2023-2024學年五年級數學下冊典型例題系列第三單元：因數與倍數·核心素養·創新題型專項練習一、填空題。1．在1、2、3、…、n中，其中所有奇數的和是M，所有質數的和是N，所有偶數的和是P，所有合數的和是Q。那么（M＋P）－（N＋Q）＝()?！敬鸢浮?【分析】在這些數中，所有偶數與所有奇數合起來就包含了所有的數；1既不是質數也不是合數，所有質數與所有合數合起來包含了除1以外的所有數；所以可得M＋P＝1＋2＋3＋…＋n，N＋Q＝2＋3＋…＋n，據此解答即可。【詳解】根據分析得，M＋P＝1＋2＋3＋…＋n，N＋Q＝2＋3＋…＋n，所以（M＋P）－（N＋Q）＝（1＋2＋3＋…＋n）－（2＋3＋…＋n）＝1＋（2＋3＋…＋n－2－3－…－n）＝1＋0＝1【點睛】此題主要考查奇數、偶數、質數、合數的定義以及分類標準來解決問題。2．規定一個新運算：對于不小于3的整數n，（n）表示n的因數個數，如5的因數是1和5，所以（5）＝2；再如8的因數是1、2、4和8，所以（8）＝4等等，請你在理解這種新運算的基礎上，求（6）＋（24）＝()?！敬鸢浮?2【分析】由題意可知，（n）表示n的因數個數，求一個數的因數時，就用這個數從1開始去整除，一直除到除數和商交換位置或除數和商相同為止，除數和商都是被除數的因數，重復的因數只寫一個，求出6和24的因數個數，再求出（6）＋（24）的值，據此解答?！驹斀狻?÷1＝66÷2＝36的因數有1，2，3，6，一共4個因數。24÷1＝2424÷2＝1224÷3＝824÷4＝624的因數有1，2，3，4，6，8，12，24，一共8個因數。所以，（6）＋（24）＝4＋8＝12。【點睛】本題主要考查定義新運算，掌握求一個數因數的方法是解答題目的關鍵。3．定義運算“△”：對于兩個自然數a和b，它們的最大公因數與最小公倍數的和記為。例如：。根據上面定義的運算，則()?！敬鸢浮?31【分析】根據題意，求得57和12的最大公因數和最小公倍數，然后把最大公因數和最小公倍數相加即要?！驹斀狻?7＝3×1912＝2×2×357和12的最大公因數是：357和12的最小公倍數是：3×19×2×2＝2283＋228＝231【點睛】解答此題的關鍵是，根據定義的新運算，找出運算方法，列式解答即可。4．A是一個自然數，如果從A中依次減去1，3，5…。若干個連續單數（奇數），直到不夠減時為止，那么還剩下25；如果從A中依次減去2，4，6…。若干個連續雙數（偶數），直到不夠減時為止，那么還剩下9.自然數A等于()?！敬鸢浮?81【解析】每減一個偶數比減一個奇數多減1，對比最后剩下的兩個數25和9，9比25小16，那么減了16個奇數或偶數，然后從1加到第16個奇數，再加上25，得到A?！驹斀狻克宰匀粩礎等于281。【點睛】求解本題的關鍵是找出兩次操作的區別，重點是兩次操作最后得到的數為什么會相差16。5．一個數列有如下規則：當數是奇數時，下一個數是；當數是偶數時，下一個數是。如果這列數的第一個數是奇數，第四個數是，則這列數的第一個數是()。【答案】43【分析】第四個數是11，那么第三數如果是偶數就是22，第三個數如果是奇數是不可能的；同理，用倒推法可以求出第二個數、第一個數?！驹斀狻?1是奇數，那么第三個數只能是偶數；第三數是22，22的前一個數可以是偶數44或奇數21；44的前一個是可以是偶數88或奇數43，而21的前一個只能是偶數42；由于這列數的第一個是奇數，所以只有43滿足；故這列數的第一個數是43?！军c睛】本題考查的是還原問題，也可以把第一個數設為a，然后表示出第四個數，求解出a的值。6．一個運算程序，運算規則如圖，如果輸入23，那么結果是()；如果輸入了一個數，結果是66，那么這個數是()。【答案】53132【分析】23是一個質數，所以運行的算法為；由于只知道結果是66，所以讓和這兩個算式都等于66，再分別計算出A，看A是否符合各自運算程序的條件，即，，8是合數，不符合相對應的運算程序的條件“A是質數”；，，32是合數，符合相對應的運算程序的條件“A是合數”，所以這個數是32。【詳解】232＋2＝23×23＋2＝529＋2＝531解：設這個數為x，由題意得：x2＋2＝66x2＝64x＝88是合數，不符合題意。解：設這個數為y，由題意得：2y＋2＝662y＝64y＝3232是合數，符合題意。【點睛】首先判斷所輸入的數是質數還是合數，然后依照程序的規則計算出結果即可；因為只知道結果為66，并不知道輸入的原數是質數還是合數，故要依據規則列兩個方程，解答后再做判斷。二、選擇題。7．如果“數”、“學”代表不同的質數，且滿足關系式：3×數＋5×學＝31，那么數＋學的結果可能是（

）。A．3 B．5 C．9【答案】C【分析】除了1和它本身以外不再有其他因數，這樣的數叫質數。奇數＋奇數＝偶數，奇數＋偶數＝奇數。因為“數”、“學”代表不同的質數，根據奇偶性，如果質數都是奇數，左邊應該是和為偶數，事實上31是奇數，所以必然有一個質數是偶數，只能是2，所以，顯然有：數＝2，學＝5或者數＝7，學＝2，則和為7或9?！驹斀狻?×2＋5×5＝6＋25＝313×7＋5×2＝21＋10＝312＋5＝77＋2＝9數＋學的結果可能是7或9。故答案為：C8．著名的“哥德巴赫猜想”認為：任何大于2的偶數都可以寫成兩個質數之和。下面的四個算式中，符合“哥德巴赫猜想”的是（

）。A．7＝2＋5 B．6＝1＋5 C．22＝3＋19 D．24＝3＋21【答案】C【分析】在自然數中，是2的倍數的數叫做偶數，一個數只有1和它本身兩個因數，這個數叫做質數。據此解答。【詳解】A．7＝2＋57是奇數，7＝2＋5不符合“哥德巴赫猜想”；B．6＝1＋51既不是質數，也不是合數，6＝1＋5不符合“哥德巴赫猜想”；C．22＝3＋1922是偶數，3和19是質數，所以22＝3＋19符合“哥德巴赫猜想”；D．24＝3＋2121是合數，所以24＝3＋21不符合“哥德巴赫猜想”。故答案為：C【點睛】本題主要考查了奇數、偶數、質數、合數的認識和應用。9．2300年前古希臘數學家歐幾里得證明了素數（也就是質數）有無限多個，提出少量素數可以寫成“2p－1”的形式，這里的p也是一個素數。由于這種素數有許多獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數學家對它進行研究和探索。17世紀法國著名數學家馬林·梅森是其中成果較為卓著的一位，因此后人將“2p－1”型的素數稱為梅森素數。下面4個數中，（

）是梅森素數。（注：2p表示p個2相乘）A．1 B．7 C．15 D．17【答案】B【分析】一個數，如果只有1和它本身兩個因數，那么這樣的數叫做質數；一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，那么這樣的數叫做合數。根據題意，先分析四個選項的數是否是質數，再看質數是否能寫成“2p－1”的形式，且p也是質數，即可找出梅森素數?！驹斀狻緼．1既不是質數也不是合數，不符合梅森素數的特征；B．7是質數，7＝8－1＝23－1，符合梅森素數的特征；C．15是合數，不符合梅森素數的特征；D．17是質數，但17不能寫成“2p－1”的形式，不符合梅森素數的特征。故答案為：B【點睛】本題考查質數的意義以及梅森素數的特征。10．古希臘學者認為：如果一個數恰好等于它的所有因數（本身除外）相加之和，那么這個數就是“完全數”。例如6有4個因數1，2，3，6，除本身6以外，還有1，2，3三個因數。，所以6是“完全數”。下面的數中是“完全數”的是（

）。A．10 B．12 C．16 D．28【答案】D【分析】根據題意可知，把每個選項的因數都寫出來，再相加，看看是否符合“完全數”的規律?！驹斀狻緼．10的因數有：1、10、2、5。1＋2＋5＝810不是“完全數”。B．12的因數有：1、12、2、6、3、41＋2＋3＋4＋6＝1612不是“完全數”。C．16的因數有：1、16、2、8、41＋2＋4＋8＝1516不是“完全數”。D．28的因數有：1、28、2、14、4、71＋2＋4＋7＋14＝2828是“完全數”。故答案為：D【點睛】熟練掌握“完全數”的概念特征，是解決本題的關鍵。11．學校舉行“數學節”活動。其中有個非常有趣的比賽，要求選手們在規定時間內，從最小的質數開始，按從小到大的順序寫質數，中間不允許跳過任何一個質數，最后每人把自己寫出來的質數相乘求積。其中A、B、C、D四名選手經裁判組核定，他們寫的質數都符合比賽要求。以下分別是他們算出的積，然而只有一人計算正確，那么正確的是（

）。A．30035 B．510510 C．1531516 D．9699698【答案】B【分析】一個自然數如果只有1和它本身兩個因數，那么這個自然數叫做質數；從小到大的質數有：2、3、5、7、11、13、17?，因為2×5＝10，所以無論有多少個質數相乘，它的積的個位數字一定是0，再結合選項選擇即可?！驹斀狻坑煞治隹芍褐挥蠦項的結果的個位數字是0，所以510510是正確的。故答案為：B【點睛】本題考查質數，明確質數的定義是解題的關鍵。三、解答題。12．對大于0的自然數n規定一種運算“G”：①當n是奇數時，；②當n是偶數時，等于n連續被2除，直到商是奇數。將k次“G”運算記作，如，，。計算：（1）的值；（2）的值：（3）的值。【答案】（1）；（2）；（3）4【分析】首先正確理解新定義的算式的含義，當n是奇數時，按照3n＋1來計算；當n是偶數時，按照n連續被2除計算，直到商是奇數。然后嚴格按照新定義的計算程序，將數值代入，轉化為常規的四則運算算式進行計算?！驹斀狻浚?）答：的值為6064。（2）答：的值為34。（3）從開始，計算結果是1和4循環，（2021－11）÷2＝2010÷2＝1005，所以。答：的值為4。【點睛】解答定義新運算，關鍵是要正確地理解新定義的算式的含義。13．某手機游戲規則如下：玩家手中有風、火、水、土四種技能，每個技能發動一次都能使敵人血量減少一定的點數。具體效果如下：風技能每次130點，火技能每次170點，水技能每次78點，土技能每次104點，如果每個技能發動的次數都大于1，那么當敵人的血量減少3600點時，火技能發動了多少次？【答案】12次【解析】觀察發現，130、78、104都是13的倍數，設風、火、水、土四種技能用的次數分別是a、b、c、d，可以得到方程，求解這個不定方程即可?！驹斀狻拷猓涸O風、火、水、土四種技能用的次數分別是a、b、c、d；根據余數的性質，130a、78c、104d除以13，余數是0，3600除以13，余數是12，那么要求170b除以13，余數是12；當a＝2，b＝12，c＝6，d＝8時符合要求；答：火技能發動了12次?！军c睛】本題考查的是不定方程，求解不定方程時可以根據余數的性質、奇偶性進行分析。14．國王帶著、、、、、六位大臣去旅游。晚上大家要去住旅館，可只有三間房。國王自己要住一間，剩下的兩間房都能住三個人，一間是奇數房，只能住奇數；一間是質數房，只能住質數。結果六位大臣商量著竟然吵了起來。大臣說：“我是質數，我應該住質數房！”大臣說：“不對，你是奇數，我才應該住質數房！”他們鬧得不可開交，最后只好請國王來評判?？蓢跻粫r之間也不知道該怎么安排。同學們，你們能幫助他們嗎？你們能夠設計幾種不同的住法呢？【答案】種【分析】首先，在題目里1大臣所說的是錯誤的，而3大臣所說的是正確的；所有大臣都可以住奇數房，但只有3、5、7、11四位大臣可以住在質數房。【詳解】所有的六位大臣都可以去住奇數房，但只有、、、四位大臣可以住在質數房。所以，例如、、住奇數房，、、住質數房的安排方法就是正確的。由前面的分析，、必須住在奇數房，所以另外四個數中任何一個也住進奇數房，都是一種住法，那么一共有種不同的住法。答：能夠設計4種不同的住法。【點睛】按照非零自然數因數的個數，可以將非零自然數分為質數、合數、1，其中1既不是質數，也不是合數。15．下表是一個未完成的奇數乘法表，除第一行和第一列外，表中的數字為所在行和列的第一個數的乘積，如1＝1×1，35＝5×7＝7×5，63＝7×9＝9×7，81＝9×9，求完成后的奇數乘法表中所有數之和?！敬鸢浮?0000【分析】表中的每一個數是其所在行對應的數乘所在列對應的數，第一列的所有數之和是1的1倍至19倍之和，第二列是3的1倍至19倍之和，最后一列是19的1倍至19倍之和，相加得到總和?！驹斀狻看穑浩鏀党朔ū碇兴袛抵褪?0000?！军c睛】本題也可以找規律求解，表中從左上角開始的2×2的方格中的所有數之和是4的平方，3×3的方格中的所有數之和是9的平方，依此類推。16．我們知道，每個自然數都有因數，對于一個自然數a，我們把小于a的正的因數叫做a的真因數．如10的正因數有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因數．把一個自然數a的所有真因數的和除以a，所得的商叫做a的“完美指標”．如10的“完美指標”是（1+2+5）÷10=．一個自然數的“完美指標”越接近1，我們就說這個數越“完美”．如8的“完美指標”是（1+2+4）÷8=，10的“完美指標”是，因為比更接近1，所以我們說8比10更完美．（1）試分別計算5、6、9的“完美指標”；（2）試找出比10大，比20小的自然數中，最“完美”的數．【答案】，1，；16【詳解】試題分析：（1）根據定義的新的運算意義，分別找出5、6、和9的正因數，再分別找出它們的真因數，最后再由“完美指標”的意義，列式即可解答；（2）根據“完美指標”的意義知道，自然數的真因數越多，此數越完美；因為在11﹣19的數中，11、13、17、19是質數，真因數只有1，所以先排除此三個數，再分別找出12、14、15、16、18的正因數，再分別找出它們的真因數，最后再由“完美指標”的意義，分別求出“完美指標”．解：（1）5的正因數有：1，5，其中1是5的真因數，完美指標：1÷5=，6的正因數有：1，2，3，6，其中1，2，3是6的真因數，完美指標：（1+2+3）÷6=1，9的正因數有：1，3，9，其中1，3是9的真因數，完美指標：（1+3）÷9=，（2）12的正因數有：1、2、3、4、6、12，其中1、2、3、4、6是真因數，完美指標：（1+2+3+4+6）÷12