試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【高中數學競賽真題?強基計劃真題考前適應性訓練】專題13數學歸納法真題專項訓練（全國競賽+強基計劃專用）一、填空題1．（2019·全國·高三競賽）在數列中，，，其中，[x]表示不超過實數x的最大整數.則=_______.【答案】2009【詳解】由已知得.下面用數學歸納法證明：.顯然，當n=1時，結論成立.假設當n=k時，結論成立，即.則當n=k+1時，==，.故當n=k+1時，結論也成立.綜上，，總成立.因此，.故答案為20092．（2019·全國·高三競賽）已知實數列定義為，.設.則中有______個完全平方數.【答案】無限.【詳解】設.則.①由，得.若，則由，知.故當時，.又由式①知當時，為奇數，為偶數.于是，，.則.由歸納法知.所以，為完全平方數.故答案為無限二、解答題3．（2021·全國·高三競賽）數列滿足：，求的通項公式．【答案】【詳解】用數學歸納法，當，符合；假設，當時，則=，故時，命題成立，所以．4．（2021·全國·高三競賽）求所有的函數，滿足，且對于所有整數，有.【答案】函數只有一個：【詳解】令，得，即.①令，得，所以或2.若，由①，.令，得.但不成立，矛盾.若，由條件，對任意的整數，有.令，得，即.所以，為偶函數.根據①由數學歸納法可證明，對任意正整數，有.再由為偶函數知對于任意的整數，有.經驗證，滿足條件.綜上，滿足條件的函數只有一個：.5．（2021·全國·高三競賽）已知.證明：當時，.【答案】證明見解析【詳解】（1）當時，左邊；右邊；因為，所以，所證不等式成立.（2）假設時不等式成立，即成立.當時，，所以，當時，不等式也成立.由（1）?（2）可知，當時，所證不等式成立.6．（2018·全國·高三競賽）設，求證:（1）;（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【詳解】（1）令，則.只須證明下面用數學歸納法證明.當時，命題顯然成立.假設有.因為函數上是嚴格遞增的，所以，因此，對每一個.都有.即.（2）因為，所以，.即，于是，即.則故.7．（2018·全國·高三競賽）設個實數；滿足條件（1）；（2），；（3），.求證：.【答案】見解析【詳解】如果，由遞推關系即知：對一切，均有.結論顯然成立（事實上此時由條件（1）可知，必有）.設，當時，結論顯然成立.假設時，結論成立，只要證時結論成立.令，，，.設，，，；，，，.易驗證，且，，；，，.由歸納假設有，即.故.所以，當時結論成立.8．（2019·全國·高三競賽）設數列滿足,,.證明:對任意的,.【答案】見解析【詳解】固定，改證以下命題：對任意的，有.

①對用數學歸納法.當時，結論顯然.設時，式①成立，即.當時，.于是，式①亦成立.因此，式①得證.在式①中取，得.9．（2018·全國·高三競賽）若百位數字為9的位自然數的各位數字之和為，其中，當的值最小時，是多少？【答案】1999【詳解】（1）當時，令.則（當時等號成立）（當時等號成立）（當時，等號成立）.故當的值最小值時，為1999.（2）當時.用數學歸納法證明..1°當時，顯然成立.2°假設當時命題成立.即.那么，當時，有.故當時，命題成立.因此，當時，恒成立.于是，.故當達到最小值時，為1999.10．（2019·全國·高三競賽）求證：數列的每一項都是整數，但都不是3的倍數.【答案】見解析【詳解】設，則，且.下面利用數學歸納法證明.①當，時，有，都是整數，且都不是3的倍數，命題成立.②假設，都是整數，且都不是3的倍數，由三角公式有.可見，也是整數.下面證明不是3的倍數，若不然，則.但，故.與不是3的倍數矛盾.所以，不是3的倍數，這表明，命題對時成立.由數學歸納法知，命題對一切正整數成立.11．（2019·全國·高三競賽）設數列滿足，，試求．【答案】2009【詳解】由，得.又，有，，．下面用數學歸納法證明：當時，.

①事實上，當時，式①結論顯然成立．假設當時，結論成立．又由于函數在上單調遞減，結合式①得.另一方面，.

②而．

③當時，，式③成立．由式②、③得．綜上，．由歸納原理知，當時，總有式（1）成立．故所求．12．（2018·全國·高三競賽）已知數列滿足，且對所有正整數有.求證：存在正整數，使得.【答案】見解析【詳解】先用數學歸納法證明：對一切正整數有.當時，顯然，.假設當時，結論成立.則.由和歸納假設知都是正數.從而，.這就完成了歸納證明.因此，存在足夠大的正整數，使得.13．（2021·全國·高三競賽）給定正整數m、k，有n個選手參加一次測試，該測試由m個項目構成，每個項目完成后都會取得一個評分，沒有兩個人在一個項目取得相同的評分．求n的最小值，使得總存在k個選手，在第j個項目中的k個得分要么單調遞增，要么單調遞減，．【答案】n的最小值為．【分析】結合引理：一個項且每兩項不同的實數數列存在項的遞增子列或項的遞減子列．利用數學歸納法可求得n的最小值【詳解】為方便，用來表示由的m個得分構成的n個m維向量．先來構造時不滿足條件的例子．用表示分量均為的所有m維向量，并設．取為，，…，，…，…，任取，設，按上述表示合并同類項后為為下標最小的非零系數，則．由定義易知．下面證明，的諸分量的正負性與的相同．由于，故在的d項中，每個分量絕對值比其他項和的對應分量絕對值都大．若存在滿足條件的k個選手，設的各個分量的正負性與的一樣．則的系數嚴格遞增，這是不可能的．再來證明時結論成立．先證明一個引理．引理：一個項且每兩項不同的實數數列存在項的遞增子列或項的遞減子列．證明：若否，考慮以每一項開始的最長遞增子列的長度，則這些數都在中．由抽屜原理，必存在個數相同．而若，且，開始的最長遞增子列的長度一樣，則，否則可將并入，開始的最長遞增子列，得到比開始的最長遞增子列更長的遞增子列，矛盾．如此便找到了一個項的遞減子列，矛盾．回到原題．對m歸納．時直接使用引理即可．假設結論在時成立，接下來考慮m時的情況．由于，結合引理知存在個選手第一個項目得分單調遞增或遞減．而由歸納假設知這些選手中存在k個選手第2，3，…，m個項目的得分單調遞增或遞減．故這k個選手滿足條件．結論成立．綜上所述，n的最小值為．14．（2018·全國·高三競賽）正整數數列滿足：（1）求；（2）求最小的正整數，使得．【答案】（1）637；（2）5827【詳解】（1）易得數列的初值（見表1）.表112345678910111213141241510411312213114接下來關注使的下標它們滿足如下遞推關系；.①下面對進行歸納.當時，式①成立.設已有，則由條件歸納易得，.②于是，當時，.因此，，即式①成立.由式①得.記，則.所以，.因此，.而，則.又，故由式②得.（2）由式②知，當時，.因此，當時，.而當時，要么，要么，即的值取不到2008.進而，考慮的情況.由，得.由式②得.故滿足的最小的為5827.15．（2018·全國·高三競賽）給定兩個數列，滿足，;，，證明：對任意的可表為兩個正整數的平方和．【答案】見解析【詳解】對于數列有.由，于是，對任意的，.所以，.

①對于數列，由條件知數列嚴格遞增．將兩邊平方得．②在式②中用代替n得.

③由式②、③知，是關于t的方程的兩個相異根，于是，由根與系數關系得，即．

④由式①、④知，、為同一個數列，因此，.又據式①知，數列的各項為正整數，且，，構作輔助數列，其中，；⑤．⑥顯然，當時，皆為正整數，且.下面證明：對任意的，．⑦對n用數學歸納法．當時已驗證．設當時，式⑦成立．當時，由于，則而據歸納假設有因此，故由歸納法，對一切，式⑦成立．由式⑦得，其中，為正整數．16．（2021·全國·高三競賽）設和為兩組復數，滿足：．求證：存在數組（其中），使得．【答案】證明見解析【詳解】用表示對所有數組的求和，下面用數學歸納證明如下的等式：

①(1)當時，①式顯然成立；當時，，即①式成立．（2）假設時，①式成立，則時，我們有，即時①式成立．由（1）（2）可得：．回到原題，由，可得，即，所以存在數組（其中，使得，即．17．（2021·全國·高三競賽）已知n個非負實數和為1．求證：．【答案】證明見解析【詳解】作如下換元：設，則（，且這里特別定義）．定義數列如下：，則原式．只需，即只需，即．采用歸納法，對成立．假設成立，考慮，，歸納成立．所以．18．（2021·全國·高三競賽）設數列滿足.求證：.【答案】證明見解析【詳解】令，得，則.令，得，則.①令，得.②根據①得：，于是，.③另一方面，由②?①得.④由③?④得遞推關系式.由此可得，猜測.下面用數學歸納法證明這個猜想：對于，結論顯然成立；假定，則有，所以當時等式成立.因此，成立.對于，有.所以.19．（2018·全國·高三競賽）定義在正整數集上，且滿足，.求證：對所有整數，有.【答案】見解析【詳解】由題設顯然有.將變形為，則.

①故.

②，.由此猜想.

③用數學歸納法證明式③對的整數成立.當時，，式③成立.假設時，式③成立.當時，有.

④由歸納假設有.因為是正整數，由上式有.

⑤由式④、式⑤有.

⑥又.

⑦由式⑥、式⑦知式③對成立.所以，式③對任意正整數成立.因此，所證不等式成立.20．（2021·全國·高三競賽）給定正整數．求最大的實數．使得對任意正實數恒成立，其中．【答案】【詳解】當時，令，則．當時，．令，則問題化為：，證明：．當時，首先證明：．

①①式，由均值不等式知成立．由①式知．假設時，對任意正實數結論成立．則時，由對稱性不妨設中最大，則，所以，由歸納假設知，此時結論成立．由數學歸納法知，．故．當時，．由于，令，則，所以．綜上所述，21．（2018·全國·高三競賽）數列滿足：，.求證：對一切，均有.其中表示不大于實數的最大整數，是斐波那契數列：.【答案】見解析【詳解】用數學歸納法證明.記.當時，由，得.當時，，.若，則.若，則.于是，.令，易證在上嚴格遞減，則有.假設時命題成立，即，①.②若，則由②得，.③若，又因為，故.結合式①，即得式③.因此，當時，命題成立.綜上可知，命題成立.22．（2018·全國·高三競賽）已知數列．求證：．【答案】見解析【詳解】用第二數學歸納法．，．假設，則時，．這表明時命題成立．由數學歸納法得數列是單調的，還可證．23．（2018·全國·高三競賽）給定正整數，對于正整數，集合.集族滿足如下條件：（1）的每個集合都是的元子集；（2）中的任意兩個集合至多有一個公共元素；（3）的任意一個元素恰出現在中的兩個集合中.試求的最大值.【答案】【詳解】的最大值為.首先，估計的上界.一方面，考慮集合.由條件（3）知，對中的任意一個元素，有且僅有一對，使得.因此，.另一方面，考慮集合.由條件（3）知.由條件（1）知.故．由條件（2）知，.于是，.從而，，即.下面用數學歸納法構造一個的例子.對，，，集族符合條件.假設當時，，滿足條件.當時，，，其中，.令，其中，，.經驗證，知集族符合條件.從而，由歸納原理知可取到.綜上，所求的最大值為.24．（2018·全國·高三競賽）奧運會排球預選賽有支球隊參加，其中每兩隊比賽一場，每場比賽必決出勝負．如果其中有支球隊滿足：勝，勝，勝，勝，則稱這支球隊組成一個“階連環套”．證明：若全部支球隊組成一個階連環套，則對于每個及每支球隊，必與另外某些球隊組成一個階連環套．【答案】見解析【詳解】以為頂點.如球隊勝，則在兩點間連一有向邊：，如此得階競賽圖.據條件，的個頂點可以排成一個階有向圈，設為.則的任兩點可沿箭頭方向相互到達.首先證明：任一球隊必在某個三階連環套中.用分別表示被擊敗了的球隊集合和擊敗了的所有球隊集合.由于雙向連通，必有，使得.于是，組成三階連環套.假若已證得，對于，圖中存在以為一頂點的階連環套，圈之外的點的集合為.若中有一點，它所表示的球隊既擊敗了圈中的某個隊，又被圈中的另一個隊

所擊敗，點把圈分成兩條有向路，其中一條，例如它與有向路組成有向圈.依次考慮路上各點與點間的鄰接情況，必有相鄰的兩點滿足，而.現去掉邊，而將路插入其間，便得到一個含有頂點的階連環套.若中的任一點，它所表示的球隊要么擊敗了圈中的每個隊，要么被圈中的每個隊所擊敗，則集合可分為兩個不交的子集，其中，中的任一隊戰勝了圈中所有的隊，而中的任一隊負于圈中所有的隊.由于圖雙向連通，故在集合中必有點，集合中有點，使得.在圈中任意去掉一個點，而用路代替，便得到一個含有頂點的階連環套，故結論對于成立.由歸納法，結論成立.25．（2019·全國·高三競賽）求滿足下列條件的最小正整數t，對于任何凸n邊形，只要，就一定存在三點，使的面積不大于凸n邊形面積的.【答案】6【詳解】先證明一個引理.引理對任何凸六邊形，都存在，使，其中，S為凸六邊形的面積.引理的證明：如圖，設交于點P、Q、R（可能重合），聯結.由于6個三角形的面積之和不大于S，其中必有一個三角形的面積不大于.回到原題.當t=3、4、5時，正三角形、正方形、正五邊形分別不符合條件，所以，.下面證明：當時，對任何凸n邊形，都存在，使其中，S為凸n邊形的面積.實際上，當n=6時，由引理，結論成立.設n=k時，結論成立.當n=k+1時，聯結.如果，則結論成立.如果，則.由歸納假設，必有，使.結論成立.綜上所述，t的最小值為6.26．（2019·全國·高三競賽）正整數數列滿足：，．試求通項公式．【答案】【詳解】據條件知，數列嚴格遞增．于是，先在條件式中取，得到，即．

①據式①左端得．則．

②又由式①右端得，且，故．

③據式②、③得整數．再對條件式中取，得到，即．

④由式④左端得．則．由式④右端得，即．因，所以，．故．繼而在已知式中取，得，即．

⑤又為正整數，故式⑤右端恒成立．而由式⑤左端有，故，得．由，，，，猜想．

⑥首先，若將式⑥代入已知式得，即，或．此式顯然成立．下證：是滿足條件的唯一數列．對歸納．當時已驗證．若式⑥對于成立，則對于，據已知式有．

⑦由式⑦右端得．則．

⑧（這里用到，當時，．）據式⑦左端得，即．

⑨其判別式．設與式⑨對應的關于的一元二次方程的兩根為、．則．

⑩（這里用到，當時，．）據式⑧、⑩得．故由歸納法知，對任意的，式⑥成立，即．27．（2019·全國·高三競賽）設是定義在自然數集合上并在上取值的函數,滿足:對任何兩個不相等的自然數,有.(1)求;(2)假設是100個兩兩不相等的自然數,求;(3)是否存在符合題設條件的函數,使,證明你的結論.【答案】（1）（2）（3）【詳解】(1)取,,則.由條件有.所以,.(2)證明:對任何大于1的自然數,及個兩兩互不相等的自然數,.對歸納.當時,結論顯然成立.設時結論成立.那么,當時,設個兩兩互不相等的自然數為,其中,,由歸納假設有.因為,所以,.于是,與互異.則.故因此,當時,結論成立.所以,結論成立.取,得.(3)令.下證這樣定義的函數符合條件.事實上,對任何兩個不相等的自然數,有故.28．（2018·全國·高三競賽）設，其中，b為正奇數.定義數列滿足，.若正整數，使得為素數.證明：.【答案】見解析【詳解】首先利用歸納法證明：，，其中，，，..顯然，當時，.假設i時成立，考慮i+1時的情形，有.記，由上面知.一方面，由二項式定理及費馬小定理得=，.故.即：.29．（2019·全國·高三競賽）求證:存在唯一的正整數數列，使得，.【答案】見解析【詳解】即.因為均為正整數，若，則.從而，.于是，.故是各項均為1的常數數列，這與矛盾.所以，.則，即.當時，；當時，.所以，.注意到為正整數，則有.又，所以，.由此可得.故數列唯一確定.下面用數學歸納法證明:是正整數數列.由上知，假設.則.因為，所以，又，所以，從而，于是，，即.故是正整數數列.30．（2022·浙江杭州·高三學軍中學校考競賽）我們稱為“花式集合”，如果它滿足如下三個條件：（a）；（b）的每個元素都是包含于中的閉區間（元素可重復）；（c）對于任意實數中包含的元素個數不超過1011.對于“花式集合”和區間，用表示使得的對的數量.求的最大值.【答案】【分析】先構造一個特例，再根據逐步調整法和數學歸納法可證的取值范圍，從而可求其最大值.【詳解】答案是.先給出取得最大值的構造：易于驗證，當由1011個以及1011個組成?由1011個以及1011個組成時，符合題意.再給出最優性的證明：分成兩步進行.第一步，調整集合.斷言一：對于中區間，如果，則將中的替換為不改變原結果，稱之為“切換”.這是因為:①如果中的一個區間與相交，那么它最初和現在都與兩個區間相交，成立；②如果中的一個區間與不相交，則它要么與和都不相交，要么恰與中一個相交.因此，如果