試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級數學中考三輪沖刺反比例函數與一次函數交點壓軸題綜合訓練1．如圖1，在平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸相交于點A，，過點的直線與雙曲線交于，兩點（點在點的右側）．(1)求的值及線段的長；(2)過點作軸于點，過點作軸于點，若，求點C的坐標；(3)將的圖象沿著直線翻折，翻折后的圖象交直線于點，（點在點左側），當時，求的值．2．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象交于點，．(1)求的值和反比例函數的解析式；(2)若點在軸上，當的周長最小時，求出點的坐標．3．如圖所示，一次函數與反比例函數相交于點和點．(1)求一次函數解析式和反比例函數解析式；(2)請根據圖像，直接寫出當時，自變量的取值范圍．4．如圖，雙曲線與直線交于A，C兩點，軸于B，且．(1)求直線的表達式；(2)求的面積．5．如圖，已知直線與反比例函數的圖象交于點A，B，點A的橫坐標為，點B的橫坐標為2．(1)求k和b的值；(2)若點C在反比例函數第一象限內的圖象上，直線與直線交于點M，且，求點C的坐標；(3)若點C在反比例函數第一象限內的圖象上，點D是平面直角坐標系內的一點，且以點A，B，C，D為頂點的四邊形是矩形，求點C的坐標．6．如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象交于兩點．(1)求反比例函數及直線的解析式；(2)點是x軸上的一個動點，若，直接寫出n的取值范圍．7．如圖，一次函數的圖象與反比例函數（）的圖象交于點，點B．(1)求點A的坐標和反比例函數解析式；(2)若點在該反比例函數圖象上，且它到x軸距離大于3，請根據圖象直接寫出m的取值范圍．8．如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象交于兩點．(1)求的值；(2)直接寫出點的坐標；(3)將正比例函數的圖象向上平移個單位長度得到直線，若直線分別交的圖象、軸于，兩點，求的面積．9．如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點、．(1)求反比例函數和一次函數的表達式；(2)利用圖象，直接寫出不等式的解集；(3)在平面內是否存在一點P，使以點O，B，A，P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．10．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點，與反比例函數在第一象限內的圖象交于點，連接，且．(1)求反比例函數的解析式．(2)求直線對應的函數解析式．11．如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于兩點，連接，延長交反比例函數圖象于點C．(1)求一次函數的表達式與反比例函數的表達式；(2)當時，直接寫出自變量x的取值范圍為______；(3)點P是x軸上一點，當時，請求出點P的坐標．12．如圖，直線與軸交于點，且與雙曲線交于、兩點，已知點，為等腰直角三角形，，．(1)①求雙曲線解析式；②求點的坐標．(2)觀察圖象，不等式的解集為_____．13．如圖，一次函數的圖象與反比例函數圖象相交于點，兩點．(1)求一次函數和反比例函數表達式．(2)觀察圖象，當時，自變量的取值范圍是______．(3)求的面積．14．如圖，反比例函數與一次函數的圖象交于點，點B是反比例函數圖象上一點，軸于點C，交一次函數的圖象于點D，連接．(1)直接寫出反比例函數與一次函數的表達式；(2)直接寫出的x取值范圍(3)當時，求的面積．15．如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點和點B．

(1)求反比例函數的表達式及點B的坐標；(2)如圖2，將反比例函數的圖象在第一象限中的部分關于x軸對稱，得到新的反比例函數的圖象．點P在新的圖象上，連接，，，．設的面積為，的面積為，若，求點P的坐標；(3)在（2）的條件下，點Q在反比例函數圖象上，點M在y軸上，連接，，，，若的面積等于的面積，，求點M的坐標．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級數學中考三輪沖刺反比例函數與一次函數交點壓軸題綜合訓練》參考答案1．(1)；(2)(3)【分析】（1）將代入，求出a的值，然后求出點A的坐標，再求出線段的長度即可；（2）根據，得出，，設直線的表達式為，得出，，列出方程，求出結果即可；（3）先根據折疊畫出圖形，再根據相似三角形的性質，得出，根據，得出，設，則，求出，得出點M的坐標，再求出折疊前的坐標，得出答案即可．【詳解】（1）解：把代入得：，解得：，∴直線的解析式為把代入得：，∴點A的坐標為，∴；（2）解：如圖1所示，∵，∴，，設直線的表達式為，∴，，∴，解得（舍）或，∴；（3）解：的圖象沿著直線翻折后，如圖2所示，當時，有，∴，，設，則，解得：，∴根據折疊可知：M在原反比例函數上的對應點為，即此點坐標為：∴．【點睛】本題主要考查一次函數和反比例函數的綜合，相似三角形的性質，勾股定理，折疊的性質，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握反比例函數的性質．2．(1)，(2)點的坐標為【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點，求解析式，軸對稱的性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）理解題意，結合一次函數與反比例函數的圖象交于點，，先求出，故，然后把代入進行求解，即可作答．（2）先理解題意，則作點關于軸的對稱點，結合，易得，再求出直線的解析式為，然后把代入進行求解，即可作答．【詳解】（1）解：把代入反比例函數解析式得：，∴，∴，把代入反比例函數解析式得：，∴；（2）解：如圖，作點關于軸的對稱點，連接交軸于，此時，的周長最小，∵，∴，設直線的解析式為，∴解得，∴直線的解析式為，∴當時，則，∴，∴點的坐標為．3．(1)，(2)或【分析】本題是一次函數與反比例函數的綜合，考查了求函數解析式，利用圖像求不等式的解集等知識；（1）把點B的坐標代入反比例函數式中求得k的值，從而求得反比例函數解析式，進而可求得點A的坐標，再用待定系數法即可求得一次函數解析式；（2）當時，表明一次函數的圖像在反比例函數的圖像上方，觀察圖像即可求得自變量的取值范圍．【詳解】（1）解：∵一次函數與反比例函數相交于點和點，∴，解得，即；把點A坐標代入中，，即；把A、B兩點坐標分別代入中，得，解得：，即．（2）解：由圖像知，當時，或．4．(1)(2)【分析】本題主要考查了反比例函數與一次函數綜合，正確求出對應的函數解析式是解題的關鍵．（1）根據反比例函數比例系數的幾何意義可得，據此求解即可；（2）先求出反比例函數解析式，再求出點C坐標，設與x軸交于D，則，再根據列式求解即可．【詳解】（1）解：∵軸，，且點A在雙曲線的圖象上，∴，∴，∵反比例函數圖象經過第二、四象限，∴，∴，∴直線的表達式為；（2）解：由（1）可知反比例函數解析式為，聯立，解得或，∴，.設與x軸交于D，則，∴，,∴．5．(1)，(2)點C的坐標為或(3)點C的坐標為或【分析】本題是反比例函數的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，待定系數法求函數的解析式，矩形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．（1）設點A的坐標為，代入反比例函數的表達式可得點B的坐標為，將點A，B的坐標分別代入，即可得到結論；（2）由（1）得，求得直線的函數表達式為，設．①當點M在線段上時；②當點M在線段的延長線上時；③，知，則點M不在線段的延長線上，于是得到結論；（3）設點C的坐標為，①當為矩形的邊時，過點B作x軸的平行線，分別過點A，C作這條平行線的垂線，垂足分別為M，N，②當為矩形的對角線時，過點C作y軸的平行線，分別過點A，B作這條平行線的垂線，垂足分別為P，Q，根據相似三角形的性質即可得到結論．【詳解】（1）解：設點A的坐標為，代入反比例函數的表達式，得，∴點B的坐標為，將點A，B的坐標分別代入，得，解得，∴；（2）解：由（1），得，，∴直線的函數表達式為，∵直線與直線交于點M，∴點M在直線上，設，①如圖1，當點M在線段上時，∵，∴，由相似比及線段長度與坐標的關系，得，∴，解得，∴點M的坐標為，此時直線的函數表達式為x，由得（負值舍去），∴點C的坐標為；②如圖2，當點M在線段的延長線上時，∵，∴同①，得，∴，解得，∴點M的坐標為，∴直線的解析式為，由得（負值舍去），∴點C的坐標為；③由，知，則點M不在線段的延長線上，綜上所述，點C的坐標為或；（3）設點C的坐標為，且，①如圖3，當為矩形的邊時，過點B作x軸的平行線，分別過點A，C作這條平行線的垂線，垂足分別為M，N，則，∴，即，化簡，得，解得，（（與點B重合，舍去），∴點C；②如圖4，當為矩形的對角線時，過點C作y軸的平行線，分別過點A，B作這條平行線的垂線，垂足分別為P，Q，則，∴，∴，化簡，得，解得，（負值舍去），（負值舍去），（與點B重合，舍去）；∴點C的坐標為，綜上所述，點C的坐標為或．6．(1)反比例函數的解析式為，直線的解析式為(2)【分析】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題：（1）待定系數法求出函數解析式即可；（2）根據，求出時的的值，即可得出結果．【詳解】（1）解：∵直線與反比例函數的圖象交于兩點，∴，∴，，設直線的解析式為，則：，解得：，∴；（2）∵，，∴，當時，則：，解得：或，∵，∴．7．(1)，(2)或【分析】（1）先求出點A的坐標，再將點A坐標代入反比例函數解析式即可解決問題．（2）求得反比例函數圖象上，且到x軸的距離等于3的點的坐標，然后根據圖象即可得出答案．【詳解】（1）解：將點A坐標代入正比例函數解析式得，，解得，∴點A的坐標為．將A點坐標代入反比例函數解析式得，，解得：∴反比例函數的解析式為．（2）由（1）知，反比例函數的解析式是，當時，則；當時，，由圖象可知，若點在反比例函數圖象上，且它到x軸距離大于3，則m的取值范圍是或．【點睛】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，主要考查了用待定系數法求出反比例函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，反比例函數的性質，主要考查學生的理解能力和計算能力，題目比較典型，難度適中．8．(1)(2)(3)【分析】本題考查了反比例函數的圖象和性質，求函數解析式，一次函數的平移，一次函數與反比例函數的交點問題，利用數形結合的思想解決問題是關鍵．（1）將代入反比例函數解析式，利用待定系數法求解即可；（2）根據反比例函數的圖象是中心對稱圖形，經過原點的直線的兩個交點關于原點對稱求解即可；（3）：設正比例函數的解析式為，利用待定系數法求出，進而得到直線解析式為，利用反比例函數解析式求出，進而得出，再求出，即可得到答案．．【詳解】（1）解：將代入反比例函數解析式，則；（2）解：根據反比例函數的對稱性可知，的坐標為；（3）解：設正比例函數的解析式為，將代入可得，解得：，則將正比例函數的圖象向上平移個單位長度得到直線解析式為，將代入反比例函數解析式，解得，將代入，解得：，∴直線解析式為，令，則，∴，∴，∴．9．(1)反比例函數的解析式為；一次函數的解析式為(2)或(3)點的坐標為或或【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題、求一次函數解析式、求反比例函數解析式、平行四邊形的性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用分類討論與數形結合的思想是解此題的關鍵．（1）利用待定系數法計算即可得解；（2）利用函數圖象即可得解；（3）設，分兩種情況：當以為邊時，當以為對角線時，分別由平行四邊形的性質計算即可得解．【詳解】（1）解：將代入反比例函數可得，解得：，∴反比例函數的解析式為；將代入反比例函數得，∴，∴，將，代入一次函數得，解得：，∴一次函數的解析式為；（2）解：由函數圖象可得：不等式的解集為或；（3）解：設，∵，，，以點O，B，A，P為頂點的四邊形為平行四邊形∴當以為邊時，由平行四邊形的性質可得：或，解得：或，即或，當以為對角線時，由平行四邊形的性質可得：，解得：，即，綜上所述，點的坐標為或或．10．(1)(2)【分析】本題主要考查了反比例函數和一次函數的交點問題，待定系數法求一次函數的解析式，三角形的面積，求得點的坐標是解題的關鍵．(1)先由，得，點，，得，，則點的坐標是，然后利用待定系數法可得反比例函數的解析式；(2)把點、的坐標代入直線的解析式為即可得直線的解析式為．【詳解】（1）解：，，點在第一象限內，，，，點的坐標是，反比例函數過點，反比例函數解析式為；（2）解：把點、的坐標代入得，，解得，直線對應的函數解析式為．11．(1)一次函數解析式為，反比例函數解析式為；(2)或(3)或【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，熟練掌握交點坐標滿足兩個函數解析式是關鍵．（1）待定系數法求出兩個函數解析式即可；（2）根據圖象，直接寫出不等式解集即可；（3）設點坐標為，點，利用代入數據求出值，繼而求出點坐標即可．【詳解】（1）解：（1）一次函數與反比例函數的圖象相交于，兩點，，反比例函數解析式為，，兩點在一次函數圖象上，，解得，一次函數解析式為．（2）由反比例函數對稱軸性質可得點，由圖象可知，當時，自變量的取值范圍為：或．故答案為：或．（3）∵直線解析式為，故直線與軸交點坐標為，與軸交點坐標為，∴，，∴，設點坐標為，點，，解得，∴或12．(1)①；②點的坐標為(2)或【分析】本題考查求反比例函數的解析式、坐標與圖形性質、反比例函數圖象與一次函數圖象的交點問題，熟練掌握反比例函數的圖象與性質，利用數形結合思想求解不等式的解集是解答的關鍵．（1）①利用待定系數法求函數解析式；②根據全等三角形的判定和性質求得A點坐標，再根據函數圖象求解即可；（2）利用圖象，求得直線位于雙曲線的下方部分的點的橫坐標的取值范圍即可．【詳解】（1）解：①把點代入中，可得，解得，∴雙曲線的解析式為；②過點C作軸，交x軸于點N，過點A作，垂足為G∴∵為等腰直角三角形，，∴，，∴∴，∵，，∴，，∴∴，把，代入中，可得，解得∴一次函數解析式為，當時，，解得，∴點的坐標為；（2）解：由圖可得不等式的解集為或．13．(1)一次函數解析式為，反比例函數解析式為(2)或(3)12【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數綜合：（1）先把點A坐標代入反比例函數解析式中求出反比例函數解析式，再把點B坐標代入反比例函數解析式中求出點B坐標，最后把A、B坐標代入一次函數解析式中求出一次函數解析式即可；（2）根據函數圖象找到一次函數圖象在反比例函數圖象下方時自變量的取值范圍即可；（3）設一次函數與y軸交于C，則，，再根據進行求解即可．【詳解】（1）解：把代入反比例函數，得解得，∴反比例函數解析式為，把代入反比例函數中得：，解得，∴，把，代入一次函數解析式中得：，∴，∴一次函數解析式為；（2）解：由函數圖象可知，當時，的取值范圍為或，故答案為：或；（3）解：設一次函數與y軸交于C，當時，，則，∴，∴．14．(1)反比例函數為：，一次函數的解析式為：．(2)(3)【分析】本題主要考查了一次函數與反例函數的綜合問題，待定系數法求反比例函數以及一次函數的解析式．一次函數與反比例函數的交點問題，兩點之間的距離公式等知識，掌握反比例函數的性質以及一次函數的性質是解題的關鍵．（1）利用待定系數法即可求出反比例函數以及一次函數的解析式．（2）根據函數圖象的交點和圖象的位置關系進行解答即可；（3）由已知條件求出點C，點B，點D的坐標，過點B作軸交一次函數的圖象交于點E，過點A作與點F，利用兩點之間的距離公式分別求出，，的值，最后根據即可求出答案．【詳解】（1）解：∵反比例函數與一次函數的圖象交于點，∴，，∴，，∴反比例函數為：，一次函數的解析式為：．（2）∵反比