10.2解二元一次方程組【10個必考點】【人教版2024】TOC\o"13"\h\u【知識點1代入消元法解二元一次方程組】 1【必考點1代入消元法解方程組的步驟判斷】 2【必考點2用代入消元法解二元一次方程組】 3【知識點2加減消元法解二元一次方程組】 3【必考點3加減消元法解方程組的步驟判斷】 4【必考點4用加減消元法解二元一次方程組】 4【必考點5用合適的方法解二元一次方程組】 5【必考點6用換元法解二元一次方程組】 6【必考點7用整體代入法解二元一次方程組】 7【必考點8解含參的二元一次方程組（解相同）】 8【必考點9解含參的二元一次方程組（解出錯）】 8【必考點10解含參的二元一次方程組（解滿足條件）】 9【知識點1代入消元法解二元一次方程組】用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關(guān)于（或）的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解.【易錯點剖析】①用代入法解二元一次方程組時，應(yīng)先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；②變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；③要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個整體用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率.【必考點1代入消元法解方程組的步驟判斷】【例1】用代入法解方程組2x+3y=8①3x?5y=5②（1）由①得x=8?3y2（2）把③代入②得3×8?3y2?（3）去分母得24﹣9y﹣10y＝5；（4）解之得y＝1，再由③得x＝2.5．A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【變式1】解方程組3m?4n=7①9m?10n+25=0②A．由①得m=7+4n3，再代入B．由②得m=10n?259，再代入C．由①得3m＝4n+7，再代入② D．由②得9m＝10n﹣25，再代入①【變式2】用代入法解方程組s+t=1①3s?5t=8②A．由②得t=3s?85，再代入B．由②得s=8+5t3，再代入C．由①得s＝1﹣t，再代入② D．由①得t＝s﹣1，再代入②【變式3】用代入法解方程組2x+3y?2=0，①4x+1=9y，②A．先將①變形為x=3y?22，再代入B．先將①變形為y=2?2x3，再代入C．先將②變形為x=94y?1D．先將②變形為y＝9（4x﹣1），再代入①【必考點2用代入消元法解二元一次方程組】【例1】用代入消元法解下列方程組：（1）3x+2y=75y?x=9（2）x+3y=105x?4y=12【變式1】用代入法解下列方程組：（1）2x+3y=?19①x+5y=1②（2）2x?3y=1①y+1【變式2】用代入法解下列方程組：（1）2x+4y=5①x=1?y②（2）3m=5n①2m?3n=1②【變式3】用代入消元法解二元一次方程組：（1）4x+y=153x?2y=3（2）x?y【知識點2加減消元法解二元一次方程組】用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；⑤將兩個未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.【易錯點剖析】當方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時，用加減消元法較簡單.【必考點3加減消元法解方程組的步驟判斷】【例1】小麗在用“加減消元法”解二元一次方程組5x?2y=4①2x+3y=9②時，利用①×a+②×b消去x，則a、bA．a(chǎn)＝2，b＝5 B．a(chǎn)＝3，b＝2 C．a(chǎn)＝﹣3，b＝2 D．a(chǎn)＝2，b＝﹣5【變式1】利用加減消元法解方程組2x+3y=?10①3x?5y=?6②A．要消去y，可以將①×5+②×2 B．要消去x，可以將①×5+②×2 C．要消去y，可以將①×5+②×3 D．要消去x，可以將①×（﹣5）+②×2【變式2】用加減消元法解方程組2x+5y=?10①，5x?3y=2②時，有如下四種解法，甲：①×3﹣②×5，①×（﹣5）+②×2，丙：①×3+②×5，丁：①×5﹣②A．只有甲 B．乙和丙 C．丁和乙 D．丙和丁【變式3】利用加減消元法解方程組3x+4y=16①5x?6y=33②，嘉嘉說：要消去x，可以將①×5﹣②×3；琪琪說：要消去y，可以將①×3+②A．嘉嘉對，琪琪不對 B．嘉嘉不對，琪琪對 C．嘉嘉和琪琪都不對 D．嘉嘉和琪琪都對【變式4】已知二元一次方程組：①x=y3x?2y=1；②5x?2y=?13x+2y=0；③5x?3y=2y=6+2x；A．①②用代入法，③④用加減法 B．①③用代入法，②④用加減法 C．②③用代入法，①④用加減法 D．②④用代入法，①③用加減法【必考點4用加減消元法解二元一次方程組】【例1】用加減消元法解二元一次方程組：（1）5x+2y=253x+4y=15（2）2x+3y=1y?1【變式1】用加減法解下列方程組：（1）x?2y=13x+2y=3（2）x2【變式2】用加減消元法解方程：（1）4x+7y=?194x?5y=17（2）3(x?1)=y+55(y?1)=3(x+5)【變式3】用加減法解下列方程組（1）2x?y=57x?3y=20（2）x+y2【必考點5用合適的方法解二元一次方程組】【例1】解方程組：（1）2x?y=55x+2y=8（2）x+y2【變式1】解下列方程組：（1）3y?2x=1x+2（2）6(x?y)?7(x+y)=212(x?y)?5(x+y)=?1【變式2】解方程組：（1）x+1=6y2(x+1)?y=11（2）x+4y=28x?2【變式3】解下列二元一次方程組：（1）x+2y=10?3x+5y=3（2）3(x?y)2【必考點6用換元法解二元一次方程組】【例1】如果關(guān)于x，y的二元一次方程組3x?ay=162x+by=15的解是x=7y=1，求下列關(guān)于x，3(x+y)?a(x?y)=162(x+y)+b(x?y)=15【變式1】已知關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1a2【變式2】數(shù)學(xué)方法：解方程組：3(2x+y)?2(x?2y)=262(2x+y)+3(x?2y)=13，若設(shè)2x+y＝m，x﹣2y＝n，則原方程組可化為3m?2n=262m+3n=13，解方程組得m=8n=?1，所以2x+y=8（1）直接填空：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組ax+by=6bx+ay=3，的解為x=?2y=4，那么關(guān)于m、n的二元一次方程組a(m+n)+b(m?n)=6b(m+n)+a(m?n)=3的解為：（2）知識遷移：請用這種方法解方程組x+y2（3）拓展應(yīng)用：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1a2【變式3】在解方程組2x+3y3+4x?3y2=72x+3y4+4x?3y3=5時，某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：如果直接用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，也容易出錯，如果把方程組中的2x+3y、4x﹣3y分別看作一個整體，通過換元：設(shè)m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，可以將原方程組化為m3+n2=7m4+n3=5，解得（1）若方程組3x+by=1ax+y=6的解為x=1y=1，則方程組3(x?2)+b(y+2)=1a(x?2)+(y+2)=6的解為（2）若方程組a1x+b1y=c1【必考點7用整體代入法解二元一次方程組】【例1】閱讀材料：小強同學(xué)在解方程組x+y+3=104(x+y)?y=25時發(fā)現(xiàn)，可將第一個方程通過移項變形為x+y＝7，然后把第二個方程中的x+y（1）請按照小強的解法解出這個方程組；（2）用整體代入法解方程組2x+3y=?46x?5y=16【變式1】閱讀材料：善思考的小軍在解方程組2x+5y=3①4x+11y=5②解：將方程②變形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程組的解為x=4y=?1請你模仿小軍的“整體代入”法解方程組3x?2y=59x?4y=19【變式2】先閱讀材料，然后解方程組．材料：解方程組：x+y?2=0①3(x+y)?y=4②由①，得x+y＝2．③把③代入②，得3×2﹣y＝4，解得y＝2．把y＝2代入③，得x＝0．∴原方程組的解為x=0y=2這種方法稱為“整體代入法”，你若留心觀察，有很多方程組可采用此方法解答，請用這種方法解方程組：3x?2y?1=0①6x?4y+3【變式3】數(shù)學(xué)活動課上，小云和小輝在討論老師出示的一道二元一次方程組的問題：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組3x+4①x+2y=2?3m②的解滿足2x+3y＝1③，求m小云：將①③聯(lián)立可得一個新的不含m的二元一次方程組．小輝：哈哈！直接①+②可以更簡便地求出m的值．（1）按照小云的方法，求出x，y的值；（2）老師說，小輝的方法體現(xiàn)了整體代入的思想，請按照小輝的思路求出m的值．【必考點8解含參的二元一次方程組（解相同）】【例1】已知方程組2x+5y=?6ax?by=?4的解和方程組bx+ay=?83x?5y=16的解相同，求（2a+b）【變式1】若關(guān)于x，y的方程組mx+2ny=4x+y=1與nx+(m?1)y=3（1）求這個相同的解；（2）求m，n的值．【變式2】已知關(guān)于x，y的方程組2x+3y=7mx+ny=5和方程組5x?2y=8（1）求m，n的值．（2）求3m﹣2mn+m2﹣1的值．【變式3】已知關(guān)于x，y的方程組mx+2ny=4，x+y=1與x?y=3，（1）求這個相同的解；（2）求m，n的值；（3）小明同學(xué)說：“無論a取何值，（1）中的解都是關(guān)于x，y的方程（3+a）x+（2a+1）y＝5的解．”這句話對嗎？請你說明理由．【必考點9解含參的二元一次方程組（解出錯）】【例1】在解方程組ax+5y=154x?by=?2時，甲看錯了方程組中的a，得到的解為x=?3y=1，乙看錯了方程組中的b，得到的解是（1）求原方程組中a、b的值各是多少？（2）求出原方程組中的正確解．【變式1】甲、乙兩同學(xué)同時解關(guān)于x、y的方程組mx+y=32x?ny=9，甲看錯了m，解出的結(jié)果是x=152y=?3；乙看錯了n，解出的結(jié)果是x=4y=?5【變式2】小鑫、小童兩人同時解方程組12ax?by=1①ax?y=17②時，小鑫看錯了方程②中的a，解得x=4y=1，小童看錯了①中的（1）求正確的a，b的值；（2）求原方程組的正確解．【變式3】已知關(guān)于x，y的二元一次方程組ax?4y=105x+by=42，甲由于看錯了方程組中的a，得到的方程組的解為x=12y=?3，乙由于看錯了b，得到方程組的解為（1）求a，b的值；（2）若方程組ax?4y=105x+by=42的解與方程組2mx+ny=6mx+2ny=?6的解相同，求2m﹣【必考點10解含參的二元一次方程組（解滿足條件）】【例1】已知關(guān)于x，y的方程組x+3y=2k+4x?2y=k（1）若方程組的解互為相反數(shù)，求k的值；（2）若方程組的解滿足方程3x+y＝10，求k的值．【變式1】已知關(guān)于x、y的方程組x+2y=k?1①3x+y=5k+4②（1）解這個方程組（結(jié)