第2章MATLAB基礎(chǔ)知識(shí)概述2.1

MATLAB的發(fā)展歷程和影響MathWorks公司于1993年推出了基于Windows平臺(tái)的MATLAB4.0。4.x版在繼承和發(fā)展其原有的數(shù)值計(jì)算和圖形可視能力的同時(shí)，出現(xiàn)了以下幾個(gè)重要變化：①推出了SIMULINK，一個(gè)交互式操作的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模、仿真、分析集成環(huán)境。②推出了符號(hào)計(jì)算工具包。一個(gè)以Maple為“引擎”的SymbolicMathToolbox1.0。此舉結(jié)束了國(guó)際上數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算孰優(yōu)孰劣的長(zhǎng)期爭(zhēng)論，促成了兩種計(jì)算的互補(bǔ)發(fā)展新時(shí)代。③構(gòu)造了Notebook，MathWorks公司瞄準(zhǔn)應(yīng)用范圍最廣的Word，運(yùn)用DDE和OLE，實(shí)現(xiàn)了MATLAB與Word的無縫連接，從而為專業(yè)科技工作者創(chuàng)造了融科學(xué)計(jì)算、圖形可視、文字處理于一體的高水準(zhǔn)環(huán)境。2.2.1

操作界面2.2基本操作CommandWindow：命令行窗口。其主要功能為數(shù)值計(jì)算、函數(shù)參數(shù)設(shè)定、函數(shù)調(diào)用及其結(jié)果輸出，類似于演算本的功能。CommandHistory：歷史命令窗口。其主要功能為顯示CommandWindow曾輸入的歷史命令。記錄了歷史工作，如果想重復(fù)計(jì)算，無須重復(fù)敲入命令，在CommandHistory中找到并進(jìn)行復(fù)制、粘貼即可。CurrentDirectory:當(dāng)前工作目錄。其主要功能為顯示當(dāng)前工作目錄下的文件。未添加到搜索路徑中的函數(shù)必須放置到當(dāng)前工作目錄下才能被其他函數(shù)調(diào)用。Workspace:工作空間。其主要功能為顯示與計(jì)算相關(guān)的變量名稱及其數(shù)值?？梢栽诠ぷ骺臻g看到計(jì)算中間變量與結(jié)果的數(shù)值。操作界面：2.2.2

Help窗口MATLAB語法與函數(shù)眾多，必須熟練掌握MATLABHelp以便在使用時(shí)可以根據(jù)需要查詢MATLAB幫助文檔。在MATLAB函數(shù)及本書的程序中，每行“%”后的表述為注釋說明，不參與程序運(yùn)行。點(diǎn)睛：在Help文檔中可看到以下內(nèi)容：①相關(guān)的函數(shù)功能；②函數(shù)的使用方法，輸入?yún)?shù)與輸出函數(shù)；③函數(shù)的使用示例，以舉例方法演示函數(shù)的使用；④函數(shù)使用的算法說明，比如算法來源于哪篇論文等。如果對(duì)于某類問題，不知道如何運(yùn)用MATLAB計(jì)算求解，有兩種方法：購(gòu)買相關(guān)書籍資料或者直接查看MATLAB相關(guān)Toolbox說明。在比較新的MATLAB版本（例如MATLAB2011a及以后的版本）中，讀者在Help中輸入問題的關(guān)鍵字（例如Optimization），可以搜索到與關(guān)鍵字相關(guān)的MATLAB函數(shù)。下圖所示是關(guān)于FinancialToolbox的介紹左欄中FinancialToolbox的功能如下：①投資組合分析；②投資組合績(jī)效分析；③含有缺失數(shù)據(jù)回歸；……如果在左欄中選中InvestmentPerformanceMetrics,則在右欄中對(duì)InvestmentPerformance功能進(jìn)行列舉：①投資組合夏普比率；②投資組合信息比率；③投資組合跟蹤誤差；④風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后的收益；……點(diǎn)睛：

若熟練使用MATLABHelp查詢，將大大提高您的MATLAB使用效率與編程速度！2.2.3

系統(tǒng)變量MATLAB常用的永久變量：ans：計(jì)算結(jié)果的默認(rèn)變量名。i、j：基本虛數(shù)單位。eps：系統(tǒng)的浮點(diǎn)精度。Inf：無限大（例如1/0）。nan或NaN：非數(shù)值。pi：圓周率。realmax：系統(tǒng)所能表示的最大數(shù)值。realmin:系統(tǒng)所能表示的最小數(shù)值。nargout：函數(shù)的輸出參數(shù)個(gè)數(shù)。MATLAB的所有運(yùn)算都定義在復(fù)數(shù)域上。MATLAB分別用左斜杠“/”和右斜杠“\”來表示“左除”和“右除”運(yùn)算。對(duì)于標(biāo)量運(yùn)算而言，這兩者的作用沒有區(qū)別；但對(duì)于矩陣運(yùn)算來說，二者將產(chǎn)生不同的結(jié)果。具體可以參看《高等代數(shù)》中關(guān)于矩陣運(yùn)算的概念。對(duì)于向量AB=C，推導(dǎo)出B=A\C,但B=C/A是錯(cuò)誤的。多項(xiàng)式p(x)=x3-3x+5

可以表示為向量p=［10-35］，向量p的長(zhǎng)度（元素個(gè)數(shù)）減1決定其表示多項(xiàng)式的次數(shù)，向量p中的元素從右向左依次為常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、……n次項(xiàng)系數(shù)，向量p表示三次項(xiàng)系數(shù)為1，二次項(xiàng)系數(shù)為0，一次項(xiàng)系數(shù)為-3，常數(shù)項(xiàng)為5。求x=5時(shí)的值，使用polyval函數(shù)計(jì)算。2.3多項(xiàng)式運(yùn)算2.3.1

多項(xiàng)式表達(dá)方式2.3.2

多項(xiàng)式求解函數(shù)roots求多項(xiàng)式的根roots(p)，理論上n次多項(xiàng)式具有n個(gè)解在復(fù)數(shù)域上。點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)理論表示，n次方程有n個(gè)根，n個(gè)根中可能會(huì)有重復(fù)，即重根。在泛函分析中，卷積(convolution)是通過兩個(gè)函數(shù)f和g生成第三個(gè)函數(shù)的一種數(shù)學(xué)算子，表示函數(shù)f與經(jīng)過翻轉(zhuǎn)和平移與g的重疊部分的累積。如果將參加卷積的一個(gè)函數(shù)看作區(qū)間的指示函數(shù)，卷積還可以被看作是“滑動(dòng)平均”的推廣。MATLAB提供了conv(a,b)函數(shù)執(zhí)行多項(xiàng)式乘法（兩個(gè)數(shù)組的卷積）。即：多項(xiàng)式x3+2x2+3x+4乘以x3+4x2+9x+16，結(jié)果為x6+6x5+20x4+50x3+75x2+84x+64。2.3.3多項(xiàng)式乘法（卷積）2.4多項(xiàng)式的曲線擬合2.4.1函數(shù)擬合多項(xiàng)式的曲線擬合：p=polyfit(x,y,n)將數(shù)據(jù)以n次多項(xiàng)式為模型進(jìn)行擬合，當(dāng)n取1時(shí)，即為最小二乘法(線性回歸方程)。線性回歸方程擬合效果如圖1所示；三次函數(shù)擬合效果如圖2所示。

圖2三次函數(shù)擬合效果圖圖1線性回歸擬合效果圖2.4.2曲線擬合工具CFTOOLMATLAB提供了曲線擬合工具CFTOOL，含有更多的擬合模型，具體可以參看該函數(shù)說明。調(diào)用方法：在命令窗口輸入CFTOOL，工具箱如下圖所示。2.4.3曲線擬合工具CFTOOL多項(xiàng)式插值YI=interp1(x,y,XI,‘method’)，XI為插值點(diǎn)的自變量坐標(biāo)向量,可以為數(shù)組或單個(gè)數(shù)。method為選擇插值算法的方法，包括：linear(線性插值)、cubic(立方插值)、spline(三次樣條插值)、nearst(最近鄰插值)等。interp1函數(shù)的最后一個(gè)參數(shù)spline表示使用的插值方法。計(jì)算結(jié)果如右圖所示。具體算法說明可以在維基百科進(jìn)行關(guān)鍵字搜索。例如：Neares：最近鄰點(diǎn)插值法(NearestNeighbor),又稱泰森多邊形方法。泰森多邊形(Thiesen,又叫Dirichlet或Voronoi多邊形)分析法是荷蘭氣象學(xué)家A.H.Thiessen提出的一種分析方法。最初用于從離散分布?xì)庀笳镜慕涤炅繑?shù)據(jù)中計(jì)算平均降雨量,現(xiàn)在GIS和地理分析中經(jīng)常采用泰森多邊形進(jìn)行快速的賦值。2.5微積分計(jì)算2.5.1曲數(shù)值積分計(jì)算例如，計(jì)算f(x)=x3-2x-5，在［0,2］上的積分可以使用quad函數(shù)。二重積分首先計(jì)算內(nèi)積分，然后借助內(nèi)積分的中間結(jié)果再求出二重積分的值，類似于積分中的分步積分法。2.5.2符號(hào)積分計(jì)算積分計(jì)算可以使用符號(hào)計(jì)算工具箱（SymbolicMathToolbox）。符號(hào)積分運(yùn)算為int(f)，最精確的是符號(hào)積分法。2.5.3數(shù)值微分運(yùn)算微分是描述一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)處的斜率，是函數(shù)的微觀性質(zhì)，積分對(duì)函數(shù)的形狀在小范圍內(nèi)的改變不敏感，而微分很敏感。函數(shù)的小小的變化，容易造成相鄰點(diǎn)的斜率的大改變。由于微分這個(gè)固有的困難，所以盡可能避免數(shù)值微分，特別是對(duì)實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行微分。這種情況最好用最小二乘曲線擬合這些數(shù)據(jù)，然后對(duì)所得到的多項(xiàng)式進(jìn)行微分；或用另一種方法對(duì)點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行三次樣條擬合，然后尋找樣條微分，但是，有時(shí)微分運(yùn)算是不能避免的。在MATLAB中，用函數(shù)diff計(jì)算一個(gè)矢量或者矩陣的微分(也可以理解為差分)點(diǎn)睛：實(shí)際上diff(a)=［a(2)-a(1),a(3)-a(2),…,a(n)-a(n-1)］,對(duì)于求矩陣的微分，即為求各列矢量的微分，從矢量的微分值可以判斷矢量的單調(diào)性、是否等間距以及是否有重復(fù)的元素。下面使用gradient計(jì)算多元函數(shù)的梯度：fx=gradient(f)f是一個(gè)矢量，返回f的一維數(shù)值梯度，fx對(duì)應(yīng)于x方向的微分。數(shù)值微分計(jì)算效果如圖下所示。2.5.4符號(hào)微分運(yùn)算微分運(yùn)算可以使用符號(hào)計(jì)算工具箱（SymbolicMathToolbox）。微分函數(shù)diff不僅作用在標(biāo)量上，還可以在矩陣上，運(yùn)算規(guī)則就是按矩陣的元素分別進(jìn)行微分。2.6矩陣計(jì)算2.6.1線性方程組的求解求解線性方程組，用右斜杠“\”，ax=b即x=a\b(b左除a)。代碼如下：2.6.2矩陣的特征值和特征向量［v,d］=eig(A),其中d將返回特征值，v返回相應(yīng)的特征向量。若默認(rèn)第二個(gè)參數(shù)，即v=eig(A),將只返回特征值。2.6.3矩陣求逆B=inv(A),其中B將返回A的逆矩陣。2.7

M函數(shù)編程規(guī)則使用MATLAB函數(shù)(例如inv、abs、angle和sqrt）時(shí)，MATLAB獲取傳遞給它的變量，利用所給的輸入，計(jì)算所要求的結(jié)果；然后，把這些結(jié)果返回。由函數(shù)執(zhí)行的命令，以及由這些命令所創(chuàng)建的中間變量，都是隱含的。所有可見的東西是輸入和輸出，也就是說函數(shù)是一個(gè)黑箱。這些屬性使得函數(shù)成為強(qiáng)有力的工具，用作計(jì)算命令。這些命令包括在求解一些大的問題時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)的有用的數(shù)學(xué)函數(shù)或命令序列。由于這個(gè)強(qiáng)大的功能，MATLAB提供了一個(gè)創(chuàng)建用戶函數(shù)的結(jié)構(gòu)，并以M文件的文本形式存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)上。2.8繪圖函數(shù)2.8.1簡(jiǎn)易函數(shù)繪圖符號(hào)函數(shù)簡(jiǎn)易繪圖函數(shù)ezpl函數(shù)f可以包含單個(gè)符號(hào)變量x的字符串或表達(dá)式，默認(rèn)畫圖區(qū)間（-2pi，2pi），如果f包含x和y，畫出的圖像是f(x,y)的圖像，則默認(rèn)區(qū)間是－2pi<x<2pi,-2pi<y<2pi。函數(shù)語法：ezplot(f,xmin,xmax)或ezplot(f,［xmin,xmax］)2.繪制符號(hào)圖像函數(shù)fplot(fun,lims,tol,‘linespec’,n)其中，lims=［xmin,xmax］或［xmin,xmax,ymin,ymax］；tol指定相對(duì)誤差（變量的間距），默認(rèn)0.001；‘linespec’指定繪圖的線型；n指定最少以n＋1個(gè)點(diǎn)繪圖。［x,y］=fplot(fun,lims,…)只返回用來繪圖的點(diǎn)，并不繪圖，可以自己調(diào)用plot(x,y)來繪制圖形。2.8.2二維圖形繪制繪圖函數(shù)如下：plot(x,y)：在(x,y)坐標(biāo)下繪制二維圖像，支持多個(gè)xy二元結(jié)構(gòu)；loglog(x,y)：在(x,y)對(duì)數(shù)坐標(biāo)下繪制二維圖形；semilogx(x,y)：在x為對(duì)數(shù)坐標(biāo)、y為線性坐標(biāo)的二維坐標(biāo)系中繪圖；semilogy(x,y)：在x為線性坐標(biāo)、y為對(duì)數(shù)坐標(biāo)的二維坐標(biāo)系中繪圖；plotyy：在有兩個(gè)y軸的坐標(biāo)下繪圖；bar(x,y)：二維條形圖；hist(y,n)：直方圖；histfit(y,n)：帶擬合線的直方圖，n為直方的個(gè)數(shù)；stem(x,y)：火柴桿圖；comet(x,y)：彗星狀軌跡圖；compass(x,y)：羅盤圖；errorbar(x,y,l,u)：誤差限圖；feather(x,y)：羽毛狀圖；fill(x,y,‘r’)：二維填充函數(shù)，以紅色填充；pie(x)：餅圖；polar(t,r)：極坐標(biāo)圖，r為幅值向量，t為角度向量；quiver(x,y)：磁力線圖；stairs(x,y)：階梯圖。1.plot用法plot用法函數(shù)效果圖如圖1所示。雙坐標(biāo)軸函數(shù)plotyy(x1,y1,x2,y2)以x1為標(biāo)準(zhǔn)，左軸為y軸繪制y1向量；以x2為基準(zhǔn)，右軸為y軸繪制y2向量。plotyy(x1,y1,x2,y2,fun)用字符串fun指定的繪圖函數(shù)(字符串還有plot、semilogx、semilogy、loglog、stem等)。ploty用法函數(shù)效果圖如圖2所示。圖1plot用法函數(shù)效果圖圖2ploty用法函數(shù)效果圖2.plotyy用法2.8.3三維圖形繪制繪圖函數(shù)如下：plot3(x,y,z)：三維線條圖；surf（z）：隱含著x、y的值為surf指令根據(jù)z的尺寸自動(dòng)生成；surfc：畫出具有基本等值線的曲面圖；surfl：畫出一個(gè)具有亮度的曲面圖；mesh(x,y,z)：網(wǎng)格圖；mesh(x,y,z,c)：四維作圖,(x,y,z)代表空間三維，c代表顏色維；shadingflat：網(wǎng)線圖的某整條線段或曲面圖的某個(gè)貼片都著一種顏色；shadinginterp：某一線段或貼片上各點(diǎn)的顏色由線或片的頂端顏色經(jīng)線性插值而得。曲面圖不能設(shè)成網(wǎng)格圖那樣透明，但需要時(shí)，可以在孔洞處將數(shù)據(jù)設(shè)成NaN。2.8.4等高線圖形繪制contour為在二維空間繪制等高線。相關(guān)說明如下：contour(x,y,z,n)：繪制n條等值線（n可省略）；contour(x,y,z,v)：在向量v所指定的高度上繪制等高線（可省略）；c=contour(x,y,z)：計(jì)算等值線的高度值；c=contourc(x,y,z,n)：計(jì)算n條等高線的x-y坐標(biāo)數(shù)據(jù)；c=contourc(x,y,z,v)：計(jì)算向量v所指定的等高線的x-y坐標(biāo)數(shù)據(jù)；clabel(c)：給c陣所表示的等高線加注高度標(biāo)識(shí)；clabel(c,v)：給向量v所指定的等高線加注高度標(biāo)