第7章CFTOOL數據擬合——GDP用量增速分析我國重化工業一直處于加快發展中，由于其對電力的需求很大，引起發電量增長高于經濟增長。當前重化工原材料行業的調整，必然對發電量與經濟增長的關系產生很大的校正力，也就可能在短期內出現發電量(用電量)負增長和經濟正增長的現象。國家開始實施節能減排目標之一就是降低單位GDP的能耗，隨著經濟結構的轉變，GDP增長與用電量之間正向關系可能會減弱。7.1案例背景——GDP與電量關系7.2數據擬合方法數據擬合主要步驟為：確定擬合模型類型與確定擬合模型參數。擬合模型類型有線性方程、指數方程、微分方程、多項式方程、混合方程等。擬合方程的選擇是一個復雜的問題。若擬合方程未知，通常使用反復測試的方法，即給定幾種備選擬合模型，進行多次擬合，選擇擬合效果最好的模型進行擬合。若擬合模型已確定，則可以通過非線性最小二乘法確定擬合模型參數。假設擬合數據為x、y，非線性最小二乘法方程為：使用優化方法求解上述問題，得到最小化問題解a*，即擬合模型參數。若擬合模型為線性，直接使用最小二乘法；若擬合模型為非線性模型，則使用非線性最優化方法求解上述問題。7.3

MTALABCFTOOL使用MATLAB中有一個功能強大的曲線擬合工具箱（CurveFittingToolbox），其中提供了CFTOOL函數，用來通過界面操作的方式進行一元數據擬合。在MATLAB命令窗口運行CFTOOL命令將打開如圖1所示的曲線擬合工作窗口，通過該窗口可以實現以下功能：

從MATLAB工作空間導入數據；

進行數據的預處理，如數據篩選和數據平滑處理；

利用內置的不同類型的模型進行數據擬合，允許用戶自定義模型；

生成相關結果，如參數估計值、置信區間、相關統計量等；

進行插值、外推、差分和積分等后處理；

導出結果到MATLAB工作空間，以便進行后續的分析和可視化處理。圖1曲線擬合工作窗口7.3.1

CFTOOL函數的調用方式CFTOOL函數的調用方式比較簡單，代碼如下：以上3種方式均可打開曲線擬合工作窗口，其中輸入參數xdata為自變量觀測值向量，ydata為因變量觀測值向量，w為權重向量，它們應為等長向量。注：xdata、ydata都是一維數組，若回歸時，某些數據點相對其他數據點比較重要，就需要引入權重向量，給每個數據點殘差平方和一個權重系數。式中，給定不同權重得到的擬合模型最優參數是不同的。7.3.2

導入數據如果利用CFTOOL函數的第1種方式打開曲線擬合工作窗口，則此時窗口里的坐標系還是一片空白，還沒有可以分析的數據，應該先從MATLAB工作空間導入變量數據。現在自變量GR_Power和因變量GR_GDP的數據已經導入MATLAB工作空間，此時單擊曲線擬合窗口中的Data按鈕，打開數據導入對話框，如圖2所示。圖2數據導入對話框7.3.3數據的平滑處理單擊數據導入對話框上方的Smooth選項卡，出現如圖3所示對話框。對話框中Originaldataset后的下拉列表框用來選擇已經定義的數據集；Smootheddataset后面的編輯框用來輸入平滑處理后數據集的名稱，默認情況下是在原始數據集的名稱后加上“(smooth)”；Method后面的下拉列表框用來選擇smooth函數進行數據平滑所用的方法；Span后面的文本框用來輸入smooth函數的span參數的參數值。以上操作完成后，單擊Createsmootheddataset按鈕，即創建了一個經過平滑處理后的數據集。單擊右下角的Close按鈕或右上角的“關閉”按鈕，可關閉導入數據對話框。圖3數據平滑對話框7.3.4數據篩選所謂的數據篩選就是按照用戶設定的條件去除不需要的數據。單擊數據擬合工作窗口中的Exclude按鈕，彈出數據篩選對話框，如圖4所示。圖4數據篩選對話框7.3.5數據擬合導入GR_GDP和GR_Power的數據之后，曲線擬合工作窗口的坐標系里出現了相應的散點圖。單擊窗口中的Fitting按鈕，在彈出的對話框中單擊Newfit按鈕，將創建一個新的擬合，如圖5所示。圖5數據擬合的Fitting對話框7.3.6繪圖控制單擊曲線擬合工作窗口的Plotting按鈕，彈出繪圖控制對話框，如圖6所示，使用三種擬合模型（三次多項式、指數模型、高斯方程）擬合結果。圖6繪圖控制對話框從圖6可以看到，繪圖控制對話框被分成了左右兩個區域，左側Plotdatasets區域顯示數據集列表，右側Plotfits區域顯示擬合列表。每個數據集和擬合的前面都有一個復選框，通過選擇某些復選框，可以選擇用于繪圖的數據集和擬合曲線。若選擇了對話框下方的Clearassociatedfitswhenclearingdatasets復選框，則當取消某個數據集的選中狀態后，與該數據集相關的擬合也都將被取消，圖像中相應的散點和擬合曲線也會被刪除，如圖7所示。圖7

增速與用電量增速數據的擬合效果圖7.3.7擬合后處理擬合結束后，單擊曲線擬合窗口中的Analysis按鈕，將彈出后處理對話框，如圖8所示。利用該對話框可進行插值、外推、差分和積分等后處理，這里所謂的插值是在自變量的樣本數據的取值范圍內選定一些新的坐標點，計算這些點處因變量的估計值、置信區間和預測區間等。而外推是指新設定的自變量的取值超出了自變量的樣本數據的取值范圍。圖8后處理對話框7.4加權重擬合若回歸或擬合時，某些數據點相對其他