為，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為______.【答案】【解析】設該棱柱的高為，如圖，若沿該棱柱表面從點經過棱上一點到達點的最短距離為，不滿足題意；從點經過棱上的一點到達點的最短距離為，解得.因為，所以，所以，過點作的平行線與交于點，則或其補角就是AE與BD所成角，，，所以.故答案為：.14.已知函數（），將的圖象繞原點逆時針旋轉后，所得曲線仍是函數的圖象，則的取值范圍為______.【答案】【解析】法1：設為的圖象上任意一點，繞原點逆時針旋轉后點的對應點為，設，與正半軸夾角為，可得：，化簡可得：令，則，所以，令，要使函數圖像繞原點逆時針旋轉后仍為某函數的圖象，則為單調函數，即恒成立，或恒成立.因為，又，故不恒成立，所以恒成立，當時，；當時，由，得，令，則，易得當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以；當時，由，得，令，則，所以在上單調遞增，所以當時，的取值范圍為，所以.綜上所述，的取值范圍為.法2：，當時，由，得，由，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，其圖象大致如圖1所示，繞原點逆時針旋轉后，得到的曲線不是任何函數的圖象；當時，，其圖象為軸，繞原點逆時針旋轉后，為函數的圖象，符合題意；當時，由，得，由，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，其圖象大致如圖2所示，要使繞原點逆時針旋轉后，得到的曲線為某函數的圖象，必有在上恒成立，所以在上恒成立，令，則，因為，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，所以.綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.某農科所在同一塊試驗田種植了，兩個品種的小麥，成熟后，分別從這兩個品種的小麥中均隨機選取100份，每份含1千粒小麥，測量其重量（g），按，，，，，分為6組（每份重量（g）均在內），兩個品種小麥的頻率分布直方圖如圖所示，兩個品種的小麥千粒重相互獨立.（1）求的值及品種小麥千粒重的中位數；（2）用頻率估計概率，從，兩個品種的小麥中各抽取一份，估計這兩份的重量恰有一個不低于45g的概率.解：（1）由品種小麥的頻率分布直方圖，得，所以；設品種小麥千粒重的中位數為，由品種小麥的頻率分布直方圖，得，，則，于是，解得，即品種千粒重的中位數為43.75g.（2）設事件，分別表示從，兩個品種中取出的小麥的千粒重不低于45g，事件表示兩個樣本小麥的千粒重恰有一個不低于45g，則，用頻率估計概率，則，，由，相互獨立，所以.16.如圖，在中，的平分線與AB交于點，.（1）求；（2）若，求的值.解：（1）如圖，在中，由題意得，設，則，，則由余弦定理得，因為是的平分線，所以，，由二倍角公式得.（2）由（1）知，易得，所以，由余弦定理得，結合誘導公式得，在中，由正弦定理得，因為，所以，，由余弦定理得，因為，所以，由正弦定理得.17.如圖1，在面積為的等腰梯形ABCD中，，點為CD的中點，，，把與分別沿BE，AE折起，使點，重合于點，如圖2.（1）求證：；（2）求直線PE與平面PAB所成角的正弦值.（1）證明：在面積為的等腰梯形ABCD中，因為，，設梯形ABCD的高為，則，所以，則，所以是正三角形，.在三棱錐中，，，取AB的中點，連接PF，EF，則，，因為，PF，平面PEF，所以平面PEF，因為平面PEF，所以.法二：在面積為的等腰梯形ABCD中，因為，，設梯形ABCD的高為，則，所以，則，所以是正三角形，.延長EA到，使得，延長EB到，使得，連接PM，PN，MN，則四面體EPMN是棱長為2的正四面體.作平面PMN，垂足為，以點為原點，在平面PMN內過點與PM垂直的直線為軸，過點與PM平行的直線為軸，直線OE為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，因為，分別為EM，EN的中點，所以，.，，所以，所以.（2）解：由（1）知，平面，因為平面，所以平面平面，所以點在平面上的射影在PF上，所以是直線與平面所成的角.由（1）知是邊長為1的正三角形，，，在中，，，在中，，所以.所以直線PE與平面PAB所成角的正弦值為.法二：由（1）知，，，設平面PAB的一個法向量，則即令，得，，所以，設直線與平面所成角為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓：經過點，且離心率為.（1）求的方程；（2）若直線與交于點，，且線段的中點為，求的方程；（3）過動點作的兩條切線，切點分別為，，求證：直線過定點，并求出定點的坐標.解：（1）由橢圓經過點，且離心率為，得到，解得，，故的方程為.（2）設，，由題意得，因為線段PQ的中點為，所以，，因為，，兩式相減得，所以，即，解得，即直線的斜率為，故的方程為，即.（3）如圖，設，當時，可設切線的方程為，，將與聯立，得，則，即，且，，所以，，代入，得，將的坐標代入，得.當時，，；當時，，，而滿足.設，同理可得，則點，都在直線上，故直線的方程為，即，由得，故直線恒過定點.19.已知函數是區間上的可導函數，數列滿足，若點與所在直線的斜率存在，且與的圖象在處的切線斜率相等，則稱為的“—和諧數列”.（1）若，，是的“1—和諧數列＂，且，求；（2）若，.①判斷在上的單調性；②若是的“—和諧數列”，且，求證：.解：（1）由題意，得與所在直線的斜率為，，的圖像在處的切線斜率為，所以，，所以，又，所以是首