江蘇省泰興市泰興區2025年初三第一次質量考評數學試題試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．一輛客車從甲地開往乙地，一輛出租車從乙地開往甲地，兩車同時出發，它們離甲地的路程y（km）與客車行駛時間x（h）間的函數關系如圖，下列信息：（1）出租車的速度為100千米/時；（2）客車的速度為60千米/時；（3）兩車相遇時，客車行駛了3.75小時；（4）相遇時，出租車離甲地的路程為225千米．其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．下列各式中正確的是（）A．9=±3B．(-3)2=﹣3C．393．小亮家與姥姥家相距24km，小亮8：00從家出發，騎自行車去姥姥家．媽媽8：30從家出發，乘車沿相同路線去姥姥家．在同一直角坐標系中，小亮和媽媽的行進路程s(km)與時間t(h)的函數圖象如圖所示．根據圖象得出下列結論，其中錯誤的是()A．小亮騎自行車的平均速度是12km/hB．媽媽比小亮提前0.5h到達姥姥家C．媽媽在距家12km處追上小亮D．9：30媽媽追上小亮4．如圖，△ABC在平面直角坐標系中第二象限內，頂點A的坐標是（﹣2，3），先把△ABC向右平移6個單位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1關于x軸對稱圖形△A2B2C2，則頂點A2的坐標是（）A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（5，﹣3） D．（﹣3，4）5．下列因式分解正確的是（）A．x2+9=（x+3）2 B．a2+2a+4=（a+2）2C．a3-4a2=a2（a-4） D．1-4x2=（1+4x）（1-4x）6．如圖是二次函數的部分圖象，由圖象可知不等式的解集是（）A． B． C．且 D．x＜－1或x＞57．如圖圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．8．如圖，△ABC是等邊三角形，點P是三角形內的任意一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周長為12，則PD+PE+PF＝()A．12 B．8 C．4 D．39．若函數與y=﹣2x﹣4的圖象的交點坐標為（a，b），則的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．210．如圖，為測量平地上一塊不規則區域（圖中的陰影部分）的面積，畫一個邊長為4m的正方形，使不規則區域落在正方形內．現向正方形內隨機投擲小球（假設小球落在正方形內每一點都是等可能的），經過大量重復投擲試驗，發現小球落在不規則區域的頻率穩定在常數0.65附近，由此可估計不規則區域的面積約為（）A．2.6m2 B．5.6m2 C．8.25m2 D．10.4m211．若一次函數y＝（2m﹣3）x﹣1+m的圖象不經過第三象限，則m的取值范圖是（）A．1＜m＜ B．1≤m＜ C．1＜m≤ D．1≤m≤12．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝125，△ABC的周長為60，那么△ABCA．60 B．30 C．240 D．120二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13．株洲市城區參加2018年初中畢業會考的人數約為10600人，則數10600用科學記數法表示為_____．14．如圖，一個裝有進水管和出水管的容器，從某時刻開始的4分鐘內只進水不出水，在隨后的8分鐘內既進水又出水，接著關閉進水管直到容器內的水放完．假設每分鐘的進水量和出水量是兩個常數，容器內的水量y（單位：升）與時間x（單位：分）之間的部分關系．那么，從關閉進水管起分鐘該容器內的水恰好放完．15．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，點D、E都在邊BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，則DE的長為________.16．已知是一元二次方程的一個根，則方程的另一個根是________．17．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足為點D，以點D為圓心作⊙D，使得點A在⊙D外，且點B在⊙D內．設⊙D的半徑為r，那么r的取值范圍是_________．18．如圖的三角形紙片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm.沿過點B的直線折疊三角形，使點C落在AB邊的點E處，折痕為BD.則△AED的周長為____cm.三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（6分）為了加強學生的安全意識，某校組織了學生參加安全知識競賽．從中抽取了部分學生成績（得分數取正整數，滿分為100分）進行統計，繪制統計頻數分布直方圖（未完成）和扇形圖如下，請解答下列問題：（1）A組的頻數a比B組的頻數b小24，樣本容量，a為：（2）n為°，E組所占比例為%：（3）補全頻數分布直方圖；（4）若成績在80分以上優秀，全校共有2000名學生，估計成績優秀學生有名．20．（6分）某化妝品店老板到廠家選購A、B兩種品牌的化妝品，若購進A品牌的化妝品5套，B品牌的化妝品6套，需要950元；若購進A品牌的化妝品3套，B品牌的化妝品2套，需要450元．（1）求A、B兩種品牌的化妝品每套進價分別為多少元？（2）若銷售1套A品牌的化妝品可獲利30元，銷售1套B品牌的化妝品可獲利20元；根據市場需求，店老板決定購進這兩種品牌化妝品共50套，且進貨價錢不超過4000元，應如何選擇進貨方案，才能使賣出全部化妝品后獲得最大利潤，最大利潤是多少？21．（6分）在抗洪搶險救災中，某地糧食局為了保證庫存糧食的安全，決定將甲、乙兩個倉庫的糧食，全部轉移到沒有受洪水威脅的A，B兩倉庫，已知甲庫有糧食100噸，乙庫有糧食80噸，而A庫的容量為60噸，B庫的容量為120噸，從甲、乙兩庫到A、B兩庫的路程和運費如表（表中“元/噸?千米”表示每噸糧食運送1千米所需人民幣）路程（千米）運費（元/噸?千米）甲庫乙庫甲庫乙庫A庫20151212B庫2520108若從甲庫運往A庫糧食x噸，（1）填空（用含x的代數式表示）：①從甲庫運往B庫糧食噸；②從乙庫運往A庫糧食噸；③從乙庫運往B庫糧食噸；（2）寫出將甲、乙兩庫糧食運往A、B兩庫的總運費y（元）與x（噸）的函數關系式，并求出當從甲、乙兩庫各運往A、B兩庫多少噸糧食時，總運費最省，最省的總運費是多少？22．（8分）如圖，某校自行車棚的人字架棚頂為等腰三角形，D是AB的中點，中柱CD＝1米，∠A＝27°，求跨度AB的長(精確到0.01米).23．（8分）若關于的方程無解，求的值.24．（10分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點P是△ABC內一點，且∠PAC+∠PCA=，連接PB，試探究PA、PB、PC滿足的等量關系．（1）當α=60°時，將△ABP繞點A逆時針旋轉60°得到△ACP′，連接PP′，如圖1所示．由△ABP≌△ACP′可以證得△APP′是等邊三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小為度，進而得到△CPP′是直角三角形，這樣可以得到PA、PB、PC滿足的等量關系為；（2）如圖2，當α=120°時，參考（1）中的方法，探究PA、PB、PC滿足的等量關系，并給出證明；（3）PA、PB、PC滿足的等量關系為．25．（10分）某商店銷售10臺A型和20臺B型電腦的利潤為4000元，銷售20臺A型和10臺B型電腦的利潤為3500元．求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤；該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍，設購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元．①求y關于x的函數關系式；②該商店購進A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大？實際進貨時，廠家對A型電腦出廠價下調m（0＜m＜100）元，且限定商店最多購進A型電腦70臺，若商店保持同種電腦的售價不變，請你根據以上信息及（2）中條件，設計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案．26．（12分）拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經過點A（﹣1，0），B（，0），且與y軸相交于點C．（1）求這條拋物線的表達式；（2）求∠ACB的度數；（3）點D是拋物線上的一動點，是否存在點D，使得tan∠DCB=tan∠ACO．若存在，請求出點D的坐標，若不存在，說明理由．27．（12分）一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時發生了側翻沉船事故，立即發出了求救信號，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東37°方向，馬上以40海里每小時的速度前往救援，求海警船到大事故船C處所需的大約時間．（溫馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1、D【解析】

根據題意和函數圖象中的數據可以判斷各個小題是否正確，從而可以解答本題．【詳解】由圖象可得，出租車的速度為：600÷6=100千米/時，故（1）正確，客車的速度為：600÷10=60千米/時，故（2）正確，兩車相遇時，客車行駛時間為：600÷（100+60）=3.75（小時），故（3）正確，相遇時，出租車離甲地的路程為：60×3.75=225千米，故（4）正確，故選D．本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．2、D【解析】

原式利用平方根、立方根定義計算即可求出值．【詳解】解：A、原式=3，不符合題意；B、原式=|-3|=3，不符合題意；C、原式不能化簡，不符合題意；D、原式=23-3=3，符合題意，故選：D．此題考查了立方根，以及算術平方根，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵．3、D【解析】

根據函數圖象可知根據函數圖象小亮去姥姥家所用時間為10﹣8=2小時，進而得到小亮騎自行車的平均速度，對應函數圖象，得到媽媽到姥姥家所用的時間，根據交點坐標確定媽媽追上小亮所用時間，即可解答．【詳解】解：A、根據函數圖象小亮去姥姥家所用時間為10﹣8=2小時，∴小亮騎自行車的平均速度為：24÷2=12（km/h），故正確；B、由圖象可得，媽媽到姥姥家對應的時間t=9.5，小亮到姥姥家對應的時間t=10，10﹣9.5=0.5（小時），∴媽媽比小亮提前0.5小時到達姥姥家，故正確；C、由圖象可知，當t=9時，媽媽追上小亮，此時小亮離家的時間為9﹣8=1小時，∴小亮走的路程為：1×12=12km，∴媽媽在距家12km出追上小亮，故正確；D、由圖象可知，當t=9時，媽媽追上小亮，故錯誤；故選D．本題考查函數圖像的應用，從圖像中讀取關鍵信息是解題的關鍵.4、A【解析】

直接利用平移的性質結合軸對稱變換得出對應點位置．【詳解】如圖所示：頂點A2的坐標是（4，-3）．故選A．此題主要考查了軸對稱變換和平移變換，正確得出對應點位置是解題關鍵．5、C【解析】

試題分析：A、B無法進行因式分解；C正確；D、原式=（1+2x）（1－2x）故選C，考點：因式分解【詳解】請在此輸入詳解！6、D【解析】利用二次函數的對稱性，可得出圖象與x軸的另一個交點坐標，結合圖象可得出的解集：由圖象得：對稱軸是x=2，其中一個點的坐標為（1，0），∴圖象與x軸的另一個交點坐標為（－1，0）．由圖象可知：的解集即是y＜0的解集，∴x＜－1或x＞1．故選D．7、D【解析】

根據中心對稱圖形的概念和識別．【詳解】根據中心對稱圖形的概念和識別，可知D是中心對稱圖形，A、C是軸對稱圖形，D既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形．故選D．本題考查中心對稱圖形，掌握中心對稱圖形的概念，會判斷一個圖形是否是中心對稱圖形．8、C【解析】

過點P作平行四邊形PGBD，EPHC，進而利用平行四邊形的性質及等邊三角形的性質即可．【詳解】延長EP、FP分別交AB、BC于G、H，則由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四邊形PGBD，EPHC是平行四邊形，∴PG=BD，PE=HC，又△ABC是等邊三角形，又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等邊三角形，∴PF=PG=BD，PD=DH，又△ABC的周長為12，∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=×12=4，故選C．本題主要考查了平行四邊形的判定及性質以及等邊三角形的判定及性質，等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．9、B【解析】

求出兩函數組成的方程組的解，即可得出a、b的值，再代入求值即可．【詳解】解方程組，把①代入②得：=﹣2x﹣4，整理得：x2+2x+1=0，解得：x=﹣1，∴y=﹣2，交點坐標是（﹣1，﹣2），∴a=﹣1，b=﹣2，∴=﹣1﹣1=﹣2，故選B．本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題和解方程組等知識點，關鍵是求出a、b的值．10、D【解析】

首先確定小石子落在不規則區域的概率，然后利用概率公式求得其面積即可．【詳解】∵經過大量重復投擲試驗，發現小石子落在不規則區域的頻率穩定在常數0.65附近，∴小石子落在不規則區域的概率為0.65，∵正方形的邊長為4m，∴面積為16m2設不規則部分的面積為sm2則=0.65解得：s=10.4故答案為：D．利用頻率估計概率．11、B【解析】

根據一次函數的性質，根據不等式組即可解決問題；【詳解】∵一次函數y=（2m-3）x-1+m的圖象不經過第三象限，∴，解得1≤m＜．故選：B．本題考查一次函數的圖象與系數的關系等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型．12、D【解析】

由tanA的值，利用銳角三角函數定義設出BC與AC，進而利用勾股定理表示出AB，由周長為60求出x的值，確定出兩直角邊，即可求出三角形面積．【詳解】如圖所示，由tanA＝125設BC＝12x，AC＝5x，根據勾股定理得：AB＝13x，由題意得：12x+5x+13x＝60，解得：x＝2，∴BC＝24，AC＝10，則△ABC面積為120，故選D．此題考查了解直角三角形，銳角三角函數定義，以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13、1.06×104【解析】

科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【詳解】解：10600＝1.06×104，故答案為：1.06×104此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．14、8。【解析】根據函數圖象求出進水管的進水量和出水管的出水量，由工程問題的數量關系就可以求出結論：由函數圖象得：進水管每分鐘的進水量為：20÷4=5升。設出水管每分鐘的出水量為a升，由函數圖象，得，解得：。∴關閉進水管后出水管放完水的時間為：（分鐘）。15、1-1．【解析】

將△ABD繞點A逆時針旋轉120°得到△ACF，取CF的中點G，連接EF、EG，由AB=AC=2、∠BAC=120°，可得出∠ACB=∠B=10°，根據旋轉的性質可得出∠ECG=60°，結合CF=BD=2CE可得出△CEG為等邊三角形，進而得出△CEF為直角三角形，通過解直角三角形求出BC的長度以及證明全等找出DE=FE，設EC=x，則BD=CF=2x，DE=FE=6-1x，在Rt△CEF中利用勾股定理可得出FE=x，利用FE=6-1x=x可求出x以及FE的值，此題得解．【詳解】將△ABD繞點A逆時針旋轉120°得到△ACF，取CF的中點G，連接EF、EG，如圖所示．∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴∠ACB=∠B=∠ACF=10°，∴∠ECG=60°．∵CF=BD=2CE，∴CG=CE，∴△CEG為等邊三角形，∴EG=CG=FG，∴∠EFG=∠FEG=∠CGE=10°，∴△CEF為直角三角形．∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠BAD+∠CAE=60°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE=FE．設EC=x，則BD=CF=2x，DE=FE=6-1x，在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x，EC=x，EF==x，∴6-1x=x，x=1-，∴DE=x=1-1．故答案為：1-1．本題考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理以及旋轉的性質，通過勾股定理找出方程是解題的關鍵．16、【解析】

通過觀察原方程可知，常數項是一未知數，而一次項系數為常數，因此可用兩根之和公式進行計算，將2-代入計算即可．【詳解】設方程的另一根為x1，又∵x=2-，由根與系數關系，得x1+2-=4，解得x1=2+．故答案為：解決此類題目時要認真審題，確定好各系數的數值與正負，然后適當選擇一個根與系數的關系式求解．17、．【解析】

先根據勾股定理求出AB的長，進而得出CD的長，由點與圓的位置關系即可得出結論．【詳解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==1．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD?BD=CD2，設AD=x，BD=1-x．解得x=，∴點A在圓外，點B在圓內，r的范圍是，故答案為．本題考查的是點與圓的位置關系，熟知點與圓的三種位置關系是解答此題的關鍵．18、7【解析】

根據翻折變換的性質可得BE=BC，DE=CD，然后求出AE，再求出△ADE的周長=AC+AE．【詳解】∵折疊這個三角形點C落在AB邊上的點E處，折痕為BD，∴BE=BC，DE=CD，∴AE=AB-BE=AB-BC=8-6=2cm，∴△ADE的周長=AD+DE+AE，=AD+CD+AE，=AC+AE，=5+2，=7cm．故答案為：7.本題考查了翻折變換的性質，翻折前后對應邊相等，對應角相等．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19、（1）200；16（2）126；12%（3）見解析（4）940【解析】分析：（1）由于A組的頻數比B組小24，而A組的頻率比B組小12%，則可計算出調查的總人數，然后計算a和b的值；（2）用360度乘以D組的頻率可得到n的值，根據百分比之和為1可得E組百分比；（3）計算出C和E組的頻數后補全頻數分布直方圖；(4）利用樣本估計總體，用2000乘以D組和E組的頻率和即可．本題解析：（）調查的總人數為，∴，，（）部分所對的圓心角，即，組所占比例為：，（）組的頻數為，組的頻數為，補全頻數分布直方圖為：（），∴估計成績優秀的學生有人．點睛：本題考查了頻數（率）分布直方圖：提高讀頻數分布直方圖的能力和利用統計圖獲取信息的能力；利用統計圖獲取信息時，要認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題，也考查了用樣本估計總體.20、（1）A、B兩種品牌得化妝品每套進價分別為100元，75元；（2）A種品牌得化妝品購進10套，B種品牌得化妝品購進40套，才能使賣出全部化妝品后獲得最大利潤，最大利潤是1100元【解析】

（1）求A、B兩種品牌的化妝品每套進價分別為多少元，可設A種品牌的化妝品每套進價為x元，B種品牌的化妝品每套進價為y元．根據兩種購買方法，列出方程組解方程；（2）根據題意列出不等式，求出m的范圍，再用代數式表示出利潤，即可得出答案．【詳解】（1）設A種品牌的化妝品每套進價為x元，B種品牌的化妝品每套進價為y元．得解得：，答：A、B兩種品牌得化妝品每套進價分別為100元，75元．（2）設A種品牌得化妝品購進m套，則B種品牌得化妝品購進（50﹣m）套．根據題意得：100m+75（50﹣m）≤4000，且50﹣m≥0，解得，5≤m≤10，利潤是30m+20（50﹣m）=1000+10m，當m取最大10時，利潤最大，最大利潤是1000+100=1100，所以A種品牌得化妝品購進10套，B種品牌得化妝品購進40套，才能使賣出全部化妝品后獲得最大利潤，最大利潤是1100元．本題考查一元一次不等式組的應用，將現實生活中的事件與數學思想聯系起來，讀懂題列出不等式關系式即可求解．21、（1）①（100﹣x）；②（1﹣x）；③（20+x）；（2）從甲庫運往A庫1噸糧食，從甲庫運往B庫40噸糧食，從乙庫運往B庫80噸糧食時，總運費最省，最省的總運費是2元．【解析】分析：（Ⅰ）根據題意解答即可；（Ⅱ）弄清調動方向，再依據路程和運費列出y（元）與x（噸）的函數關系式，最后可以利用一次函數的增減性確定“最省的總運費”．詳解：（Ⅰ）設從甲庫運往A庫糧食x噸；①從甲庫運往B庫糧食（100﹣x）噸；②從乙庫運往A庫糧食（1﹣x）噸；③從乙庫運往B庫糧食（20+x）噸；故答案為（100﹣x）；（1﹣x）；（20+x）．（Ⅱ）依題意有：若甲庫運往A庫糧食x噸，則甲庫運到B庫（100﹣x）噸，乙庫運往A庫（1﹣x）噸，乙庫運到B庫（20+x）噸．則，解得：0≤x≤1．從甲庫運往A庫糧食x噸時，總運費為：y=12×20x+10×25（100﹣x）+12×15（1﹣x）+8×20×[120﹣（100﹣x）]=﹣30x+39000；∵從乙庫運往A庫糧食（1﹣x）噸，∴0≤x≤1，此時100﹣x＞0，∴y=﹣30x+39000（0≤x≤1）．∵﹣30＜0，∴y隨x的增大而減小，∴當x=1時，y取最小值，最小值是2．答：從甲庫運往A庫1噸糧食，從甲庫運往B庫40噸糧食，從乙庫運往B庫80噸糧食時，總運費最省，最省的總運費是2元．點睛：本題是一次函數與不等式的綜合題，先解不等式確定自變量的取值范圍，然后依據一次函數的增減性來確定“最佳方案”．22、AB≈3.93m．【解析】

想求得AB長，由等腰三角形的三線合一定理可知AB＝2AD，求得AD即可，而AD可以利用∠A的三角函數可以求出．【詳解】∵AC＝BC，D是AB的中點，∴CD⊥AB，又∵CD＝1米，∠A＝27°，∴AD＝CD÷tan27°≈1.96，∴AB＝2AD，∴AB≈3.93m．本題考查了三角函數，直角三角形，等腰三角形等知識，關鍵利用了正切函數的定義求出AD，然后就可以求出AB．23、【解析】分析：該分式方程無解的情況有兩種：（1）原方程存在增根；（2）原方程約去分母后，整式方程無解．詳解：去分母得：x（x-a）-1（x-1）=x（x-1），去括號得：x2-ax-1x+1=x2-x，移項合并得：（a+2）x=1．（1）把x=0代入（a+2）x=1，∴a無解；把x=1代入（a+2）x=1，解得a=1；（2）（a+2）x=1，當a+2=0時，0×x=1，x無解即a=-2時，整式方程無解．綜上所述，當a=1或a=-2時，原方程無解．故答案為a=1或a=-2．點睛：分式方程無解，既要考慮分式方程有增根的情形，又要考慮整式方程無解的情形．24、（1）150，（1）證明見解析（3）【解析】

（1）根據旋轉變換的性質得到△PAP′為等邊三角形，得到∠P′PC＝90°，根據勾股定理解答即可；（1）如圖1，作將△ABP繞點A逆時針旋轉110°得到△ACP′，連接PP′，作AD⊥PP′于D，根據余弦的定義得到PP′＝PA，根據勾股定理解答即可；（3）與（1）類似，根據旋轉變換的性質、勾股定理和余弦、正弦的關系計算即可．試題解析：【詳解】解：（1）∵△ABP≌△ACP′，∴AP＝AP′，由旋轉變換的性質可知，∠PAP′＝60°，P′C＝PB，∴△PAP′為等邊三角形，∴∠APP′＝60°，∵∠PAC＋∠PCA＝×60°＝30°，∴∠APC＝150°，∴∠P′PC＝90°，∴PP′1＋PC1＝P′C1，∴PA1＋PC1＝PB1，故答案為150，PA1＋PC1＝PB1；（1）如圖，作°，使，連接，．過點A作AD⊥于D點．∵°，即，∴．∵AB＝AC，，∴.∴，°．∵AD⊥，∴°.∴在Rt中，.∴．∵°，∴°.∴°．∴在Rt中，.∴；（3）如圖1，與（1）的方法類似，作將△ABP繞點A逆時針旋轉α得到△ACP′，連接PP′，作AD⊥PP′于D，由旋轉變換的性質可知，∠PAP′＝α，P′C＝PB，∴∠APP′＝90°－，∵∠PAC＋∠PCA＝，∴∠APC＝180°－，∴∠P′PC＝（180°－）－（90°－）＝90°，∴PP′1＋PC1＝P′C1，∵∠APP′＝90°－，∴PD＝PA?cos（90°－）＝PA?sin，∴PP′＝1PA?sin，∴4PA1sin1＋PC1＝PB1，故答案為4PA1sin1＋PC1＝PB1．本題考查的是旋轉變換的性質、等邊三角形的性質、勾股定理的應用，掌握等邊三角形的性質、旋轉變換的性質、靈活運用類比思想是解題的關鍵．25、(1)每臺A型100元，每臺B150元;(2)34臺A型和66臺B型;(3)70臺A型電腦和30臺B型電腦的銷售利潤最大【解析】

（1）設每臺A型電腦銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元；根據題意列出方程組求解，（2）①據題意得，y=﹣50x+15000，②利用不等式求出x的范圍，又因為y=﹣50x+15000是減函數，所以x取34，y取最大值，（3）據題意得，y=（100+m）x﹣150（100﹣x），即y=（m﹣50）x+15000，分三種情況討論，①當0＜m＜50時，y隨x的增大而減小，②m=50時，m﹣50=0，y=15000，③當50＜m＜100時，m﹣50＞0，y隨x的增大而增大，分別進行求解．【詳解】解：（1）設每臺A型電腦銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元；根據題意得解得答：每臺A型電腦銷售利潤為100元，每臺B型電腦的銷售利潤為150元．（2）①據題意得，y=100x+150（100﹣x），即y=﹣50x+15000，②據題意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，∵y=﹣50x+15000，﹣50＜0，∴y隨x的增大而減小，∵x為正整數，∴當x=34時，y取最大值，則100﹣x=66，即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦的銷售利潤最大．（3）據題意得，y=（100+m）x+150（100﹣x），即y=（m﹣50）x+15000，33≤x≤70①當0＜m＜50時，y隨x的增大而減小，∴當x=34時，y取最大值，即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦的銷售利潤最大．②m=50時，m﹣50=0，y=15000，即商店購進A型電腦數量滿足33≤x≤70的整數時，均獲得最大利潤；③當50＜m＜100時，m﹣50＞0，y隨x的增大而增大，∴當x=70時，y取得最大值．即商店購進70臺A型電腦和30臺B型電腦的銷售利潤最大．本題主要考查了一次函數的應用，二元一次方程組及一元一次不等式的應用，解