高級中學名校試題PAGEPAGE1江蘇省連云港市東海縣2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在空間直角坐標系中，點關于平面對稱的點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在空間直角坐標系中，點關于平面對稱點的坐標為．故選：A.2.已知隨機變量服從兩點分布，且，設，那么（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6【答案】D【解析】由題意可知，當時，即，解得，又因為隨機變量服從兩點分布，且，所以.故選：D.3.6件產品中有4件正品，2件次品，從中任取3件檢查，則抽到2件正品的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，從6件產品任取3件，共有種不同的取法；其中抽到的3件產品中，恰有2件正品，有種不同的取法，所以其概率為.故選：B.4.設，且，若能被3整除，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，因為都能被整除，所以要使能被3整除，則需要也能被3整除，且，，所以.故選：C5.若函數有大于零的極值點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】（1）時，，在定義域上單調遞增，不滿足題意；（2）時，令得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以，當時，取得極小值，由題知，解得.綜上，實數的取值范圍為.故選：C6.已知平行六面體中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為所以，.故選：B.7.現有5名男生（含1名班長）、2名女生站成一排合影留念，要求班長必須站中間，他的兩側均為兩男1女，則總的站排方法共有（）A.216 B.432 C.864 D.1728【答案】B【解析】班長站在中間，有1個方法，先選2男生1女生排在班長左側，有個方法，將余下的3人排在班長右側，有個方法，則符合要求的方法總數為.故選：B8.設是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，又，所以，所以，所以故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，為正整數，且，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A：，所以，故A正確；對于B：，所以，則，故B錯誤；對于C：，所以，故C錯誤；對于D：，所以，故D正確.故選：AD.10.甲盒中有3個紅球，2個白球；乙盒中有2個紅球，3個白球.先從甲盒中隨機取出一個球放入乙盒，事件A表示“從甲盒中取出的是紅球”，事件B表示“從甲盒中取出的是白球”；再從乙盒中隨機取出一球，事件C表示“從乙盒中取出的是紅球”，則下列結論正確的是（）A.事件A與事件B是互斥事件 B.事件A與事件C是獨立事件C. D.【答案】ACD【解析】因為事件“從甲盒中取出的是紅球”與事件“從甲盒中取出的是白球”不可能同時發生，所以事件與事件B是互斥事件，選項A正確，因為甲盒中有3個紅球，2個白球，所以，，若甲中拿出的是紅球，則乙中有3個紅球，3個白球，若甲中拿出的是白球，則乙中有2個紅球，4個白球，所以，，，故選項D正確，因為，所以事件A與事件C不是獨立事件，故選項B錯誤；因為，故選項C正確；故選：ACD.11.棱長為2的正方體中，、分別為棱、的中點，為面對角線上一個動點，則（）A.三棱錐的體積為定值B.面C.平面平面D.當運動到點時，三棱錐的外接球的體積為【答案】ABD【解析】對于A，因為平面,平面∥平面，所以到平面的距離等于，所以為定值，故A正確；對于B，以D為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，由題意可知，，則，設平面法向量為，則，可取，所以，且面，所以面，故B正確；對于C，由題，所以，,，設平面的法向量為，平面的法向量為，所以，即，，令，則，，所以，所以平面與平面不垂直，故C錯誤；對于D，當運動到點時，三棱錐即為三棱錐，取線段的中點，連接，由題意可知，根據幾何體特征補成長方體，為該長方體的體對角線，則外接球的球心在線段的中點，,所以，所以外接球的體積為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋擲一顆質地均勻的骰子，設表示擲出的點數，則______.【答案】【解析】由已知隨機變量X的取值有1,2,3,4,5,6，，，，，，，∴隨機變量X的分布列為：X123456P∴隨機變量X的期望，∴.故答案為：.13.在平面直角坐標系中，已知是圓上的一點，是圓上的兩點，則的最大值為______.【答案】【解析】圓圓心為，半徑，圓圓心為，半徑，因為是圓上的一點，，是圓上的兩點，可知點到點的距離最短，并且、與圓相切（、為切點）時，取得最大值，此時點在線段與圓的交點，又，所以，則，所以，所以的最大值為．故答案為：．14.在棱長為的正四面體中，點為平面內的動點，且滿足，則直線與直線的所成角的余弦值的取值范圍為______.【答案】【解析】記在底面內的投影為，則底面，又、平面，故、，則，，又，則，所以的軌跡是以為圓心半徑為的圓，建立如下圖所示的空間直角坐標系：設，，，所以，所以，設直線與直線的所成角為，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在棱長為2的正方體中，點是的中點.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）以點原點，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，所以，因為，所以.（2）由（1）得，設平面的一個法向量為，由，即，取，則，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.16.已知.（1）當時，記的展開式中的系數為，求的值（2）當的展開式中含項的系數為12，求展開式中含項的系數最小時的值.解：（1）由題意.，，所以；（2）由已知，，所以的系數為，易知時，取得最小值.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點在上，且.（1）證明：平面；（2）當二面角的余弦值為時，求點到直線的距離.解：（1）連結，交于點，連結，因，所以，又，所以，所以，因為面，面，所以平面.（2）以為原點，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設，，則，，，，則，，設平面的法向量為，則，即，令，可取，平面的法向量可取，所以，得，因為，與同向的單位向量，所以點到直線的距離為.18.某小組為調查高二學生在寒假名著閱讀情況，隨機抽取了20名男生和20名女生，得到如下閱讀時長（單位：小時）的數據：男生：38，26，37，23，28，38，12，25，44，39，33，27，10，35，41，27，38，11，46，29；女生：42，31，28，37，33，29，51，38，39，36，22，39，33，46，31，17，34，45，30，49.（1）在抽取的40名高二學生中，閱讀時長超過45小時的為“閱讀能手”，時長低于15小時的為“閱讀后進者”.為了培養“閱讀后進者”的閱讀興趣，現從“閱讀能手”中挑選幾人，對“閱讀后進者”進行一對一指導.求閱讀時長最短的同學被閱讀時長最長的同學指導的概率；（2）時長超過30小時的為“閱讀愛好者”，用頻率估計概率.現從高二學生中隨機抽取兩位男生、兩位女生交流心得，其中“閱讀愛好者”有人，求的分布列和數學期望.解：（1）由數據分析知“閱讀能手”有4人，“閱讀后進者”有3人，我們把閱讀時長為51、49、46、46小時的同學分別記為A、B、C、D；把閱讀時長為10、11、12小時的同學分別記為甲、乙、丙.那么問題即為：從4名“閱讀能手”中隨機選3人一對一指導甲乙丙，求甲被A指導的概率.從4名“閱讀能手”中隨機選3人一對一指導甲乙丙，則共有種情況.記“甲被A指導”為事件E，若甲被A指導，那么只需從BCD中隨機選2人指導乙丙，則共有種情況.則.即閱讀時長最短的同學被閱讀時長最長的同學指導的概率為.（2）由題意可知，隨機抽取一名男生為“閱讀愛好者”的概率為，隨機抽取一名女生為“閱讀愛好者”的概率為.記隨機抽取的兩名男生和兩名女生中“閱讀愛好者”分別有人，則~，~，.于是有的所有可能取值為0，1，2，3，4.從而；=；=；=；的分布列為：01234.19.已知數列的前項和為，且滿足：，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和；（3）設數列的通項公式為，