高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1湖南省張家界市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.5 B.5.5 C.6 D.7【答案】A【解析】將從小到大排列為：，這9個(gè)數(shù)的中位數(shù)為5.故選：A.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由不等式，得，解得，所以，又，所以，故選：D.3.已知圓柱的軸截面為正方形，表面積為，則其體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知可設(shè)圓柱底面半徑為，由圓柱的軸截面為正方形可知圓柱的高，所以圓柱的表面積，所以，則體積，故選：A.4.已知函數(shù)，則“在上單調(diào)遞增”的充要條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】“在上單調(diào)遞增”當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)，換言之，“在上單調(diào)遞增”的充要條件是.故選：B.5.在中，，為線段的中點(diǎn)，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，則，又為線段的中點(diǎn)，所以，所以，即，，所以，故選：C.6.已知在中，，，且的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知的面積，則，又，且，所以，，由余弦定理可得，即，故選：D.7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，又，且，所以，又，所以，故選：B.8.若當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，畫出在的圖象，也畫出的草圖，函數(shù)與的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn)，則將的第4個(gè)，第5個(gè)與x軸交點(diǎn)向處移動(dòng)即可.滿足，解得．故選：C．二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限D(zhuǎn).是純虛數(shù)【答案】BCD【解析】由，得，設(shè)，則，所以，所以，解得，即，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；則，B選項(xiàng)正確；且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，在第四象限，C選項(xiàng)正確；為純虛數(shù)，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值與最小值之差為1B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，則是偶函數(shù)【答案】AD【解析】.則函數(shù),，之差為，則A正確．，則區(qū)間上有增有減，則B錯(cuò)誤.將代入解析式得，，則不是對(duì)稱中心，則C錯(cuò)誤.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到.則,則是偶函數(shù)，則D正確.故選：AD11.已知三棱柱的底面是正三角形，是棱的中點(diǎn)，，，，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，則（）A.平面B.C.該三棱柱的外接球的體積為D.三棱錐的體積恒為【答案】ABD【解析】如圖所示，由已知三棱柱的底面是正三角形，，且是棱的中點(diǎn)，則，又，，，，又，且，平面，平面，故A選項(xiàng)正確；又平面，所以，又由正三角形可知，，，平面,則平面，又平面，所以，B選項(xiàng)正確；所以該三棱柱為正三棱柱，則其外接球球心為中點(diǎn)，又，則，，所以，外接球體積，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；又正三棱柱可知平面，即平面，所以到平面的距離，且，所以三棱錐體積，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非零向量，，若，則實(shí)數(shù)__________.【答案】【解析】由已知，，則，又，所以，又，即所以，故答案為：.13.袋子中裝有6個(gè)質(zhì)地?大小均相同的球，其中有3個(gè)紅球?2個(gè)綠球和1個(gè)藍(lán)球，若從袋子中隨機(jī)一次取出2個(gè)球，則取出的2個(gè)球顏色不同的概率為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)3個(gè)紅球分別為：，2個(gè)綠球分別為：，一個(gè)藍(lán)球?yàn)椋海瑒t從袋子中隨機(jī)一次取出2個(gè)球，樣本空間為：，共15個(gè)基本事件；事件“取出的2個(gè)球顏色不同”包含的基本事件有：，共11個(gè)基本事件；故所求概率為：.故答案為：.14.記為，，中最小的數(shù).已知，且，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)t=min{y-x,z-y,1-z},則t≤y-x,即2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z,三式累加可得：4t≤1+(y-2x)≤1,所以t≤.取顯然滿足且此時(shí)t=，所以，故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.甲?乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，每人要射擊十次，他們前九次射擊擊中的環(huán)數(shù)如下表所示：甲擊中的環(huán)數(shù)乙擊中的環(huán)數(shù)（1）求甲前九次射擊擊中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差；（2）用甲?乙前九次射擊擊中環(huán)數(shù)的頻率分布估計(jì)各自第十次射擊擊中環(huán)數(shù)的概率分布，且甲?乙每次射擊相互獨(dú)立，求甲?乙兩人十次射擊擊中的環(huán)數(shù)之和相等的概率.解：（1）由已知，；（2）由已知估計(jì)得甲第十次射擊擊中環(huán)數(shù)可能為，，，，且概率分別為，，，；乙第十次射擊擊中環(huán)數(shù)可能為，，，，且概率分別為，，，；又甲前九次擊中總環(huán)數(shù)為環(huán)，乙前九次擊中總環(huán)數(shù)為環(huán)，所以若甲?乙兩人十次射擊擊中的環(huán)數(shù)之和相等，則第十次射擊甲擊中的環(huán)數(shù)需比乙少環(huán)，概率.16.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則，即，即又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，所以，故，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得，所以，則.17.如圖，在三棱錐中，和均為等腰直角三角形，為棱的中點(diǎn)，且．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值．解：（1）設(shè)，因?yàn)楹途鶠榈妊苯侨切危遥傻?如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，又因?yàn)椋裕驗(yàn)闉榈妊苯侨切危郧遥允嵌娼堑钠矫娼牵钟桑裕裕云矫嫫矫?（2）由（1）知兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，又由平面的一個(gè)法向量為，可得，設(shè)二面角的平面角的大小為，即，所以，即二面角的正弦值為.18.已知橢圓的離心率為，左?右頂點(diǎn)分別為，，且過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）若，為上與點(diǎn)，均不重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線，的斜率分別為和.（i）若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），判斷直線和的位置關(guān)系；（ii）證明：直線經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn).解：（1）由已知設(shè)橢圓方程為，又橢圓離心率為，即，所以橢圓方程為，又橢圓過(guò)點(diǎn)，所以，則，，所以橢圓方程為；（2）（i）設(shè)，則，又，，因?yàn)椋裕矗獾茫瑒t，即，，所以，即直線和垂直；（ii）由橢圓的對(duì)稱性可知當(dāng)時(shí)，，不成立，所以直線與軸不平行，設(shè)，且，，聯(lián)立直線與橢圓，得，，則，，又，即，即，即，化簡(jiǎn)可得，則或，又當(dāng)時(shí)，，，又因?yàn)橹本€不過(guò)點(diǎn)，所以,所以，無(wú)解，綜上所述，，直線方程為，所以恒過(guò)軸上定點(diǎn).19.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若的極大值為，求的取值范圍；（3）若，證明：當(dāng)時(shí)，.解：（1）我們有.當(dāng)時(shí)，.所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，從而切線方程是.（2）若，則對(duì)有，對(duì)有.從而在上遞增，在上遞減，故的極大值為，滿足條件；若，則對(duì)有，對(duì)有.從而在和上遞增，在上遞減，故的極大值為，