第15章概率章末題型歸納總結（能力篇）章末題型歸納目錄模塊一：本章知識思維導圖模塊二：知識點總結模塊三：典型例題題型一：事件的運算題型二：概率的基本性質題型三：互斥事件、對立事件與相互獨立事件題型四：古典概型題型五：相互獨立事件概率的計算題型六：概率綜合問題

模塊一：本章知識思維導圖

模塊二：知識點總結知識點1：樣本空間和隨機事件1、隨機試驗我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母表示．我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：（1）試驗可以在相同條件下重復進行；（2）試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結果．2、樣本空間我們把隨機試驗的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點，如果一個隨機試驗有個可能結果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．3、隨機事件、確定事件（1）一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．當且僅當中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件發(fā)生．（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件．（3）空集不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱為為不可能事件．（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對隨機事件的確定事件．知識點2：兩個事件的關系和運算1、事件的關系與運算①包含關系：一般地，對于事件和事件，如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時稱事件包含事件（或者稱事件包含于事件），記作或者．與兩個集合的包含關系類比，可用下圖表示：不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．②相等關系：一般地，若且，稱事件與事件相等．與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當且僅當事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當且僅當事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．與兩個集合的交集類比，可用下圖表示：2、互斥事件與對立事件（1）互斥事件：在一次試驗中，事件和事件不能同時發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用下圖表示：如果，，…，中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．（2）對立事件：若事件和事件在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對立事件，事件的對立事件記為．（3）互斥事件與對立事件的關系①互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生．②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．知識點3：概率與頻率（1）頻率：在次重復試驗中，事件發(fā)生的次數稱為事件發(fā)生的頻數，頻數與總次數的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．（2）概率：在大量重復盡心同一試驗時，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個常數，并且在它附近擺動，這時，就把這個常數叫做事件的概率，記作．（3）概率與頻率的關系：對于給定的隨機事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗次數的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計概率．知識點4：古典概型（1）定義一般地，若試驗具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．（2）古典概型的概率公式一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率．知識點5：概率的基本性質（1）對于任意事件都有：．（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個發(fā)生）的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和，即：．（4）對立事件的概率：若事件與事件互為對立事件，則，，且．（5）概率的單調性：若，則．（6）若，是一次隨機實驗中的兩個事件，則．知識點6：相互獨立1、相互獨立事件的概念對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱為獨立．2、相互獨立事件的性質（1）事件與是相互獨立的，那么與，與，與也是否相互獨立．（2）相互獨立事件同時發(fā)生的概率：．

模塊三：典型例題題型一：事件的運算【典例11】（2025·高二·山東淄博·階段練習）對空中移動的目標連續(xù)射擊兩次，設兩次都擊中目標兩次都沒擊中目標{恰有一次擊中目標}，至少有一次擊中目標}，下列關系不正確的是（

）A． B．C． D．【典例12】（2025·高二·四川遂寧·階段練習）拋擲一顆質地均勻的骰子，有如下隨機事件：“點數為”，其中；“點數不大于2”，“點數大于2”，“點數大于4”下列結論是判斷錯誤的是

（

）A．與互斥 B．，C． D．，為對立事件【變式11】（2025·高一·全國·單元測試）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，則下列關系不正確的是（

）A． B． C． D．【變式12】（2025·高二·湖南長沙·階段練習）甲、乙兩人對同一個靶各射擊一次，設事件“甲擊中靶”，事件“乙擊中靶”，事件“靶未被擊中”，事件“靶被擊中”，事件“恰一人擊中靶”，對下列關系式（表示的對立事件，表示的對立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正確的關系式的個數是（

）A． B． C． D．【變式13】（2025·高二·廣東佛山·階段練習）向上拋擲一枚均勻的骰子兩次，事件表示兩次點數之和小于8，事件表示兩次點數之和既能被2整除又能被3整除，則事件用樣本點表示為（

）A． B．C． D．題型二：概率的基本性質【典例21】（2025·高二·廣西欽州·期末）已知事件與互斥，且，，則.【典例22】（2025·高三·全國·專題練習）已知某藝術協(xié)會的會員中，有的會員喜愛書畫或戲曲，有的會員喜愛書畫，有的會員同時喜愛書畫、戲曲．現(xiàn)從該協(xié)會中隨機抽取一名會員，該會員喜愛戲曲的概率為．【變式21】（2025·高二·安徽·期中）現(xiàn)有10名巴黎奧運會志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，從中隨機地接連抽取3名（每次取一個），派往參與高臺跳水項目的志愿者服務.則“恰有一名女志愿者”的概率是.【變式22】（2025·高二·浙江·期末）設是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則．【變式23】（2025·高一·江蘇常州·期末）一只不透明的袋子中裝有形狀、大小都相同的5個小球，其中2個黃球、2個白球、1個紅球．先后從中無放回地取兩次小球，每次隨機取出2個小球，記下顏色計算得分，得分規(guī)則如下：“2個小球顏色相同”加1分，“2個小球顏色一黃一白”得0分，“2個小球中有紅球”減1分，則“兩次得分和為0分”的概率為．題型三：互斥事件、對立事件與相互獨立事件【典例31】（2025·高一·河南焦作·期末）某科研小組共60名成員，他們需要完成甲、乙、丙、丁四個科研項目，科研成員隨機參與，且每個人可以參與一個或多個項目．若參與甲項目的有30人，參與乙項目的有10人，參與丙項目的有20人，參與丁項目的有30人，參與了甲項目或乙項目的共有40人，同時參與了甲項目和丙項目的有10人，參與了甲項目或丁項目的共有60人，則下列說法正確的是（

）A．參與甲項目與參與乙項目不互斥 B．參與甲項目與參與丁項目互斥但不對立C．參與丙項目與參與丁項目不相互獨立 D．參與甲項目與參與丙項目相互獨立【典例32】（2025·高一·云南·期末）已知甲盒中有3個大小和質地相同的小球，標號為，乙盒中有3個大小和質地相同的小球，標號為，現(xiàn)從甲?乙兩盒中分別隨機摸出1個小球，記事件“摸到的兩個小球標號相同”，事件“摸到的兩個小球標號之和為奇數”，則（

）A．事件A和相等 B．事件A和互相對立C．事件A和相互獨立 D．事件A和互斥【變式31】（2025·高一·河南安陽·階段練習）袋子中有5個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，從中隨機取出兩個球，設事件A=“取出的球的數字之積為奇數”，事件B=“取出的球的數字之積為偶數”，事件C=“取出的球的數字之和為偶數”，事件D=“取出的球的數字之和大于5”，則下列說法錯誤的是（

）A．事件A與B是互斥事件 B．事件A與B是對立事件C．事件C與D相互獨立 D．事件C與D不是互斥事件【變式32】（2025·高二·上海楊浦·期末）已知，，，則事件與的關系是（

）A．與互斥不對立 B．與對立C．與相互獨立 D．與既互斥又獨立【變式33】（2025·廣東·模擬預測）在一個質地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數字，記事件為“兩次記錄的數字之和為奇數”，事件為“第一次記錄的數字為奇數”，事件為“第二次記錄的數字為偶數”，則下列結論正確的是（

）A．事件與事件是對立事件 B．事件與事件不是相互獨立事件C． D．題型四：古典概型【典例41】（2025·高二·云南·階段練習）已知甲組共20人，乙組共30人，現(xiàn)按比例采用分層隨機抽樣的方法從這兩組中共抽取5人參加升國旗儀式，在被抽取的這5人中隨機抽取2人擔任旗手，則被抽取的這2人中至少有1人是甲組的概率為（

）A． B． C． D．【典例42】（2025·高三·全國·專題練習）已知，則函數存在兩個零點的概率為（

）A． B． C． D．【變式41】（2025·云南曲靖·一模）有一組樣本數據為0，1，2，3，4，5，在其中添加一個數構成一組新的樣本數據，若，則新舊樣本數據的第25百分位數相等的概率為（

）A． B． C． D．【變式42】（2025·高一·江西·期末）某汽車站每天均有3輛開往省城的分為上、中、下等級的客車，發(fā)車順序隨機，某天袁先生準備在該汽車站乘車前往省城辦事，他先放過第一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二輛，否則上第三輛，則他沒有乘坐下等車的概率為（

）A． B． C． D．【變式43】（2025·高二·湖北·開學考試）小明同學有6把鑰匙，其中2把能打開門．如果隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能開門的鑰匙扔掉，第二次才能打開門的概率為；如果試過的鑰匙又混進去，第二次才能打開門的概率為，則，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，題型五：相互獨立事件概率的計算【典例51】（2025·高二·北京·階段練習）甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知兩人能破譯的概率分別是，，則（

）A．密碼被成功破譯的概率為 B．密碼被成功破譯的概率為C．兩人都成功破譯的概率為 D．兩人都成功破譯的概率為【典例52】（2025·高三·甘肅白銀·階段練習）甲、乙、丙三人各自計劃去河南洛陽旅游，他們在3月25日到3月27日這三天中的一天到達河南洛陽，他們在哪一天到達河南洛陽相互獨立，互不影響，且他們各自在3月25日、3月26日、3月27日到達河南洛陽的概率如下表所示：到達日期3月25日.3月26日3月27日0.30.40.30.40.50.10.20.30.5設甲、乙兩人在同一天到達河南洛陽的概率為，甲、丙兩人在同一天到達河南洛陽的概率為，乙、丙兩人在同一天到達河南洛陽的概率為，則（

）A． B． C． D．【變式51】（2025·上海崇明·二模）拋擲一枚質地均勻的硬幣n次（其中n為大于等于2的整數），設事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A與事件B是獨立的，則n的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【變式52】（2025·高三·安徽阜陽·開學考試）泊松分布是統(tǒng)計學里常見的離散型概率分布，由法國數學家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列為，其中為自然對數的底數，是泊松分布的均值.已知某線路每個公交車站臺的乘客候車相互獨立，且每個站臺候車人數服從參數為的泊松分布.若該線路某站臺的候車人數為2和3的概率相等，則該線路公交車兩個站臺共有2個乘客候車的概率為（

）A． B． C． D．【變式53】（2025·高一·安徽阜陽·階段練習）甲、乙兩人獨立破譯一個密碼，甲獨立破譯密碼的概率為，乙獨立破譯密碼的概率為，則恰有一人破譯密碼的概率為（

）A．0.4 B．0.6 C． D．0.76題型六：概率綜合問題【典例61】（2025·河南·二模）為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將生長情況相同的80只小鼠隨機均分為兩組：對照組（不含藥物）和實驗組（添加藥物），飼養(yǎng)相同時間后，分別測量這兩組小鼠的體重增加量（單位：g），并對數據進行分析，得到如下頻率分布直方圖：(1)估計實驗組小鼠體重增加量的80%分位數；(2)將這兩組小鼠的體重增加量，從低到高分為三個等級：體重增加量/g等級較輕中等較重假設對照組和實驗組小鼠體重增加量的等級結果相互獨立.根據所給數據，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從實驗組和對照組中各隨機抓取一只小鼠，求抓取的實驗組小鼠體重增加量的等級高于對照組小鼠體重增加量的等級的概率.【典例62】（2025·北京朝陽·一模）某高中組織學生研學旅行．現(xiàn)有A，B兩地可供選擇，學生按照自愿的原則選擇一地進行研學旅行．研學旅行結束后，學校從全體學生中隨機抽取100名學生進行滿意度調查，調查結果如下表：高一高二高三A地B地A地B地A地B地滿意122183156一般226568不滿意116232假設所有學生的研學旅行地點選擇相互獨立．用頻率估計概率．(1)估計該校學生對本次研學旅行滿意的概率；(2)分別從高一、高二、高三三個年級中隨機抽取1人，估計這3人中至少有2人選擇去B地的概率；(3)對于上述樣本，在三個年級去A地研