2023-2024學年五年級數學下冊典型例題系列第三單元：長方體和正方體的表面積增減變化問題“一般型”一、填空題。1．把兩個長、寬、高分別是10厘米、8厘米、2厘米的相同長方體拼成一個大長方體，這個大長方體的表面積最少是()平方厘米。【答案】304【分析】根據長方體表面積的意義，把兩個完全一樣的小長方體拼成一個大長方體，要使表面積最小也就是把兩個小長方體的最大面重合在一起，拼成一個長10厘米，寬8厘米，高（2×2）厘米的長方體，根據長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把數據代入公式解答。【詳解】2×2＝4（厘米）（10×8＋10×4＋8×4）×2＝（80＋40＋32）×2＝152×2＝304（平方厘米）則這個大長方體的表面積最少是304平方厘米。2．將一個表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個長方體，再將這兩個長方體拼成一個大長方體，那么這個大長方體的表面積是()平方厘米?！敬鸢浮?5【分析】如圖：，將一個正方體等分成兩個長方體后，表面積增加了兩個正方體的面的面積，再拼成一個大長方體后，減少的是一個面的面積，大長方體的表面積等于原來正方體的表面積加上正方體一個面的面積；據此作答?！驹斀狻?0÷6＋30＝5＋30＝35（平方厘米）將一個表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個長方體，再將這兩個長方體拼成一個大長方體，那么這個大長方體的表面積是35平方厘米。3．一個長方體，左右兩個面都是正方形，它的表面積是100平方厘米，能切成2個一樣大小的正方體，每個正方體的表面積是()平方厘米。【答案】60【分析】根據題意可知，長方體切成2個一樣大小的正方體，則長方體的長是寬2倍，也是高的2倍，設長方體的左面正方形的面積是x平方厘米；左右相等，右邊正方形面積也是x平方厘米；則其余四個面中一個面的面積是2x平方厘米，四個面積是（4×2x）平方厘米，這個長方體的表面積是100平方厘米，列方程：2x＋4×2x＝100，解方程，求出左面的面積，再乘6，即可求出正方體的表面積，據此解答。【詳解】解：設長方體左面的面積是x平方厘米。2x＋4×2x＝1002x＋8x＝10010x＝100x＝100÷10x＝1010×6＝60（平方厘米）一個長方體，左右兩個面都是正方形，它的表面積是100平方厘米，能切成2個一樣大小的正方體，每個正方體的表面積是60平方厘米。4．兩個完全一樣的正方體拼成一個長方體后，其表面積與原來兩個正方體表面積之和相比()?！敬鸢浮繙p少了【分析】一個正方體有六個面，兩個有12個面，拼成長方體后少了兩個面，還剩10個面，據此解答?！驹斀狻恳驗槠闯砷L方體后少了2個面，所以拼成的長方體的表面積比原來兩個正方體的表面積之和減少了。5．一個正方體切成兩個長方體，表面積增加了8平方厘米，原正方體的表面積是()平方厘米。【答案】24【分析】把一個正方體切成兩個長方體，表面積比原來增加了2個正方形的面積，即8平方厘米，據此求出正方體一個面的面積，再根據正方體的表面積公式：S＝6a2，據此計算即可。【詳解】8÷2＝4（平方厘米）4×6＝24（平方厘米）則原正方體的表面積是24平方厘米。【點睛】本題考查正方體的表面積，求出正方體一個面的面積是解題的關鍵。6．小強用軟土做了一個長、寬、高分別是14厘米、12厘米、10厘米的長方體，他想切一刀把這個長方體分割成兩個相同的長方體，有()種不同的分法。要使切成的兩個長方體表面積之和最小，那么這兩個小長方體的表面積之和比原長方體表面積增加了()平方厘米。

【答案】3240【分析】根據題意可知，長方體可以沿著長和寬的面切割，也可以沿著長和高的面切割，也可以沿著寬和高的面切割，一共有3種切法；要使切成的兩個長方體表面積之和最小，就看哪種方法切割增加的面積最少；如果沿著長和寬的面切割，則表面積增加2個（14×12）平方厘米，如果沿著寬和高的面切割，則表面積減少2個（12×10）平方厘米，如果沿著長和高的面切割，則表面積減少2個（14×10）平方厘米，再比較每種方法增加的面積，找出增加最少的面積即可?！驹斀狻?4×12×2＝336（平方厘米）12×10×2＝240（平方厘米）14×10×2＝280（平方厘米）336＞280＞240把這個長方體分割成兩個相同的長方體，有3種不同的分法。要使切成的兩個長方體表面積之和最小，那么這兩個小長方體的表面積之和比原長方體表面積增加了240平方厘米?！军c睛】本題考查了長方體的切割，明確增加了哪些面是解答本題的關鍵。7．把一個長是20厘米，寬和高都是5厘米的長方體切成幾個相同的最大的正方體，表面積之和比原來增加了()平方厘米?！敬鸢浮?50【分析】求出長寬高的最大公因數，是切成的最大正方體的棱長，每切一次，增加2個面，據此分析增加的面的數量，求出增加的一個面的面積，乘增加的面的數量即可?！驹斀狻堪岩粋€長是20厘米，寬和高都是5厘米的長方體切成幾個相同的最大的正方體，正方體棱長5厘米，如下圖：5×5×6＝150（平方厘米）表面積之和比原來增加了150平方厘米。【點睛】關鍵是理解最大公因數的意義，將立體圖形切開，因為面數目增加，所以表面積增加。8．一根2米長的方鋼，把它橫截成2段，此時表面積增加60平方厘米，原來的方鋼體積是()?！敬鸢浮?000立方厘米/600cm3【分析】截成2段增加2個截面的面積，則一個截面的面積＝60÷2＝30平方厘米，長方體的體積＝截面積×長，據此計算。【詳解】2米＝200厘米60÷2＝30（平方厘米）200×30＝6000（立方厘米）原來方鋼的體積是6000立方厘米?！军c睛】此題主要考查長方體體積的求法以及立體圖形的切拼，要注意切成兩段會增加兩個切面的面積。9．一個棱長是4分米的正方體，把它鋸成3個相等的長方體，表面積增加了()平方分米?！敬鸢浮?4【分析】把一個正方體鋸成3個相等的長方體需要鋸2次，鋸1次增加2個正方形的面積，鋸2次增加4個正方形的面積，據此解答?！驹斀狻浚?－1）×2＝2×2＝4（個）4×4×4＝16×4＝64（平方分米）所以，表面積增加了64平方分米?！军c睛】本題主要考查立體圖形的切拼，明確增加切面的數量是解答題目的關鍵。10．用棱長4cm的三個正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是()cm2，比原來三個正方體的表面積之和減少了()cm2?！敬鸢浮?2464【分析】拼成的長方體長是12cm，寬和高均是4cm。長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，正方體表面積＝棱長×棱長×6，據此列式求出這個長方體的表面積，以及一個正方體的表面積。將正方體的表面積乘3，再減去長方體表面積，求出表面積減少了多少。【詳解】4×3＝12（cm）（12×4＋12×4＋4×4）×2＝（48＋48＋16）×2＝112×2＝224（cm2）4×4×6＝96（cm2）96×3－224＝288－224＝64（cm2）所以，這個長方體的表面積是224cm2，比原來三個正方體的表面積之和減少了64cm2。【點睛】本題考查了長方體和正方體的表面積，熟記公式是解題的關鍵。二、解答題11．把兩個棱長為1.5分米的正方體木塊拼成一個長方體。這個長方體的體積、表面積分別是多少？如果是用3個正方體木塊拼呢？【答案】體積是6.75立方分米，表面積是22.5平方分米；體積是10.125立方分米，表面積是31.5平方分米?！痉治觥績蓚€正方體拼成一個長方體，表面積和原來的總面積相比，減少2個正方形的面；體積等于原來的體積之和；三個正方體拼成一個長方體，表面積和原來的總面積相比，減少4個正方形的面；體積等于原來的體積之和；根據正方體的表面積＝棱長×棱長×6，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，求解即可?！驹斀狻勘砻娣e：1.5×1.5×6×2＝2.25×6×2＝13.5×2＝27（平方分米）1.5×1.5×2＝2.25×2＝4.5（平方分米）27－4.5＝22.5（平方分米）體積：1.5×1.5×1.5×2＝2.25×1.5×2＝3.375×2＝6.75（立方分米）表面積：1.5×1.5×6×3＝2.25×6×3＝13.5×3＝40.5（平方分米）1.5×1.5×4＝2.25×4＝9（平方分米）40.5－9＝31.5（平方分米）體積：1.5×1.5×1.5×3＝2.25×1.5×3＝3.375×3＝10.125（立方分米）答：這個長方體的體積是6.75立方分米，表面積是22.5平方分米；如果是用3個正方體，則體積是10.125立方分米，表面積是31.5平方分米。12．如何把下面這個長方體木塊分成兩個棱長為4厘米的正方體？這兩個正方體的表面積之和與原長方體的表面積相等嗎？【答案】見詳解【分析】由于長方體的長是8厘米，是寬和高的2倍，所以把這個長方體豎著切開就分成了兩個棱長為4厘米的正方體，那么會增加中間切開位置的兩個面；也就是各增加了正方體的1個面；據此解答?！驹斀狻坑煞治隹傻茫喊堰@個長方體豎著切開就分成了兩個棱長為4厘米的正方體；兩個正方體的表面積之和與這個長方體的表面積不相等，因為兩個正方體的表面積之和比原來長方體的表面積增加了兩個截面的面積。13．一個長方體如果高減少一部分，就變成了一個棱長為5厘米的正方體，長方體減少的體積為100立方厘米，原來的長方體表面積為多少平方厘米？【答案】230平方厘米【分析】根據題意可知，原來的長方體長和寬都是5厘米，即長方體的底面積是（5×5）＝25平方厘米，再根據體積減少100立方厘米，可以求出高減少了幾厘米，根據長方體體積公式：體積＝底面積×高，高＝體積÷底面積，即（100÷25）＝4厘米，這樣就可以求出原來的高（5＋4）厘米，再根據長方體的表面積公式：表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，代入數據，即可解答?！驹斀狻?00÷（5×5）＋5＝100÷25＋5＝4＋5＝9（厘米）（5×5＋5×9＋5×9）×2＝（25＋45＋45）×2＝（70＋45）×2＝115×2＝230（平方厘米）答：原來的長方體的表面積是230平方厘米。14．把兩個長方體搭成一個大長方體，計算搭成大長方體的最大表面積。（單位：厘米）【答案】352平方厘米【分析】根據題意，把兩個一樣的長方體搭成一個大長方體時，會減少兩個相同的長方形的面積；因為4×4＜10×4，所以把兩個長方體的4×4的兩個面重合，這樣減少的表面積最少，搭成的大長方體的表面積就最大。搭成一個長（10＋10）厘米、寬4厘米、高4厘米的大長方體，根據長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，代入數據計算即可求解?！驹斀狻咳鐖D：長：10＋10＝20（厘米）（20×4＋20×4＋4×4）×2＝（80＋80＋16）×2＝176×2＝352（平方厘米）答：搭成大長方體的最大表面積是352平方厘米?！军c睛】本題考查長方體表面積公式的運用，明確用兩個長方體搭成一個大長方體，讓兩個長方體中面積最小的兩個面重合，搭成的大長方體表面積最大。15．用6塊如圖所示（長3cm，寬2cm，高1cm）的長方體木塊拼成一個大長方體，有多種拼法，其中表面積最小的是多少平方厘米？

【答案】66平方厘米【分析】根據題意，要使拼成的長方體表面積最小，則6個小長方體接觸的面積最多，且重疊面的面積盡可能大。據此解答即可?！驹斀狻扛鶕治?，表面積最小時，長方體的拼法如下圖：

此時，拼成的大長方體長3厘米，寬（2＋2）厘米，高（1＋1＋1）厘米。2＋2＝4（厘米）1＋1＋1＝3（厘米）表面積為：（3×4＋3×3＋4×4）×2＝（12＋9＋12）×2＝33×2＝66（平方厘米）答：表面積最小的是66平方厘米。【點睛】本題考查長方體的表面積，解題關鍵在于構造新長方體的擺放方式。16．如圖，把一個長、寬、高分別為12厘米、7厘米、9厘米的長方體木塊沿著一個方向鋸開，能夠得到兩個小一些的長方體木塊。怎樣鋸才能使得到的兩個小長方體木塊的表面積之和最小？請在圖中畫一畫，并求出鋸開后的兩個小長方體木塊的表面積之和。【答案】圖見詳解；636平方厘米【分析】以大長方體的寬和高為鋸開面的長和寬，增加的表面積最小。據此，先求出大長方體的表面積，再加上兩個鋸開面的面積，即可求出鋸開后的兩個小長方體木塊的表面積之和。【詳解】如圖：

（12×9＋12×7＋9×7）×2＋9×7×2＝（108＋84＋63）×2＋126＝255×2＋126＝510＋126＝636（平方厘米）答：鋸開后的兩個小長方體木塊的表面積之和是636平方厘米?！军c睛】本題考查了長方體的表面積，長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2。17．一個正方體，它的高增加2厘米后就成了長方體，這個長方體的表面積比原正方體表面積增加了96平方厘米，求原正方體的表面積?！敬鸢浮?64平方厘米【分析】一個正方體如果它的高增加2厘米，就變成了長方體，表面積比原來增加96平方厘米，它的底面積沒變，增加的是4個側面的面積，增加部分每個面的面積是：96÷4＝24平方厘米，用24除以2就可以求出原來正方體的棱長；再根據：正方體的表面積＝6a2，將數據代入公式計算即可?！驹斀狻?6÷4÷2＝24÷2＝12（厘