第01講不等式的性質和解集【題型1不等式的定義】【題型2在數軸上表示不等式的解集】【題型3不等式的性質】【題型4不等式的解集】考點1：不等式的定義（1）不等式：用不等號表示不相等關系的式子，叫做不等式，例如：等都是不等式．（2）常見的不等號有５種：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．【題型1不等式的定義】【典例1】（2022秋?澧縣期末）在下列數學表達式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解答】解：不等式是指不等號來連接不等關系的式子，如＜，＞，≠，所以不等式有：①②⑤⑥，等式有：③．故選：C．【變式1-1】（2023春?長順縣期末）“x為正數”的表達式是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x≥0 D．x≤0【答案】B【解答】解：∵正數是指大于0的數，∴x是正數，即x＞0，故選：B．【變式1-2】（2023春?霸州市期末）某品牌純牛奶的包裝盒上標有“凈含量500毫升”“每百毫升中含有原生高鈣≥120毫克”，那么這樣的一盒純牛奶中原生高鈣的含量是（）A．600毫克 B．700毫克 C．最多600毫克 D．至少600毫克【答案】D【解答】解：∵每百毫升中含有原生高鈣≥120毫克，∴500毫升中含有原生高鈣≥120×5＝600毫克，∴這樣的一盒純牛奶中原生高鈣的含量是至少600毫克．故選：D．【變式1-3】（2023春?羅湖區期末）交通法規人人遵守，文明城市處處安全．在通過橋洞時，我們往往會看到如圖所示的標志，這是限制車高的標志，則通過該橋洞的車高x（m）的范圍可表示為（）A．x≥4.5 B．x＞4.5 C．x≤4.5 D．0＜x≤4.5【答案】D【解答】解：由題意可得，0＜x≤4.5．故選：D．【變式1-4】（2023春?武侯區校級期末）下面給出了5個式子：①3＞0，②4x+3y＞0，③x＝3，④x﹣1，⑤x+2≤3，其中不等式有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【解答】解：根據不等式的定義，只要有不等符號的式子就是不等式，所以①②⑤為不等式，共有3個．故選：B．考點2：不等式的解集不等式的解集①概念：一般地，一個含有未知數的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集，求不等式的解集的過程叫做解不等式。②用數軸表示不等式解集解集x>?4在數軸上表示為解集x≥?4在數軸上表示為解集x<4在數軸上表示為解集x≤在數軸上表示為【題型2在數軸上表示不等式的解集】【典例2】（2022秋?安順期末）如圖，該數軸表示的不等式的解集為（）A．x＞﹣2 B．x≤3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2≤x＜3【答案】D【解答】解：根據數軸可知﹣2≤x＜3，∴不等式的解集為﹣2≤x＜3，故選：D．【變式2-1】（2023秋?溫州期中）不等式x≤1的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：不等式x≤1的解集在數軸上表示正確的是：故選：B．【變式2-3】（2023秋?蒼南縣期中）在數軸上表示不等式﹣1≤x＜3，正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵﹣1≤x＜3，∴在數軸上表示為：故選：D．【變式2-4】（2023春?商南縣校級期末）設“〇”□”△”分別代表三種不同的物體，用天平比較它們質量的大小，兩次情況如圖所示，若每個“△”的質量為1，則每個“〇”的質量的取值范圍在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：設“〇”的質量為x，“□”的質量為y，根據圖可知，1+y＝4×1，解得y＝3，2x＞x+y，即2x＞3+x，解得：x＞3，則每個“〇”的質量的取值范圍在數軸上表示正確的為圖D．故選：D．考點2：不等式的基本性質基本性質１：不等式兩邊都加上(或減去)同一個數(或式子)，不等號方向不變．如果，那么如果，那么基本性質２：不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數，不等號的方向不變．如果，并且，那么(或)如果，并且，那么(或)基本性質３：不等式兩邊都乘以(或除以)同一個負數，不等號的方向改變．如果，并且，那么(或)如果，并且，那么(或)不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．不等式的傳遞性：如果，，那么．易錯點：①不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變．②在計算的時候符號方向容易忘記改變．【題型3不等式的性質】【典例3】（2023秋?東陽市期末）如果a＜b，那么下列各式中正確的是（）A．a﹣1＞b﹣1 B．＜ C．﹣a＜﹣b D．﹣a+5＜﹣b+5【答案】B【解答】解：A．∵a＜b，∴a﹣1＜b﹣1，故本選項不符合題意；B．∵a＜b，∴＜，故本選項符合題意；C．∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，故本選項不符合題意；D．∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴﹣a+5＞﹣b+5，故本選項不符合題意；故選：B．【變式3-1】（2023?朝陽區校級一模）如果a＞b，那么下列各式中正確的是（）A． B．3a＜3b C．﹣a＞﹣b D．a+1＞b+1【答案】D【解答】解：A．a＞b，則＞，所以A選項不符合題意；B．a＞b，則3a＞3b，所以B選項不符合題意；C．a＞b，則﹣a＜﹣b，所以C選項不符合題意；D．a＞b，則a+1＞b+1，所以D選項符合題意．故選：D．【變式3-2】（2022秋?西湖區期末）若x+a＞y+a，ax＜ay，則（）A．x＞y，a＜0 B．x＜y，a＜0 C．x＞y，a＞0 D．x＜y，a＞0【答案】A【解答】解：∵x+a＞y+a，∴由不等式的性質1，得x＞y，∵ax＜ay，∴a＜0．故選：A．【變式3-3】（2022秋?蒸湘區校級期末）已知a＜b，則下列式子一定成立的是（）A．a﹣3＞b﹣3 B．ac＜bc C． D．3﹣2a＜3﹣2b【答案】C【解答】解：A、不等式兩邊同時減去3，不等號方向不變，即a﹣3＜b﹣3，故這個選項不符合題意；B、當c＜0時，ac＞bc，故這個選項不符合題意；C、不等式兩邊同時乘以，不等號方向不變，式子成立，故這個選項符合題意；D、不等式兩邊同時除以負數﹣2，不等號方向改變，即﹣2a＞﹣2b；不等式兩邊同時加上3，不等號方向不變，即3﹣2a＞3﹣2b，故這個選項不符合題意．故選：C．【題型4不等式的解集】【典例4】（2023?四平模擬）如果關于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集為x＜1，則a的取值范圍是（）A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1【答案】B【解答】解：由題意，得a+1＜0，解得a＜﹣1，故選：B．【變式4-1】（2023?大安市校級模擬）下列數值中是不等式x＜﹣2的解的是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0【答案】A【解答】解：不等式x＜﹣2的整數解有﹣3、﹣4、﹣5、﹣6、……故選：A．【變式4-2】（2023?麗水模擬）如果（m+3）x＞2m+6的解集為x＜2，則m的取值范圍是（）A．m＜0 B．m＜﹣3 C．m＞﹣3 D．m是任意實數【答案】B【解答】解：由不等式（m+3）x＞2m+6，得（m+3）x＞2（m+3），∵（m+3）x＞2m+6的解集為x＜2，∴m+3＜0，解得，m＜﹣3；故選：B．【變式4-3】（2023春?達川區校級期末）已知關于x的不等式（2﹣a）x＞1的解集是x＜；則a的取值范圍是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＜2 D．a＞2【答案】D【解答】解：∵關于x的不等式（2﹣a）x＞1的解集是x＜，∴2﹣a＜0，解得：a＞2．故選：D．一．選擇題（共9小題）1．（2024春?鄭州月考）下列數學式子：①﹣3＜0；②2x+3y≥0；③x＝1；④x2﹣2xy+y2；⑤x+1≠3；其中是不等式的有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】C【解答】解：①﹣3＜0，是不等式，符合題意；②2x+3y≥0，是不等式，符合題意；③x＝1，是等式，不符合題意；④x2﹣2xy+y2，是多項式，不符合題意；⑤x+1≠3，是不等式，符合題意；綜上：是不等式的有①②⑤，共3個．故選：C．2．（2023春?清江浦區校級期中）某飲料標簽上標有“脂肪含量≤0.8%”，那么100克該飲料中最多含有脂肪多少克？（）A．0克 B．2克 C．1.6克 D．0.8克【答案】D【解答】解：由題意可得：100克該飲料中最多含有脂肪100×0.8%＝0.8（克），故選：D．3．（2023春?金平區期末）5月某日，我市最高氣溫是32℃，最低氣溫是24℃，則當天氣溫t（℃）的變化范圍是（）A．t≥24 B．t＜32 C．24＜t＜32 D．24≤t≤32【答案】D【解答】解：∵5月某日，我市最高氣溫是32℃，最低氣溫是24℃，∴當天氣溫t（℃）的變化范圍是24≤t≤32，故選：D．4．（2024春?三水區期中）下面各數中，是不等式x≥﹣3的解的是（）A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3【答案】D【解答】解：在﹣6，﹣5，﹣4，﹣3中，只有﹣3≥﹣3．故選：D．5．（2024?隨州模擬）如圖，該數軸表示的不等式的解集為（）A．x＞﹣2 B．x≤3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2≤x＜3【答案】D【解答】解：根據數軸可知﹣2≤x＜3，∴不等式的解集為﹣2≤x＜3，故選：D．6．（2024春?惠來縣期中）不等式的解集在數軸上表示為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：原不等式的解集為：x＞3，因此數軸上應為不包含2向右的部分與包含3向右的部分的公共部分．故選：C．7．（2024春?碭山縣月考）不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，則a的取值范圍是（）A．a＜0 B．a＜ C．a＜﹣ D．a＞﹣【答案】B【解答】解：∵不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，∴不等式變號，∴2a﹣1＜0，∴a＜．故選：B．8．（2024?廣東模擬）已知a＞b，下列不等式一定成立的是（）A．a+1＜b+1 B． C．﹣3a＞﹣3b D．a﹣c＜b﹣c【答案】B【解答】解：A、a＞b，則a+1＞b+1，故A不符合題意；B、a＞b，則＞，故B符合題意；C、a＞b，則﹣3a＜﹣3b，故C不符合題意；D、a＞b，則a﹣c＞b﹣c，故D不符合題意．故選：B．9．（2023春?長葛市期末）如圖，天平右盤中的每個砝碼的質量都是1克，則物體A的質量m（克）的取值范圍，在數軸上可表示為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由圖示得A＞1，A＜2，即1＜A＜2，在數軸上可表示為故選：B．二．填空題（共6小題）10．（2024春?鼓樓區校級期中）不等式組的解集是x＞3．【答案】x＞3．【解答】解：不等式組的解集是x＞3．故答案為：x＞3．11．（2024春?南安市期中）若a＞b，則a﹣b＞0（填“＞”“＝”或“＜”）．【答案】＞．【解答】解：∵a＞b，∴a﹣b＞b﹣b，即a﹣b＞0．故答案為：＞．12．（2023春?八步區期中）賀州市4月某天最低氣溫為10℃，最高氣溫為22℃，設這天某一時刻的氣溫為t℃，則t應滿足的數量關系是10≤t≤22．【答案】10≤t≤22．【解答】解：由題意得，則t應滿足的數量關系是10≤t≤22，故答案為：10≤t≤22．13．（2023春?龍口市期末）某個關于x的不等式的解集在數軸上的表示如圖所示，這個不等式的解集是x≥﹣2．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵﹣2處是實心圓點，且折線向右，∴x≥﹣2．故答案為：x≥﹣2．14．（2023春?深圳期中）當x時，代數式的值是非負數．【答案】≥．【解答】解：∵≥0，∴2x﹣3≥0，∴x≥．故答案為：≥．15．（2023春?南通期末）若關于x的不等式組無解，則m的取值范圍是m≥2．【答案】m≥2．【解答】解：關于x的不等式組無解，也就是兩個不等式解集沒有公共部分，即x≤2，x＞m沒有公共部分，∴m≥2，故答案為：m≥2．三．解答題（共2小題）16．（2023春?靖西市期中）由不等式（a﹣1）x＞2（a﹣1）得到x＜2，試化簡|a﹣1|+|2﹣a|．【答案】3﹣2a．【解答】解：由不等式（a﹣1）x＞2（a﹣1）得到x＜2，∴a﹣1＜0，即a＜1，∴|a﹣1|+|2﹣a|＝1﹣a+2﹣a＝