空間向量研究“夾角”問題一、教材分析：立體幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要的地位，它培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力，是歷年高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一。用向量法處理幾何問題，可使空間形式的研究從“定性”推理轉(zhuǎn)化為“定量”計(jì)算.空間角又是立體幾何中的重要知識(shí)點(diǎn)，學(xué)好了它對(duì)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)及貫穿運(yùn)用有很大的幫助。二、學(xué)情分析學(xué)生雖已學(xué)完了立體幾何，也對(duì)立體幾何有了一定的認(rèn)識(shí)，但由于空間角是一個(gè)難點(diǎn)，一般的方法是由“作、證、算”三部分組成，學(xué)生對(duì)作出空間角的方法即如何化空間角為平面角并在可解三角形中來求解有一定的困難，還不能熟練掌握，而空間向量的引入，使立幾問題演繹難度降低，相比較來說過關(guān)比較容易，因此有必要對(duì)此內(nèi)容通過引入空間向量的方法進(jìn)行專題訓(xùn)練，使學(xué)生能更好地掌握。三、教學(xué)目標(biāo)1：掌握利用空間向量求空間角(兩條異面直線所成的角，直線和平面所成的角及二面角)的方法，并能熟練準(zhǔn)確的求解結(jié)果及完整合理的表達(dá)。2：培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、類比轉(zhuǎn)化的能力；體驗(yàn)從“定性”推理到“定量”計(jì)算的轉(zhuǎn)化，提高分析問題、解決問題的能力.使學(xué)生更好的掌握化歸和轉(zhuǎn)化的思想。3：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和求知欲，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位；感受和體會(huì)數(shù)學(xué)美的魅力，激發(fā)“學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)”的熱情。教學(xué)重點(diǎn)：（1）向量法求空間角的方法和公式；(2)空間角與向量夾角的區(qū)別和聯(lián)系。教學(xué)難點(diǎn)：(1)兩條異面直線的夾角、二面角的平面角與兩個(gè)空間向量的夾角之間的區(qū)別(2)構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并正確求出點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).關(guān)鍵：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確寫出空間向量的坐標(biāo)，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，四、教學(xué)方法啟發(fā)式講解互動(dòng)式討論研究式探究反饋式評(píng)價(jià)五、教學(xué)過程引入：建立空間向量與幾何要素的對(duì)應(yīng)關(guān)系是利用空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵。上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了運(yùn)用空間向量研究立體幾何中有的距離問題，這節(jié)課，我們接著研究用向量方法研究直線與直線所成的角、直線與平面所成的角以及平面與平面的夾角問題。問題1：異面直線所成角的定義是什么？取值范圍是什么？在必修中我們是如何求異面直線所成角的？學(xué)生回答：如是兩條異面直線，過空間中任意一點(diǎn)O，分別作直線，我們把直線與所成的角叫做異面直線與所成的角。異面直線所成的角的取值范圍是。在必修中我們求異面直線所成的角步驟是：一找，二證，三求，四答。【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生回憶舊知識(shí)，以建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。問題2：如圖，在棱長為1的正四面體中，分別為的中點(diǎn)，求直線和夾角的余弦值。追問1：直線和是否為異面直線？學(xué)生回答：是。追問2：按照必修所學(xué)的方法我們怎么求直線和夾角的余弦值？學(xué)生回答：連接，取的中點(diǎn)，連接、，在三角形中，分別為的中點(diǎn)∴∴（或其補(bǔ)角）即為異面直線和夾角在三角形中，，，由余弦定理得：∴直線和夾角的余弦值為【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生回憶必修時(shí)求異面直線的步驟和方法。追問3：誰能在此題中找到一組基底，并將向量用這組基底表示出來？學(xué)生回答：CACBCD為基底，則MA=CACM=CA1【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生尋找基底，學(xué)生表示向量，可能表示的結(jié)果有所不同，但“殊途同歸”。追問4：直線和夾角的余弦值是否與向量夾角的余弦值相等？學(xué)生回答：不一定。因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的范圍是，而向量夾角的范圍是，所以他們可能相差一個(gè)負(fù)號(hào)。也就是說，設(shè)向量夾角為，則直線和夾角的余弦值為.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)異面直線所成的角與向量的夾角的異同。追問5：誰能計(jì)算出向量MA和CN夾角的余弦值學(xué)生回答：，而都是正三角形，所以，∴，∴直線和夾角的余弦值為【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)學(xué)生的表達(dá)規(guī)范與運(yùn)算能力。追問6：誰能對(duì)比一下必修的方法和向量的方法？學(xué)生回答：必修的方法需要做輔助線找異面直線所成的角，還需要證明平行，利用解三角形的方法求角，有的時(shí)候找不到角就無從下手了，而向量的方法只需要我們找到基底計(jì)算就可以了。以后遇到容易找到異面直線所成角的題就選擇用必修的方法，遇到容易找到基底的問題就選擇用向量的方法。【方法小結(jié)】研究立體幾何問題要注意轉(zhuǎn)化思想，將立體幾何問題化為向量問題進(jìn)行向量運(yùn)算回到圖形，解決立體幾何問題。一般地，兩條異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為兩條異面直線方向向量的夾角.問題3：直線與平面所成角的定義是什么？取值范圍是什么？在必修中我們是如何求直線與平面所成角的？學(xué)生回答：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，如果直線垂直于平面，我們說它們所成的角為90°，一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角為0°。直線與平面所成的角的取值范圍是。在必修中我們求直線與平面所成的角步驟是：一找，二證，三求，四答。【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生回憶舊知識(shí)，以建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。問題4：直線和平面所成的角能否轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角的問題解決，如果能，該如何轉(zhuǎn)化.學(xué)生回答：可以轉(zhuǎn)化。如圖所示，直線與平面相交于點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，直線的方向向量與平面的法向量，則【設(shè)計(jì)意圖】揭示用向量法解決直線和平面所成角的理論依據(jù)。追問1：如果上圖中的法向量的方向向下，那么是否依然成立？學(xué)生回答：依然成立?！驹O(shè)計(jì)意圖】思考問題應(yīng)該全面。問題5：什么是兩個(gè)平面的夾角？學(xué)生回答：平面與平面相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角成為平面與平面的夾角。【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生清楚兩個(gè)平面夾角與二面角的區(qū)別。追問1：兩個(gè)平面的夾角的取值范圍是什么？學(xué)生回答：【設(shè)計(jì)意圖】清楚兩個(gè)平面夾角的范圍。問題6：兩個(gè)平面夾角問題能否轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量的夾角的問題解決，如果能，該如何轉(zhuǎn)化.學(xué)生回答：可以轉(zhuǎn)化。兩平面的夾角可轉(zhuǎn)化為兩平面法向量的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面與平面的夾角為，平面，的法向量分別是，則【設(shè)計(jì)意圖】揭示用向量法解決直線和平面所成角的理論依據(jù)。追問1：如果上圖中的一個(gè)法向量反向，或者兩個(gè)法向量都反向，那么上述結(jié)論是否依然成立？學(xué)生回答：依然成立?！驹O(shè)計(jì)意圖】思考問題應(yīng)該全面。問題7：如圖1.422，直棱柱中，，，，為中點(diǎn)，分別在棱，上，，.求平面與平面夾角的余弦值.追問1：平面與平面夾角問題能否轉(zhuǎn)化為它們的法向量的夾角問題？學(xué)生回答：可以轉(zhuǎn)化。設(shè)平面法向量為，平面法向量為，平面與平面夾角即為，的夾角或其補(bǔ)角。追問2：能否建立空間直角坐標(biāo)系，如果能，你會(huì)怎樣建系？學(xué)生回答：可以建立。以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為建立空間直角坐標(biāo)系。追問3：誰能求出平面法向量為和平面法向量為學(xué)生回答：易知：平面的一個(gè)法向量為.由題意，，，，，.設(shè)，則即∴取，追問4：誰能求出平面與平面夾角的余弦值學(xué)生回答：設(shè)平面與平面夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)學(xué)生的表達(dá)規(guī)范與運(yùn)算能力。問題8：哪位同學(xué)們可以總結(jié)一下本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)？學(xué)生回答：用空間向量解決立體幾何夾角問題的“三部曲”：建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、線、面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；通過向量的運(yùn)算，研究立體幾何中夾角夾角問題：把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何問題.課后反思“利用空間向量研究夾角問題”選題背景是必修2學(xué)過立體幾何而選擇性必修一又學(xué)到空間向量在立體幾何中的應(yīng)用學(xué)生在必修2的知識(shí)解決空間角的時(shí)候?qū)ζ矫娼堑睦斫獠坏轿?，不容易找到平面角，針?duì)這種情況，我特意選了本節(jié)內(nèi)容來講。整節(jié)課我是這樣設(shè)計(jì)的。本著以學(xué)生為主，教師為輔這一原則。利用學(xué)生的求知欲和好勝心這一特點(diǎn)，循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生歸納推導(dǎo)及應(yīng)用。讓學(xué)生采用兩種不同的方法解題，體會(huì)異同，最終讓學(xué)生在知識(shí)上有所掌握，在能力和意識(shí)上有所收獲。一．這節(jié)課我滿意的有以下幾個(gè)地方(1)這節(jié)課的主講不是我，是學(xué)生。我要做的是設(shè)置問題和激發(fā)興趣至于整個(gè)分析過程和解決過程都是由學(xué)生來完成的。這節(jié)課學(xué)生積極參與，注意力集中，求知欲強(qiáng)，參與面大，在課堂中能夠進(jìn)行有效的合作與平等的交流。(2)課程的設(shè)置這節(jié)課是一個(gè)小專題，是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用向量方法求線線角、線面角、面面角，整個(gè)設(shè)計(jì)過程符合學(xué)生的認(rèn)知過程，學(xué)生也