2023-2024學年滬科新版數學七年級下冊章節培優復習知識講練第7章一元一次不等式與不等式組（思維導圖+知識梳理+十一大重點考向舉一反三講練）1.理解不等式的有關概念，掌握不等式的基本性質；2.理解不等式的解（解集）的意義，掌握在數軸上表示不等式的解集的方法；3.會利用不等式的基本性質，熟練解一元一次不等式或不等式組；4.會根據題中的不等關系建立不等式（組），解決實際應用問題；5.通過對比方程與不等式、等式性質與不等式性質等一系列教學活動，理解類比的方法是學習數學的一種重要途徑.知識點01：不等式【高頻考點精講】1.不等式：用符號“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠連接的式子叫做不等式.【易錯點剖析】（1）不等式的解：能使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：對于一個含有未知數的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．解集的表示方法一般有兩種：一種是用最簡的不等式表示，例如，等；另一種是用數軸表示，如下圖所示：（3）解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式．2.不等式的性質：不等式的基本性質1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性質2：不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質3：不等式兩邊乘以(或除以)同一個負數，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．不等式的基本性質4：如果a＞b，那么b＜a.不等式的基本性質5：如果a＞b，b＞c，那么a＞c.知識點02：一元一次不等式【高頻考點精講】1.定義：不等式的左右兩邊都是整式，經過化簡后只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1，這樣的不等式叫做一元一次不等式，【易錯點剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的標準形式．2.解法：解一元一次不等式步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1.

【易錯點剖析】不等式解集的表示：在數軸上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定邊界點，二是定方向，三是定空實.3.應用：列不等式解應用題的基本步驟與列方程解應用題的步驟相類似，即：（1）審：認真審題，分清已知量、未知量；（2）設：設出適當的未知數；（3）找：找出題中的不等關系，要抓住題中的關鍵字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超過”“超過”等關鍵詞的含義；（4）列：根據題中的不等關系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：檢驗是否符合題意，寫出答案.【易錯點剖析】列一元一次不等式解應用題時，經常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超過”、“不大于”、“不小于”等表示不等關系的關鍵詞語，弄清它們的含義是列不等式解決問題的關鍵.知識點03：一元一次不等式組

【高頻考點精講】關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組.

【易錯點剖析】（1）不等式組的解集：不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做這個不等式組的解集.（2）解不等式組：求不等式組解集的過程，叫做解不等式組.

（3）一元一次不等式組的解法：分別解出各不等式，把解集表示在數軸上，取所有解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集.

（4）一元一次不等式組的應用：①根據題意構建不等式組，解這個不等式組；②由不等式組的解集及實際意義確定問題的答案．重點考向01：不等式的性質重點考向02：不等式的解集重點考向03：在數軸上表示不等式的解集重點考向04：解一元一次不等式重點考向05：一元一次不等式的整數解重點考向06：由實際問題抽象出一元一次不等式重點考向07：一元一次不等式的應用重點考向08：解一元一次不等式組重點考向09：一元一次不等式組的整數解重點考向10：由實際問題抽象出一元一次不等式組重點考向11：一元一次不等式組的應用重點考向01：不等式的性質【典例精講】（2023秋?鎮海區校級期末）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（）A．a﹣2023＞b﹣2023 B．﹣2023a＜﹣2023b C． D．a+c＞b+c【思路點撥】根據不等式性質知直接判斷即可得到答案．【規范解答】解：由題意可得，∵a＞b，∴a﹣2023＞b﹣2023，﹣2023a＜﹣2023b，a+c＞b+c，當c＜0時，，故選：C．【考點評析】本題考查不等式的性質，解題的關鍵是熟練掌握不等式的性質．【變式訓練1-1】（2023春?番禺區校級月考）a，b都是實數，且a＜b，則下列不等式正確的是（）A．a+3＞b+3 B． C．5a＜5b D．1﹣a＜1﹣b【思路點撥】根據不等式的基本性質，逐項判斷即可．【規范解答】解：A．∵a＜b，∴a+3＜b+3，故該選項不正確，不符合題意；B．∵a＜b，∴，故該選項不正確，不符合題意；C．∵a＜b，∴5a＜5b，故該選項正確，符合題意；D．∵a＜b，∴1﹣a＞1﹣b，故該選項不正確，不符合題意．故選：C．【考點評析】本題考查了不等式的基本性質，熟練掌握不等式的基本性質是解題的關鍵．不等式的性質：不等式的基本性質1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變；不等式的基本性質2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式的基本性質3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．【變式訓練1-2】（2023春?吉首市期末）閱讀下列材料：問題：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2，又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1，又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0①∴﹣1+2＜y+2＜0+2即1＜x＜2②①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2，∴x+y的取值范圍是0＜x+y＜2．請按照上述方法，完成下列問題：（1）已知x﹣y＝5，且x＞﹣2，y＜0，①試確定y的取值范圍；②試確定x+y的取值范圍；（2）已知x﹣y＝a+1，且x＜﹣b，y＞2b，若根據上述做法得到3x﹣5y的取值范圍是﹣10＜3x﹣5y＜26，請直接寫出a、b的值．【思路點撥】（1）①根據閱讀材料所給的解題過程，直接套用解答即可求得y的取值；②由①得﹣7＜y＜0，進而求得﹣2＜y+5＜5，即﹣2＜x＜5，即可求得x+y的取值范圍；（2）根據題意求得a+b+1＜﹣y＜﹣2b，2b+a+1＜x＜﹣b，然后利用不等式的性質求解3x﹣5y的取值范圍，從而得到關于a，b的方程求解．【規范解答】解：（1）①∵x﹣y＝5，∴x＝y+5，∵x＞﹣2，∴y+5＞﹣2，∴y＞﹣7，∵y＜0，∴﹣7＜y＜0，②由①得﹣7＜y＜0，∴﹣2＜y+5＜5，即﹣2＜x＜5②，∴﹣7﹣2＜y+x＜0+5，∴x+y的取值范圍是﹣9＜x+y＜5；（2）∵x﹣y＝a+1，∴x＝y+a+1，∵x＜﹣b，∴y+a+1＜﹣b，∴y＜﹣a﹣b﹣1，∴﹣y＞a+b+1，∵y＞2b，∴﹣y＜﹣2b，∴a+b+1＜﹣y＜﹣2b①，∴10b＜5y＜﹣5a﹣5b﹣5，∵2b+a+1＜y+a+1＜﹣b，∴2b+a+1＜x＜﹣b，∴6b+3a+3＜3x＜﹣3b②，∴11b+8a+8＜3x﹣5y＜﹣13b，∴①+②得：5b+5a+5+6b+3a+3＜3x﹣y＜﹣10b﹣3b，∵3x﹣y的取值范圍是﹣10＜3x﹣5y＜26，∴，解得：．【考點評析】本題考查了一元一次不等式的性質，仔細閱讀材料，理解解題過程是解答本題的關鍵．重點考向02：不等式的解集【典例精講】（2023春?鳳凰縣期末）我們定義，關于同一個未知數的不等式A和B，兩個不等式的解集相同，則稱A與B為同解不等式．（1）若關于x的不等式A：1﹣3x＞0，不等式B：＜1是同解不等式，求a的值；（2）若關于x的不等式C：x+1＞mn，不等式D：x﹣3＞m是同解不等式，其中m，n是正整數，求m，n的值；（3）若關于x的不等式P：（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0，不等式Q：﹣2x是同解不等式，試求關于x的不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＜0的解集．【思路點撥】（1）利用題干中的同解不等式的定義求解；（2）利用題干中的同解不等式的定義及整除定義求解；（3）利用題干中的同解不等式的定義求出字母的取值，再解字母系數的不等式．【規范解答】解：（1）解關于x的不等式A：1﹣3x＞0，得x＜，解不等式B：＜1，得x＜，由題意得：＝，解得：a＝1．（2）解不等式C：x+1＞mn得：x＞mn﹣1，不等式D：x﹣3＞m得：x＞m+3，∴mn﹣1＝m+3，∴m＝，∵m，n是正整數，∴n﹣1為1或4或2，∴m＝4，n＝2或；m＝1，n＝5或m＝2，n＝3．（3）解不等式P：（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0得：x＞（2a﹣b＜0），解不等式Q：﹣2x得：x＞，∴＝，∴7a＝8b，∵2a﹣b＜0，∴4b＝3.5a，且a＜0，∴a﹣4b＝a﹣3.5a＝﹣2.5a＞0，∴（a﹣4b）x+2a﹣3b＜0的解為：x＜﹣．【考點評析】本題考查了不等式的性質及解不等式，理解新定義時解題的關鍵．【變式訓練2-1】（2023春?岳麓區校級期末）若不等式組無解，則m的取值范圍為（）A．m≤2 B．m＜2 C．m≥2 D．m＞2【思路點撥】根據大大小小無解集得到4m≤8，即可得出答案．【規范解答】解：根據題意得：4m≤8，∴m≤2．故選：A．【考點評析】本題考查了不等式的解集，不要忘記可以取等號是解題的關鍵．【變式訓練2-2】（2020春?自貢期末）請閱讀求絕對值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集過程．對于絕對值不等式|x|＜3，從圖1的數軸上看：大于﹣3而小于3的絕對值是小于3的，所以|x|＜3的解集為﹣3＜x＜3；對于絕對值不等式|x|＞3，從圖2的數軸上看：小于﹣3而大于3的絕對值是大于3的，所以|x|＞3的解集為x＜﹣3或x＞3．已知關于x，y的二元一次方程組的解滿足|x+y|≤3，其中m是負整數，求m的值．【思路點撥】根據題意由|x+y|≤3得出﹣3≤x+y≤3，解二元一次方程組，得出x+y＝﹣m﹣1，得到不等式組﹣3≤﹣m﹣1≤3，求出m值，結合m為負整數即可得出結果．【規范解答】解：∵|x+y|≤3，∴﹣3≤x+y≤3，解，①+②得：3x+3y＝﹣3m﹣3，∴x+y＝﹣m﹣1，則﹣3≤﹣m﹣1≤3，解得：﹣4≤m≤2，又m是負整數，∴m的值為﹣4或﹣3或﹣2或﹣1．【考點評析】本題考查了解一元一次不等式組和絕對值的意義，能正確去掉絕對值符號是解此題的關鍵．重點考向03：在數軸上表示不等式的解集【典例精講】（2023秋?隆回縣期末）如圖，小雨把不等式3x+1＞2（x﹣1）的解集表示在數軸上，則陰影部分蓋住的數字是﹣3．【思路點撥】根據去括號、移項、合并同類項，可得不等式的解集，根據不等式解集的表示方法，可得答案．【規范解答】解：去括號，得3x+1＞2x﹣2，移項、合并同類項，得x＞﹣3，故答案為：﹣3．【考點評析】本題考查了在數軸上表示不等式的解集，不等式的解集在數軸上表示出來＞或≥，向右畫；＜或≤，向左畫，注意在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．【變式訓練3-1】（2023春?寶應縣期末）整式的值為P．（1）當m＝2時，求P的值；（2）若P的取值范圍如圖所示，求m的非正整數值．【思路點撥】（1）把m＝2代入代數式中進行計算便可；（2）根據數軸列出m的不等式進行解答便可．【規范解答】解：（1）P＝3（﹣2）＝3×（﹣）＝﹣5，∴P的值為﹣5；（2）由數軸知：P≤7，即3（﹣m）≤7，解得m≥﹣2，m為非正整數，∴m＝0，﹣1或﹣2．【考點評析】本題考查了求代數式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的應用，第（2）題關鍵是根據數軸列出m的不等式．【變式訓練3-2】（2022春?叢臺區期末）整式5（m﹣）的值為P．（1）當m＝3時，求P的值；（2）若P的取值范圍如圖所示，求m的正整數值．【思路點撥】（1）把m＝3代入代數式中進行計算便可；（2）根據數軸列出m的不等式進行解答便可．【規范解答】解：（1）根據題意得：P＝5（3﹣）＝5×＝14．（2）由圖可知：P≤9，即5（m﹣）≤9，解得m≤2．∵m為正整數，∴m＝1，2．【考點評析】本題考查了求代數式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的應用，第（2）題關鍵是根據數軸列出m的不等式．重點考向04：解一元一次不等式【典例精講】（2023?東莞市三模）不等式x＜1﹣的解集為（）A．x＜2 B．x＜1 C．x＜ D．x＜﹣【思路點撥】根據解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1可得．【規范解答】解：去分母，得：3x＜6﹣（x﹣2），去括號，得：3x＜6﹣x+2，移項，得：3x+x＜6+2，合并同類項，得：4x＜8，系數化為1，得：x＜2，故選：A．【考點評析】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數不等號方向要改變．【變式訓練4-1】（（2023?邢臺二模）若不等式組的解集是x＞1，則不等式②可以是（）A．﹣2x＜4 B．﹣2x＞4 C．﹣2x≥4 D．﹣2x≤﹣4【思路點撥】根據不等式的解集同大取大的確定方法，就可以得出．【規范解答】解：由①得，x＞1，∵不等式組的解集是x＞1，∴不等式②可以是x＞a（a≤1），A、不等式﹣2x＜4解得x＞﹣2，﹣2＜1，故A符合題意；B、不等式﹣2x＞4解得x＜﹣2，故B不符合題意；C、不等式﹣2x≥4解得x≤﹣2，故C不符合題意；D、不等式﹣2x≤﹣4解得x≥2，2＞1，故D不符合題意；故選：A．【考點評析】主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．【變式訓練4-2】（2023春?鄧州市期中）如圖，在數軸上，點A、B分別表示數﹣2、﹣2x+6．（1）若x＝﹣1，則點A、B間的距離是多少？（2）若點B在點A右側：①求x的取值范圍；②判斷：表示數﹣x+2的點應落在C（填序號）．A．點A左邊B．點B右邊C．線段AB上【思路點撥】（1）把x＝﹣1代入﹣2x+6計算出B表示的數，求出A，B之間的距離即可；（2）①由B在A的右側，列出不等式，求出不等式的解集即可確定出x的范圍；②根據x的范圍判斷出﹣x+2的范圍，即可作出判斷．【規范解答】解：（1）把x＝﹣1代入﹣2x+6得：原式＝2+6＝8，則AB＝8﹣（﹣2）＝8+2＝10；（2）①∵在數軸上，點A、B分別表示數﹣2、﹣2x+6，且點B在點A右側，∴﹣2x+6＞﹣2，移項、合并同類項得：﹣2x＞﹣8，x系數化為1得：x＜4；②∵x＜4，∴﹣x+2＞﹣2，若﹣x+2＞﹣2x+6，則有x＞4，矛盾；∴﹣x+2＜﹣2x+6，則表示數﹣x+2的點應落在線段AB上．故答案為：C．【考點評析】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握一元一次方程的解法是解本題的關鍵．重點考向05：一元一次不等式的整數解【典例精講】（2023秋?義烏市期末）若關于x的不等式3x+2≤a的正整數解是1，2，3，4，則整數a的最小值是14．【思路點撥】首先確定不等式組的解集，先利用含a的式子表示，根據整數解的個數就可以確定有哪些整數解，根據解的情況可以得到關于a的不等式，從而求出a的范圍．【規范解答】解：不等式的解集是：x≤，∵不等式的正整數解恰是1，2，3，4，∴4≤＜5，∴a的取值范圍是14≤a＜17．∴整數a的最小值是14．故答案為：14．【考點評析】本題考查了一元一次不等式的整數解，正確解出不等式的解集，正確確定的范圍是解決本題的關鍵．解不等式時要用到不等式的基本性質．【變式訓練5-1】（2023春?玄武區期末）已知關于x的不等式2x﹣m+1＜0的正整數解有且只有2個，則m的取值范圍為5＜m≤7．【思路點撥】先解不等式，再根據題意列出不等式組求解．【規范解答】解：解關于x的不等式2x﹣m+1＜0得：x＜，由題意得：不等式的正整數解為：1，2，∴2＜≤3，解得：5＜m≤7，故答案為：5＜m≤7．【考點評析】本題考查了一元一次不等式的整數解，掌握解不等式的方法是截圖的關鍵．【變式訓練5-2】2023春?瓊海校級期末）計算：（1）；（2）解不等式，并寫出其非負整數解．【思路點撥】（1）根據含有乘方的有理數的運算法則，求一個數的立方根的運算，二次根運算法則即可求解；（2）根據不等式的性質求解，并找出其非負整數解即可．【規范解答】解：（1）＝﹣1+4﹣（﹣2）×3＝3+6＝9．（2）去分母得，4（2x﹣1）≥3（3x+2）﹣12，去括號得，8x﹣4≥9x+6﹣12，移項得，8x﹣9x≥﹣6+4，合并同類項得，﹣x≥﹣2，系數化為1得，x≤2，∴非負整數解為：0，1，2．【考點評析】本題主要考查含有乘方的有理數的混合運算，二次根式的運算，三次根式的運算，解一元一次不等式的綜合，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式訓練5-3】（2023春?邗江區校級期末）我們定義：如果兩個一元一次不等式有公共整數解，那么稱這兩個不等式互為“友好不等式”，其中一個不等式是另一個不等式的“友好不等式”，（1）不等式x≥2是x≤2的“友好不等式”；（填“是”或“不是”）；（2）若a≠﹣1，關于x的不等式x+3＞a與不等式ax﹣1≤a﹣x互為“友好不等式”，求a的取值范圍；（3）若關于x的不等式x﹣m≥0不是2x﹣1＜x+2的“友好不等式”，則m的取值范圍是m＜﹣1．【思路點撥】（1）根據友好不等式的定義即可求解；（2）分兩種情況討論根據友好不等式的定義得到含a的不等式，解得即可；（3）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，解不等式2x﹣1＜x+2得x＜3，再根據友好不等式的定義可得﹣2m＞2，解不等式即可求解．【規范解答】解：（1）∵不等式x≥2和不等式x≤2有公共解2，∴不等式x≥2是x≤2的“友好不等式”，故答案為：是；（2）①當a+1＞0時，即a＞﹣1時，依題意有a﹣3＜1，即a＜4，故﹣1＜a＜4；②當a+1＜0時，即a＜﹣1時，始終符合題意，故a＜﹣1；綜上，a的取值范圍為a＜﹣1或﹣1＜a＜4；（3）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，解不等式2x﹣1＜x+2得x＜3，∵關于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣1＜x+2的“友好不等式”，∴﹣2m＞2，解得m＜﹣1．故m的取值范圍m＜﹣1．【考點評析】本題主要考查解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關鍵．重點考向06：由實際問題抽象出一元一次不等式【典例精講】（2023春?靈丘縣校級期末）某次知識競賽共有25道題，每答對一題得5分，答錯或不答都扣2分，小明得分要超過90分，他至少要答對多少道題？如果設小明答對x道題，那么他答錯或不答的題數為（25﹣x）根據題意，下列不等式正確的是（）A．5x﹣2（25﹣x）≥90 B．5x﹣2（25﹣x）≤90 C．5x﹣2（25﹣x）＞90 D．5x﹣2（25﹣x）＜90【思路點撥】根據每答對一題得5分，答錯或不答都扣2分，小明得分要超過90分可以列出相應的不等式，從而可以解答本題．【規范解答】解：設小明答對x道題，由題意可得：5x﹣2（25﹣x）＞90．故選：C．【考點評析】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的不等式．【變式訓練6-1】（2021春?海陽市期末）一次環保知識競賽共有20道題，規定答對一道題得4分，答錯或不答一道題扣1分．在這次競賽中，小明的得分為優秀（85分或85分以上）．若設小明答對了x道題，則根據題意，得不等式為4x﹣（20﹣x）≥85．【思路點撥】將答對題數所得的分數減去答錯或不答所扣的分數，在由題意知小明答題所得的分數大于等于85分，列出不等式即可．【規范解答】解：設小明答對了x道題，則他答錯或不答的共有（25﹣x）道題，由題意得：4x﹣（20﹣x）≥85，故答案為：4x﹣（20﹣x）≥85．【考點評析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關系．本題尤其要注意所得的分數是答對題數所得的分數減去打錯或不答所扣的分數．【變式訓練6-2】（2022春?安陽期末）請根據小明同學解不等式的過程，完成下面各項任務：解不等式≥+1解：去分母，得2（x+1）≥3（2x﹣5）+1…………第一步去括號，得2x+2≥6x﹣5+1…………第二步移項，得2x﹣6x≥﹣5+1+2…………第三步合并同類項，得﹣4x≥﹣2…………第四步系數化為1，得x≥…………第五步所以不等式的解集為：x≥任務一：以上解題過程中，從第一步開始出現錯誤，錯誤的原因是去分母時兩邊都乘12時右邊1漏乘12；任務二：請從出現錯誤的步驟開始，把正確的解答過程完整的寫出來；任務三：請你根據平時的學習經驗，寫出一條解不等式時需要注意的事項．【思路點撥】任務一：去分母時兩邊都乘12時右邊1漏乘12，據此可得答案；任務二：根據解一元一次不等式的步驟依次計算即可；任務三：去括號、移項、系數化為1均有錯誤，逐一解答即可．【規范解答】解：任務一：以上解題過程中，從第一步開始出現錯誤，錯誤的原因是兩邊都乘以12時右邊1漏乘12，故答案為：一，兩邊都乘以12時右邊1漏乘12；任務二：正確過程如下：去分母，得2（x+1）≥3（2x﹣5）+12，去括號，得2x+2≥6x﹣15+12，移項，得2x﹣6x≥﹣15+12﹣2，合并同類項，得﹣4x≥﹣5，系數化為1，得x≤；任務三：去括號時括號內每項都要乘括號前的常數，移項要變號，系數化為1時兩邊都乘或除以負數時不等號的方向要改變．【考點評析】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數不等號方向要改變．重點考向07：一元一次不等式的應用【典例精講】（2023春?嵐山區期末）某藥品說明書中對用法用量有如圖所示的表述，若一日每次服用相同劑量的藥品，設每次服用藥品的劑量為xmg，則x的取值范圍是（）A．300≤x≤400 B．200≤x≤600 C．200≤x≤300 D．300≤x≤600【思路點撥】分別計算當一日服用2次和3次時x的取值范圍，再將它們合并起來即可．【規范解答】解：當一日服用2次時，≤x≤，即300≤x≤600；當一日服用3次時，≤x≤，即200≤x≤400．∴300≤x≤600或200≤x≤400，在數軸上表示為∴200≤x≤600．故選：B．【考點評析】本題考查一元一次不等式的應用，這部分知識非常重要，一定要深刻理解、靈活運用．【變式訓練7-1】（2023秋?遂川縣期末）五一節前，某商店擬用2000元的總價購進A、B兩種品牌的電風扇進行銷售，為更好的銷售，每種品牌電風扇都至少購進1臺，已知購進3臺A種品牌電風扇所需費用與購進2臺B種品牌電風扇所需費用相同，購進1臺A種品牌電風扇與2臺B種品牌電風共需費用800元．（1）求A、B兩種品牌電風扇每臺的進價分別是多少元？（2）該商店將A種品牌電風扇定價為280元/臺，B種品牌電風扇定價為350元/臺，為能在銷售完這兩種電風扇后獲得最大的利潤，該商店應采用哪種進貨方案？【思路點撥】（1）根據題意和題目中的數據，可以列出相應的二元一次方程組，從而可以計算出A、B兩種品牌電風扇每臺的進價分別是多少元；（2）根據題意和（1）中的結果，可以寫出利潤與購進A和B兩種品牌的電風扇數量的函數關系式，再根據某商店擬用1000元的總價購進A、B兩種品牌的電風扇進行銷售，為更好的銷售，每種品牌電風扇都至少購進1臺，可以寫出相應的方案，再分別計算出各種方案下的利潤，即可得到獲得最大利潤的方案．【規范解答】解：（1）設A、B兩種品牌電風扇每臺的進價分別是x元、y元，，解得，答：A、B兩種品牌電風扇每臺的進價分別是200元、300元；（2）設購進A種品牌的電風扇a臺，購進B種品牌的電風扇b臺，利潤為w元，w＝（280﹣200）a+（350﹣300）b＝80a+50b，∵某商店擬用2000元的總價購進A、B兩種品牌的電風扇進行銷售，為更好的銷售，每種品牌電風扇都至少購進1臺，∴200a+300b＝2000且a≥1，b≥1，∴2a+3b＝20（a≥1，b≥1），∴或或，∴當a＝1，b＝6時，w＝80×1+50×6＝380，當a＝4，b＝4時，w＝80×4+50×4＝520，當a＝7，b＝2時，w＝80×7+50×2＝660，由上可得，當a＝7，b＝2時，w取得最大值，答：為能在銷售完這兩種電風扇后獲得最大的利潤，該商店應采用購進A種品牌的電風扇7臺，購進B種品牌的電風2臺．【考點評析】本題考查二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組，利用方程的知識解答．【變式訓練7-2】（2023?河源一模）某加工廠用52500元購進A、B兩種原料共40噸，其中原料A每噸1500元，原料B每噸1000元．由于原料容易變質，該加工廠需盡快將這批原料運往有保質條件的倉庫儲存．經市場調查獲得以下信息：①將原料運往倉庫有公路運輸與鐵路運輸兩種方式可供選擇，其中公路全程120千米，鐵路全程150千米；②兩種運輸方式的運輸單價不同（單價：每噸每千米所收的運輸費）；③公路運輸時，每噸每千米還需加收1元的燃油附加費；④運輸還需支付原料裝卸費：公路運輸時，每噸裝卸費100元；鐵路運輸時，每噸裝卸費220元．（1）加工廠購進A、B兩種原料各多少噸？（2）由于每種運輸方式的運輸能力有限，都無法單獨承擔這批原料的運輸任務．加工廠為了盡快將這批原料運往倉庫，決定將A原料選一種方式運輸，B原料用另一種方式運輸，哪種方案運輸總花費較少？請說明理由．【思路點撥】（1）設加工廠購進A種原料x噸，B種原料y噸，由題意：某加工廠用52500元購進A、B兩種原料共40噸，其中原料A每噸1500元，原料B每噸1000元．列方程組，解方程組即可；（2）設公路運輸的單價為a元/（t?km），鐵路運輸的單價為b元/（t?km），有兩種方案，方案一：原料A公路運輸，原料B鐵路運輸；方案二：原料A鐵路運輸，原料B公路運輸；設方案一的運輸總花費為m元，方案二的運輸總花費為n元，分別求出m、n，再分情況討論即可．【規范解答】解：（1）設加工廠購進A種原料x噸，B種原料y噸，由題意得：，解得：，答：加工廠購進A種原料25噸，B種原料15噸；（2）設公路運輸的單價為a元/（t?km），鐵路運輸的單價為b元/（t?km），根據題意，有兩種方案，方案一：原料A公路運輸，原料B鐵路運輸；方案二：原料A鐵路運輸，原料B公路運輸；設方案一的運輸總花費為m元，方案二的運輸總花費為n元，則m＝25×120×（a+1）+25×100+15×150×b+15×220＝3000a+2250b+8800，n＝15×120×（a+1）+15×100+25×150×b+25×220＝1800a+3750b+8800，∴m﹣n＝3000a+2250b+8800﹣（1800a+3750b+8800）＝1200a﹣1500b，當m﹣n＜0，即a＜b時，方案一運輸總花費少，即原料A公路運輸，原料B鐵路運輸，總花費少；當m﹣n＝0，即a＝b時，兩種運輸總花費相等；當m﹣n＞0，即a＞b時，方案二運輸總花費少，即原料A鐵路運輸，原料B公路運輸，總花費少；【考點評析】本題考查了一元一次不等式的應用、二元一次方程組的應用等知識；解題的關鍵是：（1）找準等量關系，列出二元一次方程組；（2）找出數量關系，列出一元一次不等式或一元一次方程．重點考向08：解一元一次不等式組【典例精講】（2023秋?岳陽期末）已知關于x的不等式組，下列四個結論：①若它的解集是1＜x≤3，則a＝7；②當a＝3，不等式組有解；③若它的整數解僅有3個，則a的取值范圍是11≤a＜13；④若它有解，則a＞3．其中正確的結論個數（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】本題主要首先確定不等式組的解集，先利用含a的式子表示，根據整數解的個數就可以確定有哪些整數解，根據解的情況可以得到關于a的不等式組，從而求出a的范圍．【規范解答】解：，解不等式①，得x＞1．解不等式②，得x≤，所以不等式組的解集為1＜x≤，①∵它的解集是1＜x≤3，∴＝3，解得a＝7，故原結論正確；②∵a＝3，∴＝＝1，故不等式組無解，故原結論錯誤；③∵它的整數解僅有3個，∴4≤＜5，解得9≤a＜11．則a的取值范圍是9≤a＜11，故原結論錯誤；④∵不等式組有解，∴＞1，∴a＞3，故本小題正確．所以正確的結論個數是2個．故選：B．【考點評析】本題考查的是解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數解，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．【變式訓練8-1】2024?肇源縣開學）解不等式組：．【思路點撥】分別解兩個不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”的原則確定答案即可．【規范解答】解：解不等式①，得x＞﹣3，解不等式②，得x≤2，∴不等式組的解集為﹣3＜x≤2．【考點評析】本題主要考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的方法和步驟是解題關鍵．【變式訓練8-2】（2024?金水區校級開學）解不等式是，在數軸上表示出其解集，并求出它的所有整數解的和．【思路點撥】先求出不等式組的解集，然后在數軸上表示出解集，求出所有整數解的和即可．【規范解答】解：．解得不等式①得：x＜3．解得不等式②得：x≥﹣1．所以不等式的解集為﹣1≤x＜3．在數軸上表示如下：所有整數解的和為：﹣1+0+1+2＝2．【考點評析】本題考查的是解一元一次不等式組，熟悉解一元一次不等式組的一般步驟是解題的關鍵【變式訓練8-3】（2023春?大竹縣校級期末）我們用[a]表示不大于a的最大整數，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整數，例如：＜2.5＞＝3，＜3＞＝4，＜﹣2.5＞＝﹣2．根據上述規定，解決下列問題：（1）[﹣4.5]＝﹣5，＜3.01＞＝4；（2）若x為整數，且[x]+＜x＞＝2017，求x的值；（3）若x、y滿足方程組，求x、y的取值范圍．【思路點撥】（1）根據[a]表示不大于a的最大整數，＜a＞表示大于a的最小整數，進行計算即可；（2）根據[x]+＜x＞＝2017，可得x+（x+1）＝2017，進而得到x＝1008；（3）解方程組可得，再根據[a]表示不大于a的最大整數，＜a＞表示大于a的最小整數，即可得到x、y的取值范圍．【規范解答】解：（1）由題可得[﹣4.5]＝﹣5，＜3.01＞＝4，故答案為：﹣5，4；（2）∵[x]≤x，且x為整數，∴[x]＝x，∵＜x＞＞x，且x為整數，∴＜x＞＝x+1，∵[x]+＜x＞＝2017，∴x+（x+1）＝2017，解得x＝1008；（3）解原方程組，得，又∵[x]表示不大于x的最大整數，＜x＞表示大于x的最小整數，∴﹣1≤x＜0，2≤y＜3．【考點評析】本題主要考查了解一元一次不等式組以及二元一次方程組，解題時注意：[a]表示不大于a的最大整數，＜a＞表示大于a的最小整數．重點考向09：一元一次不等式組的整數解【典例精講】（2023春?開福區校級月考）若關于x的一元一次方程有正整數解，且使關于x的不等式組最少有4個整數解，則滿足所有條件的整數a的個數為（）A．5 B．4 C．3 D．2【思路點撥】解含參的一元一次方程及一元一次不等式組，根據已知條件確定a的取值，然后將它們相加即可．【規范解答】解：，解得：x＝，∵原方程有整數解，∴為整數，，由①可得x≤4a，②可得x＞12，∵原不等式組最多有3個整數解，∴它的三個整數解為：13，14，15，16，∴13≤4a＜17，解得：3.75≤a＜4.25，∵為整數，∴a＝4，故選：B．【考點評析】本題主要考查解含參的一元一次方程及不等式組確定參數的取值，結合已知條件確定m的取值范圍并且確定為整數是解題的關鍵．【變式訓練9-1】（2024?金水區校級開學）已知關于x的不等式組只有3個整數解，則實數a的取值范圍是﹣2≤a＜﹣1．【思路點撥】先解不等式組，然后根據不等式組解的情況確定a的取值范圍即可．【規范解答】解：，有②得：﹣2x≥﹣2，x≤1，∵關于x的不等式組只有3個整數解，∴a＜x≤1，∵關于x的不等式組只有3個整數解，∴x＝1或0或﹣1，∴﹣2≤a＜﹣1，故答案為：﹣2≤a＜﹣1．【考點評析】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題關鍵是根據解的情況確定a的取值范圍．【變式訓練9-2】（2023春?海州區期末）新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關聯方程”，例如：方程x﹣1＝3的解為x＝4，而不等式組的解集為2＜x＜5，不難發現x＝4在2＜x＜5的范圍內，所以方程x﹣1＝3是不等式組的“關聯方程”．（1）在方程①3（x+1）﹣x＝9；②4x﹣7＝0；③中，不等式組的“關聯方程”是①②；（填序號）（2）若關于x的方程2x﹣k＝6是不等式組的“關聯方程”，求k的取值范圍；（3）若關于x的方程是關于x的不等式組的“關聯方程”，且此時不等式組有4個整數解，試求m的取值范圍．【思路點撥】（1）先求出方程的解和不等式組的解集，再判斷即可；（2）先求出不等式組的解集，然后再解方程求出x＝，最后根據“關聯方程”的定義列出關于k的不等式組，進行計算即可；（3）先求出不等式組的解集，不等式組有4個整數解，即可得出1≤m＜，然后求出方程的解為x＝6m﹣7，根據“關聯方程”的定義得出＜m≤，即可得出＜m＜．【規范解答】解：（1）①3（x+1）﹣x＝9，解得：x＝3，②4x﹣7＝0，解得：x＝，③，解得：x＝1，，解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x≤5，∴原不等式組的解集為：1＜x≤5，∴不等式組的“關聯方程”是：①②，故答案為：①②；（2），解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x≤7，∴原不等式組的解集為：﹣1≤x≤7，2x﹣k＝6，解得：x＝，∵關于x的方程2x﹣k＝6是不等式組的“關聯方程”，∴﹣1≤≤7，解得：﹣8≤k≤8；（3）關于x的方程，解得：x＝6m﹣7，，解不等式①得：x＞0，解不等式②得：x≤3m+1，∴原不等式組的解集為：0＜x≤3m+1，∵不等式組有4個整數解，∴整數的值為1，2，3，4，∴4≤3m+1＜5，∴1≤m＜，∵關于x的方程是關于x的不等式組的“關聯方程”，∴，解得：＜m≤．∴m的取值范圍是＜m＜．【考點評析】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次方程的解，理解材料中的不等式組的“關聯方程”是解題的關鍵．【變式訓練9-3】（2021春?鳳凰縣期末）對x，y定義一種新運算T，規定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n均為非零常數）．例如：T（1，1）＝3m+3n．（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8．①求m，n的值；②若關于p的不等式組恰好有3個整數解，求a的取值范圍；（2）當x2≠y2時，T（x，y）＝T（y，x）對任意有理數x，y都成立，請直接寫出m，n滿足的關系式．【思路點撥】（1）①構建方程組即可解決問題；②根據不等式即可解決問題；（2）利用恒等式的性質，根據關系式即可解決問題；【規范解答】解：（1）①由題意，得，∴，②由題意，得解不等式①，得p＞﹣1．解不等式②，得．∴．∵恰好有3個整數解，∴．∴42≤a＜54．（2）由題意：（mx+ny）（x+2y）＝（my+nx）（y+2x），∴mx2+（2m+n）xy+2ny2＝2nx2+（2m+n）xy+my2，∵對任意有理數x，y都成立，∴m＝2n．【考點評析】本題考查一元一次不等式、二元一次方程組、恒等式等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型．重點考向10：由實際問題抽象出一元一次不等式組【典例精講】（2023春?交城縣期末）在學校讀書節活動中，老師把一些圖書分給勤奮小組的同學們．如果每人分5本，那么剩余6本；如果每人分7本，那么最后一人雖分到書但不足7本，問這些圖書最多有多少本？設這些圖書有x本，則可列不等式組為1≤x﹣7（）＜7．【思路點撥】設這些圖書有x本，則最后一人分到[x﹣7（）]本，根據最后一人雖分到書但不足7本，可得出不等式．【規范解答】解：設這些圖書有x本，則最后一人分到[x﹣7（）]本，根據題意得：1≤x﹣7（）＜7．故答案為：1≤x﹣7（）＜7．【考點評析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式組，解答時根據題意中的不相等關系建立不等式組是關鍵．【變式訓練10-1】（2023春?丹徒區期末）【閱讀材料】我們知道，一個數的絕對值是指在數軸上表示這個數的點到原點的距離．例如|x|＝|x﹣0|表示數軸上表示x這個數的點到原點的距離，那么式子|x﹣1|可理解為：數軸上表示x這個數的點到表示1這個數的點的距離．于是解不等式|x﹣1|≤2則是要在數軸上找出到1的距離小于等于2的所有點，觀察數軸可以看出，在數軸上到1距離小于等于2的點對應的數都在﹣1和3之間（包含﹣1和3兩個點），這樣我們就可以得到不等式|x﹣1|≤2的解集為：﹣1≤x≤3；【解決問題】參考閱讀材料，借助數軸，解答下列問題：（1）不等式|x|≤5的解集為﹣5≤x≤5；（2）不等式|x﹣2|≥2的解集為x≤0或x≥4；（3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集為﹣5≤x≤3；（4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集為﹣4.5＜x＜3.5；（5）對于任意數x，若不等式|x+3|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范圍．【思路點撥】（1）根據絕對值的意義及數軸求解；（2）根據絕對值的意義及數軸求解；（3）先把不等式變形，再根據絕對值的意義及數軸求解；（4）結合數軸，再根據絕對值的意義及數軸求解；（5）根據絕對值的意義及數軸求解．【規范解答】解：（1）不等式|x|≤5的解集為：﹣5≤x≤5；故答案為：﹣5≤x≤5；（2）不等式|x﹣2|≥2的解集為：x≤0或x≥4；故答案為：x≤0或x≥4；（3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集為：﹣5＜x＜3；故答案為：﹣5＜x＜3；（4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集為：﹣4.5＜x＜3.5；故答案為：﹣4.5＜x＜3.5；（5）當x≤﹣3時，|x+3|+|x﹣2|＝﹣x﹣3﹣x+2＝﹣2x﹣1≥5，當﹣3＜x≤2時，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+2﹣x＝5，當x＞2時，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+x﹣2＝2x+1＞5，∴|x+3|+|x﹣2|≥5，∴a≤5．【考點評析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式組，理解絕對值的意義是解題的關鍵．【變式訓練10-2】（2023春?武都區期末）為豐富學生課余生活，學校準備購買象棋和圍棋共120副，已知象棋的單價為每副25元，圍棋的單價為每副30元，其中購買圍棋的數量不少于象棋數量的2倍，且總費用不超過3500元．設購買圍棋的數量為m，列出關于m的不等式組并求出m的取值范圍．【思路點撥】設購買圍棋的數量為m，則設購買象棋的數量為120﹣m，根據題意列出不等式組，解不等式組即可得到結論．【規范解答】解：設購買圍棋的數量為m，則設購買象棋的數量為120﹣m，根據題意得，，解得80≤m≤100，答：m的取值范圍為80≤m≤100．【考點評析】本題考查了一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．重點考向11：一元一次不等式組的應用【典例精講】（2023春?武漢期末）“武漢是座英雄的城市”．在抗擊“新冠肺炎”這場沒有硝煙的戰斗中，廣大醫務工作者奮戰在抗疫的一線前沿是生命中“最美的逆行者”．某方舟醫院安排若干名護士負責護理一批新冠病人，若每位護士護理4名病患，有20名患者沒有人護理；若安排每位護士護理8名患者，就有一位護士護理的病人多于1人且不足8人．這個方舟醫院安排了（）名護士護理新冠病人．A．8 B．7 C．6 D．5【思路點撥】設醫院安排了x名護士護理新冠病人，由題意得1＜4x+20﹣8（x﹣1）＜8，解不等式即可．【規范解答】解：設醫院安排了x名護士護理新冠病人，由題意得1＜4x+20﹣8（x﹣1）＜8，解得5＜x＜6，∵x為整數，所以x＝6．故選：C．【考點評析】本題考查一元一次不等式組的應用，由題意列出不等式是解題的關鍵．【變式訓練11-1】（2023秋?齊河縣期末）為響應習總書記“扶貧先扶志，扶貧必扶智”的號召，我州北部某市向南部某貧困縣中小學捐贈一批書籍和實驗器材共360套，其中書籍比實驗器材多120套．（1）求書籍和實驗器材各有多少套？（2）現計劃租用甲、乙兩種型號的貨車共8輛，一次性將這批書籍和實驗器材運往該縣．已知每輛甲種貨車最多可裝書籍40套和實驗器材10套，每輛乙種貨車最多可裝書籍30套和實驗器材20套．運輸部門安排甲、乙兩種型號的貨車時，有幾種方案？請你幫助設計出來．（3）在（2）的條件下，如果甲種型號的貨車每輛需付運費1000元，乙種型號的貨車每輛需付運費900元．假設你是決策者，應選擇哪種方案可使運費最少？最少運費是多少元？【思路點撥】（1）設書籍和實驗器材分別為x、y套，根據題意書籍和實驗器材共360套，其中書籍比實驗器材多120套，列方程解答即可；（2）設安排甲型號的貨車a輛，則安排乙型號的貨車（8﹣a）輛，根據題意列不等式求a的取值范圍，根據a取整數，可得a的取值為0，1，2，3，4，故有4種方案；（3）根據（2）中的5種方案和甲種型號的貨車每輛需付運費1000元，乙種型號的貨車每輛需付運費900元，分別求得運費，求出最少運費即可；【規范解答】解：（1）設書籍和實驗器材分別為x、y套．