第18章利率期限結構與利率模型18.1利率理論與投資策略由于存在著期限長短不同、種類多樣、資金時間價值不等，從而使不同償還期的債券所要求的收益率是不同的。利率的期限結構描述的是收益率的高低與時間的關系。①純粹的合理預期理論。該理論認為金融市場的參與者決定證券的收益率，以至于持有N期債券的收益等于持有一年期債券N年所獲得的收益。②流動性偏好理論。該理論認為利率反映了短期利率與預期短期利率的總和，正如合理預期理論加上流動性風險溢價。③市場分割理論。這種理論認為不同的機構投資者，因為他們自己的投資偏好，從而擁有不同到期日的證券，正因為如此，才使他們局限于具體的不同的市場分割部門，為了把握出現的每個機會，投資者將不會轉變他們所持有證券的類別。④習慣性偏好理論。與市場分割理論相似，但又不完全一致。在這種理論下，投資者有偏好證券類別或習慣。18.1.1

利率理論與投資策略18.1.2

利用利率結構投資策略投資者在進行債券投資的過程中，需要面對很多復雜的因素。宏觀上來說，投資者在投資于債券的時候不僅需要考慮本國的經濟是處于經濟周期的蕭條期還是繁榮期，而且還要考慮國外的經濟形勢，因為在一個市場經濟國家里，一國往往不是孤立存在，其經濟政策以及經濟發展會受到國外經濟的影響。在本國投資者還要考慮本國政府機構的財政貨幣政策，以及本國央行的提高商業銀行存款準備金率以及國家的加息政策。有關債券投資管理策略主要有兩大類：被動型債券投資管理策略和主動型債券投資管理策略。被動型債券投資管理策略是一種較為簡單的債券投資方法，而主動型債券投資管理策略比較復雜。18.2利率期限結構18.2.1

建立利率期限結構的方法在固定收益定價的過程中，利率期限結構起著重要的作用，固定收益的計算中有很大一部分工作是如何構建一個完整并且合理的利率期限結構。一般來說，由于市場上存在眾多的固定收益證券，利率期限結構應當是眾多點的一個擬合結果。但從計算過程上來講，假設特定期限的利率只對應著一個固定收益證券會為計算帶來方便，并且不會影響其核心的計算過程。基于如上假設，利用市場的實際數據，通過舉例計算生成利率期限結構。18.2.2

利率期限結構的計算鑒于利率期限結構的重要性，MATLAB的FinancialToolbox提供了兩個函數，可以根據市場數據直接計算利率期限結構，分別為zbtyield和zbtprice。zbtyield根據到期收益率、息票率、結算日、到期日計算利率期限結構；zbtprice根據價格、息票率、結算日、到期日計算利率期限結構。根據價格息票率、結算日和到期日可以得到到期收益率，因而兩者是等價的。18.2.3

利率期限結構的平滑利率期限結構曲線的構建是建立在市場交易債券的基礎之上，由于債券發行的不連續性，市場上并不存在所有時間點上的零息票利率集，市場中常見的是1m、3m、6m、1y、2y、3y、5y、10y、20y和30y這樣幾個利率期限結構。但時間的數據到期日或剩余期限基本沒有規律。可以使用曲線擬合工具箱對計算得到的利率曲線進行擬合或平滑。18.3利用利率期限結構計算遠期利率利率遠期是指，在當前約定未來某個時間段內，按照約定利率拆入或拆除一定量資金，一般交易所產品經過標準化后，變量只有未來某段時期的遠期利率FRA。FRA的確定并不是對未來利率的預測，而是根據當前利率期限結構進行套利活動導致的套利均衡，其定價應滿足無套利均衡關系。按照連續計息方式，FRA應滿足的關系為化簡后得18.4利率模型18.4.1

利率模型分類利率模型對未來利率的預測，采用隨機過程來描述利率的未來變動，分為均衡模型和套利模型兩種：①均衡模型。均衡模型屬于規范模型，是關于利率“應該怎樣”的描述，在均衡模型中，當期的利率期限結構是輸出變量。②套利模型。套利模型是實證模型，根據市場情況，告訴市場關于利率“不應該怎樣”，這是與均衡模型的根本不同之處。在套利模型中，當期利率期限結構是輸入變量。單因素均衡模型的隨機微分數學形式如下：式中：r是短期利率。根據m(r)和s(r)的具體表示形式不同，可分為不同的模型，但是兩者都只與利率r相關，與時間無關。18.4.2

Ho－Lee模型Ho－Lee模型是T.S.YHo同S.B.Lee在其1986年的著名論文TermStructureMovementsandPricingInterestRateContingentClaims,JournalofFinance中介紹的一個隨機模型。其模型的形式為

式中：σ是短期利率的即時波動率，為不變常量；θ(t)是時間的函數，通過對θ(t)的調整使得模型符合初始的利率期限結構。模型里r代表的含義，是下面構建二叉樹的關鍵。在HL模型中r的定義是即期利率的隨機過程。比如,r代表一年期的即期利率，則上述方程描述的是，在未來任何一個時點t到t+1的零息利率。18.4.3

BDT二叉樹構建BDT模型是BlackDermanToy提出的一種對HL模型的改進。例1

假設債券數據見表下所列。

BDT模型數據表中，0.20代表的是一年期即期利率的波動率，依此類推，0.19代表的是兩年期即期利率的波動率，等等。注：本題采用的數據是MATLAB自帶的數據集，在文件deriv.mat中，使用loadderiv命令可以將文件中包含的所有變量導入到MATLAB工作空間。其中本例采用的是deriv.mat文件中的BDTTree這個struct結構型數據集中的數據。便于將這里講解的BDT模型同MATLAB標準算法進行比較。BDT模型和前面介紹的HL模型是相同的，即風險中性概率都假設為0.50.5。這里也是一樣的。不同的是由于BDT模型假設了利率服從對數正態分布后，導致的正則波動率是利率取自然對數之后的波動率。因此有

除此之外，其余同HL模型完全一樣。18.4.4

HJM模型的構建在MATLAB中，HJM模型是采用二叉樹的方式表示的，且風險概率是等概率的模型。HJM模型在MATLAB中最多只支持3個變量。在實踐中，超過3個變量的模型也是沒有意義的，由于利率期限結構只是一個二維平面上的曲線，其變動因子也只有3個，因此3個變量就足夠吻合任何形狀的曲線了。在MATLAB中用以實現HJM模型的函數是hjmtree。函數語法：HJMTree=hjmtree(VolSpec,RateSpec,Ti