第12講正態分布【人教A版2019】模塊一模塊一二項分布1．連續型隨機變量隨機變量的取值充滿某個區間甚至整個數軸，但取一點的概率為0，稱這類隨機變量為連續型隨機變量.2．正態分布(1)正態曲線

函數f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0為參數.我們稱f(x)為正態密度函數，稱它的圖象為正態密度曲線，簡稱正態曲線.

(2)正態分布

若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)，則稱隨機變量X服從正態分布，記為.特別地，當μ=0，σ=1時，稱隨機變量X服從標準正態分布.

(3)正態分布的均值和方差

若，則E(X)=μ，D(X)=σ2.3．正態曲線的特點(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關于直線x=μ對稱；

(3)曲線在x=μ處達到峰值；

(4)當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸；

(5)對任意的σ>0，曲線與x軸圍成的面積總為1；

(6)在參數σ取固定值時，正態曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；

(7)當μ取定值時，正態曲線的形狀由σ確定，當σ較小時，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；當σ較大時，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖乙所示.4．3σ原則(1)正態總體在三個特殊區間內取值的概率

P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827；

P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；

P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.

(2)3σ原則

在實際應用中，通常認為服從正態分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取[μ3σ，μ+3σ]中的值，這在統計學中稱為3σ原則.5．正態分布問題的解題策略解決正態分布問題有三個關鍵點：(1)對稱軸x=μ；(2)標準差σ；(3)分布區間.利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由μ，σ，分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為3σ特殊區間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態分布下對稱軸才為x=0.【注】若X服從正態分布，即X～N(μ,)，要充分利用正態曲線關于直線x=μ對稱和曲線與x軸之間的面積為1解題.【題型1正態密度函數】【例1.1】（2425高二下·江蘇·課后作業）已知正態分布密度函數fx=18πe?A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和2【例1.2】（2025高二·全國·課后作業）給出下列函數：①f(x)=12πσe?(x+μ)22σ2；②f(x)=1A．1 B．2 C．3 D．4【變式1.1】（2223高二下·江蘇·課后作業）函數f(x)=12πσeA．

B．

C．

D．

【變式1.2】（2324高二上·全國·課后作業）設隨機變量X服從正態分布，且相應的概率密度函數為f(x)=16πA．μ=2,σ=3 B．μ=3,σ=2C．μ=2,σ=3 D．【題型2正態曲線的特點及性質】【例2.1】（2324高二下·河南南陽·期末）已知三個正態密度函數φi(x)=12πσieA．μ1=μ3>μ2C．μ1=μ3>μ2【例2.2】（2324高二下·浙江溫州·期中）設X~Nμ1,σ1A．μ1>μC．PY≥μ2【變式2.1】（2425高二·全國·課后作業）甲、乙兩類水果的質量（單位：kg）分別服從正態分布Nμ1,σ1（注：正態曲線的函數解析式為f(x)=12π?σA．甲類水果的平均質量μB．乙類水果的質量比甲類水果的質量更集中于均值左右C．甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量大D．乙類水果的質量服從的正態分布的參數σ【變式2.2】（2025高三·江蘇·專題練習）已知三個正態分布密度函數?i(x)=1A．σ1=σ2>C．μ1=μ【題型3利用正態曲線的對稱性求概率】【例3.1】（2324高二下·吉林松原·期末）已知X～Nμ,σ2,PX≥?1+PX≥3A．0.6 B．0.4 C．0.8 D．0.2【例3.2】（2324高二下·廣東東莞·期末）已知隨機變量X服從正態分布N2,σ2，且P(X<3)P(X<1)=4A．35 B．23 C．310【變式3.1】（2324高二下·江蘇南通·期末）已知隨機變量X~N2,σ2，且P(X<1.8)=0.47，則P(2<X≤2.2)=A．0.02 B．0.03 C．0.07 D．0.08【變式3.2】（2324高二下·云南昆明·期中）已知隨機變量X服從正態分布N2,σ2，且P(2<X<3)=0.37，則P(X<3)=A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.87【題型4利用正態曲線的對稱性求參數】【例4.1】（2324高二下·陜西咸陽·階段練習）某生產線正常生產狀態下生產的產品A的一項質量指標X近似服從正態分布N8,σ2，若PX≤2a=PA．8 B．15 C．8 D．15【例4.2】（2425高二下·河北張家口·階段練習）已知隨機變量X服從正態分布N4,σ2，若PX≤1+2a+PA．?1 B．0 C．2 D．6【變式4.1】（2324高二下·江蘇南京·期末）已知隨機變量X服從正態分布N4,σ2σ>0，則“m=3”是“A．充分且不必要條件B．必要且不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【變式4.2】（2324高二下·福建三明·期中）紅外體溫計的工作原理是通過人體發出的紅外熱輻射來測量體溫的，有一定誤差.用一款紅外體溫計測量一位體溫為36.8°C的人時，顯示體溫X服從正態分布N36.8,0.06n，若X的值在36.6,37.0內的概率約為0.9545，則（參考數據：若X~Nμ,σ2A．3 B．4 C．5 D．6【題型5利用3σ原則求概率】【例5.1】（2425高二上·吉林·期末）某學校高二年級數學聯考成績X～N80,625，如果規定大于或等于105分為數學成績“良好”，那么在參加考試的學生中隨機選擇一名，他的數學成績為“良好”的概率是（

（提示：若X~Nμ,σ2，則Pμ?σ<X<μ+σ=0.6827A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135【例5.2】（2324高二下·廣東江門·期末）某校高二級學生參加期末調研考試的數學成績X服從正態分布N95,82，將考試成績從高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分為A，B，C，D（附：Pμ?σ<X<μ+σ≈0.68，Pμ?2σ<X<μ+2σA．A B．B C．C D．D【變式5.1】（2425高二下·河北·階段練習）某質檢員從某生產線生產的零件中隨機抽取了一部分零件進行質量檢測，根據檢測結果發現這批零件的某一質量指數X服從正態分布N50,9，且X落在47,56內的零件個數為81860，則可估計所抽取的零件中質量指數小于44的個數為（

（附：若隨機變量Z服從正態分布Nμ,σ2，則Pμ?σ≤Z≤μ+σ≈0.6827A．270 B．2275 C．2410 D．4550【變式5.2】（2024·河南·三模）已知Pμ?σ≤X≤μ+σ=0.6827,Pμ?2σ≤X≤μ+2σ=0.9545,Pμ?3σ≤X≤μ+3σ=0.9973.某體育器材廠生產一批籃球，單個籃球的質量A．286 B．293 C．252 D．246【題型6正態分布的實際應用】【例6.1】（2324高三下·上海松江·階段練習）王先生每天8點上班，他通常開私家車加步行或乘坐地鐵加步行.私家車路程近一些，但路上經常擁堵，所需時間（單位：分鐘）服從正態分布N38,72，從停車場步行到單位要6分鐘；王先生從家到地鐵站需要步行5分鐘，乘坐地鐵暢通，但路線較長，所需時間（單位：分鐘）服從正態分布N①若7：00出門，則王先生開私家車上班不會遲到②若7：02出門，則王先生開私家車上班不遲到的可能性更大③若7：06出門，則王先生乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大④若7：12出門，則王先生乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到參考數據：若Z~Nμ,σ2，則PZ?μA．1 B．2 C．3 D．4【例6.2】（2324高三上·全國·開學考試）某校高三數學摸底考試成績X（單位：分）近似服從正態分布N110,σ2，且PA．估計該校高三學生人數為1200B．估計該校學生中成績不超過90分的人數為70．C．估計該校學生中成績介于90到110分之間的人數為425．D．估計該校學生中成績不超過90分的人數比超過130分的人數多．【變式6.1】（2024·陜西商洛·模擬預測）隨著網絡技術的迅速發展，各種購物群成為網絡銷售的新渠道.2023年11月某地臍橙開始采摘上市，一臍橙基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售臍橙的情況如下：臍橙數量/盒[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]購物群數量/個1218m3218(1)求實數m的值.并用組中值（每組的中點值）估計這100個購物群銷售臍橙總量的平均數；(2)假設所有購物群銷售臍橙的數量X~Nμ,σ2，其中μ為（1）中的平均數，σ2=14400.若該臍橙基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售的臍橙在[256,616)（單位：盒）內的群為“A級群”，銷售數量小于256盒的購物群為“B附：若X~Nμ,σ2，則P(μ?σ≤X<μ+σ)≈0.683，P(μ?2σ≤X<μ+2σ)≈0.954【變式6.2】（2024·四川瀘州·二模）統計學中有如下結論：若X～Nμ,σ2，從X的取值中隨機抽取kk∈N?(1)假設老板的說法是真實的，隨機購買25份披薩，記這25份披薩的平均值為Y，利用上述結論求PY≤490(2)希爾伯特每天都會將買來的披薩稱重并記錄，25天后，得到的數據都落在475,525上，并經計算得到25份披薩質量的平均值為488.72g附：①隨機變量η服從正態分布Nμ,σ2，則Pμ?σ≤η≤μ+σ②通常把發生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發生．【題型7正態分布與其他知識綜合】【例7.1】（2324高二下·內蒙古通遼·階段練習）全面建設社會主義現代化國家，最艱巨最繁重的任務仍然在農村，強國必先強農，農強方能國強.某市為了解當地農村經濟情況，隨機抽取該地2000戶農戶家庭年收入X（單位：萬元）進行調查，并繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這2000戶農戶家庭年收入的樣本平均數x和樣本方差s2(2)由直方圖可認為農戶家庭年收入X近似服從正態分布Nμ,σ2，其中μ近似為樣本平均數x①估計這2000戶農戶家庭年收入超過9.06萬元的戶數？（結果保留整數）②如果用該地區農戶家庭年收入的情況來估計全市農戶家庭年收入的情況，現從全市農戶家庭中隨機抽取4戶，記年收入不超過9.06萬元的農戶家庭數為ξ，求P(ξ≤3).（結果精確到0.001）附：①2.14≈1.46；②若X～Nμ,σ2【例7.2】（2324高二下·青海海東·階段練習）某公司采購了一批零件，為了檢測這批零件是否合格，從中隨機抽測了120個零件的長度（單位：分米），按數據分成1.2,1.3，1.3,1.4，1.4,1.5，1.5,1.6，1.6,1.7，1.7,1.8這6組，得到如下的頻數分布表：分組1.2,1.31.3,1.41.4,1.51.5,1.61.6,1.71.7,1.8頻數5154040155以這120個零件的長度在各組的頻率作為整批零件的長度在各組的概率．(1)若從這批零件中隨機抽取3個，記X為抽取的零件的長度在1.4,1.6中的個數，求X的分布列和數學期望；(2)若變量S滿足Pμ?σ<S≤μ+σ?0.6827≤0.05，且Pμ?2σ<S≤μ+2σ?0.9545≤0.05，則稱變量S滿足近似于正態分布【變式7.1】（2024·河南·模擬預測）某大型公司進行了新員工的招聘，共有10000人參與.招聘規則為：前兩關中的每一關最多可參與兩次測試，只要有一次通過，就自動進入下一關的測試，否則過關失敗.若連續通過三關且第三關一次性通過，則成功競聘，已知各關通過與否相互獨立.(1)若小李在第一關?第二關及第三關通過測試的概率分別為56,4(2)統計得10000名競聘者的得分X～N420.5,附：若隨機變量X～Nμ,σ【變式7.2】（2324高二下·吉林長春·期末）目前，教師職業越來越受青睞，考取教師資格證成為不少人的就業規劃之一.當前，中小學教師資格考試分筆試和面試兩部分，筆試通過后才能進入面試環節.已知某市2024年共有10000名考生參加了中小學教師資格考試的筆試，筆試成績ξ~N60,(1)利用正態分布的知識，估計該市報考中小學教師資格的10000名筆試考生中，進入面試的人數（結果只保留整數）；(2)現有甲、乙、丙3名考生進入了面試，且他們通過面試的概率分別為34,23,參考數據：若X~Nμ，σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ一、單選題1．（2425高二下·天津·階段練習）如果隨機變量X～N1,σ2，且P?1≤X≤1=0.3A．0.3 B．0.2 C．0.8 D．0.72．（2425高二下·全國·課后作業）如圖是正態分布Nμ,σ12，Nμ,σ22，Nμ,σ32（σ1

A．σ1>σ2>σ3 B．3．（2025高三·全國·專題練習）某校高三年級有1000名學生，在一次檢測考試中，數學成績X～N105,（參考數據：Pμ?σ<X≤μ+σ=0.68，A．0.6810 B．0.9510 C．0.895104．（2425高二上·黑龍江哈爾濱·期中）某市高中數學統考中，甲、乙、丙三所學校的數學成績分別服從正態分布Nμ1,σ1，NA．μ1=μC．μ1>μ5．（2425高三上·山東濟南·期末）已知隨機變量ξ～N2,σ2，且Pξ≤a?3b=Pξ≥b，則當A．1+24 B．3+224 C．6．（2425高三下·上海·階段練習）已知隨機變量X服從正態分布Nμ,σ2A．PB．PC．PD．P7．（2425高三上·浙江·階段練習）若隨機變量X～N12,9，則下列選項錯誤的是（

A．PX>12=0.5 C．E3X?1=35 8．（2324高二下·福建福州·階段練習）已知X～Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827,Pμ?2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545,Pμ?3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.今有一批數量龐大的零件.假設這批零件的某項質量指標引單位：毫米）服從正態分布N5.40,0.052，現從中隨機抽取N個，這N個零件中恰有K個的質量指標ξ位于區間(5.35,5.55).若A．51 B．52 C．53 D．54二、多選題9．（2425高二下·河北滄州·階段練習）下列命題中正確的是（

）A．已知ξ服從正態分布N(0,σ2)，且B．已知ξ服從正態分布N(2,9)，且P(ξ>c)=P(ξ<c?2)，則常數c的值為3C．已知ξ服從正態分布N(2,σ2)，若在(?D．已知ξ～B(4,p)其中0<p<1，則D10．（2425高三下·浙江杭州·階段練習）體育教育既能培養學生自覺鍛煉身體的習慣，又能培養學生開拓進取、不畏艱難的堅強性格.杭州學軍中學西溪校區高三學生參加體育測試，其中理科班女生的成績X與文科班女生的成績Y均服從正態分布，且X~N160,900，Y~NA．EX=160 C．P(X<120)+PX≤200=1 11．（2425高三下·河北滄州·階段練習）已知某學校的數學考試成績X服從正態分布N90,?5參考數據：若X~Nμ,?σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σA．若PX≥2m+1=PB．PC．PD．P三、填空題12．（2324高二下·西藏拉薩·期末）已知隨機變量X服從正態分布N5,σ2，若P5<X≤6=0.27，則13．（2025·河南·一模）統計學中通常認為服從正態分布Nμ,σ2的隨機變量X只取μ?3σ,μ+3σ中的值，簡稱為3σ原則.假設某廠生產的包裝盒的厚度（單位：mm）X～N10,σ2，某天檢測員隨機抽取了一個包裝盒，測得其厚度不小于16mm，他立即判斷生產出現了異常，由此可知14．（2025高三·全國·專題練習）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區多措并舉推動茶葉出口．為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值x=2.1，樣本方差s2=0.01．已知該種植區以往的畝收入X服從正態分布N1.8,0.12，假設推動出口后的畝收入Y服從正態分布Nx,s2，則（若隨機變量①PX>2>0.2；②PX>2<0.5四、解答題15．（2425高二下·全國·課后作業）設X~N3,(1)P(?1≤X≤7)；(2)P(7<X≤11)；(3)P(X>11)．16．（2425高二下·全國·單元測試）在某次數學考試中，考生的成績X服從正態分布X~N(95,225).(1)試求考試成績X位于區間[65,125(2)若這次考試共有3000名考生，試估計考試成績位于區間[80,110（參考數據：P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545）17．（2425高二上·江蘇·假期作業）某校擬對全校學生進行體能檢測，并規定：學生體能檢測成績不低于60分為合格，否則為不合格；若全年級不合格人數不超過總人數的5%(1)為準備體能檢測，甲、乙兩位同學計劃每天開展一輪羽毛球比賽以提高體能，并約定每輪比賽均采用七局四勝制（一方獲勝四局則本輪比賽結束）．假設甲同學每局比賽獲勝的概率均為23(2)經過一段時間的體能訓練后，該校進行了體能檢測，并從高二年級1000名學生中隨機抽取了40名學生的成績作分析．將這40名學生體能檢測的平均成績記為μ，標準差記為σ，高二年級學生體能檢測成績近似服從正態分布N(μ,σ2)．已知μ=74附：若隨機變量ξ~N(μ,σ2)，則P(μ?σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954518．（2024·河北保定·二模）單位面積穗數