PAGEPAGE1專題37隨機事務(wù)、古典概型和幾何概型一、考綱要求：1.了解隨機事務(wù)發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)分.2.了解兩個互斥事務(wù)的概率加法公式．3.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)發(fā)生的概率．4.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.5.了解幾何概型的意義．二、概念駕馭及解題上的留意點：1.概率與頻率的關(guān)系概率是常數(shù)，是頻率的穩(wěn)定值，頻率是變量，是概率的近似值.有時也用頻率來作為隨機事務(wù)概率的估計值.2.隨機事務(wù)概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義求事務(wù)的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事務(wù)發(fā)生的頻率會漸漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.3.困難事務(wù)的概率的兩種求法1）干脆求法，將所求事務(wù)分解為一些彼此互斥的事務(wù)，運用互斥事務(wù)的概率求和公式計算.2）間接求法，先求此事務(wù)的對立事務(wù)的概率，再用公式PA＝1－Peq\x\to(A)求解正難則反，特殊是“至多”“至少”型題目，用間接求法就比較簡便.4.求古典概型概率的步驟1）推斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事務(wù)，設(shè)出所求事務(wù)A；2）分別求出基本領(lǐng)件的總數(shù)n與所求事務(wù)A中所包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m；3）利用公式PA＝eq\f(m,n)，求出事務(wù)A的概率.5.確定基本領(lǐng)件個數(shù)的方法：1）基本領(lǐng)件較少的古典概型，用列舉法寫出全部基本領(lǐng)件時，可借助“樹狀圖”列舉，以便做到不重、不漏.2）利用計數(shù)原理、排列與組合的有關(guān)學(xué)問計算基本領(lǐng)件.6.與長度有關(guān)的幾何概型假如試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域可用長度度量，則其概率的計算公式為PA＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長度,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度).7.與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動、扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不行用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段.三、高考考題題例分析：例1.（2024全國卷I）如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所探討的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則（）A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3【答案】A例2.（2024全國卷II）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）A． B． C． D．【答案】C例3.(2024天津高考)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲獲勝的概率是eq\f(1,3)，則甲不輸?shù)母怕蕿?)A．eq\f(5,6)B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,3)【答案】A【解析】：事務(wù)“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個互斥事務(wù)，所以甲不輸?shù)母怕蕿閑q\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).例4.(2024全國卷Ⅲ)某超市支配按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購支配，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的全部可能值，并估計Y大于零的概率．【答案】(1)0.6；(2)Y的全部可能值為900,300，－100.Y大于零的概率的估計值為0.8.【解析】：(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的全部可能值為900,300，－100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.3．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35).則從中隨意取出2粒恰好是同一色的概率是()A．eq\f(1,7) B．eq\f(12,35)C．eq\f(17,35) D．1【答案】C4．下面三行三列的方陣中有九個數(shù)aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，從中任取三個數(shù)，則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是()eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12a13,a21a22a23,a31a32a33))A．eq\f(3,7) B．eq\f(4,7)C．eq\f(1,14) D．eq\f(13,14)【答案】D5．在正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,8)【答案】B【解析】：如圖，在正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機選擇4個頂點，共有15種選法，其中構(gòu)成的四邊形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6種狀況，故構(gòu)成的四邊形是梯形的概率P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).6．一對年輕夫婦和其兩歲的孩子做嬉戲，讓孩子把分別寫有“1”“3”“1”“4”的四張卡片隨機排成一行，若卡片按從左到右的依次排成“1314”，則孩子會得到父母的嘉獎，那么孩子受到嘉獎的概率為()A．eq\f(1,12) B．eq\f(5,12)C．eq\f(7,12) D．eq\f(5,6)【答案】A【解析】：先從4個位置中選一個排4，再從剩下的位置中選一個排3，最終剩下的2個位置排1.∴共有4×3×1＝12種不同排法．又卡片排成“1314”只有1種狀況，故所求事務(wù)的概率P＝eq\f(1,12).7.某車間共有12名工人，隨機抽取6名作為樣本，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖10-5-3所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)，日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．要從這6人中，隨機選出2人參與一項技術(shù)競賽，選出的2人至少有1人為優(yōu)秀工人的概率為()圖10-5-3A．eq\f(8,15) B．eq\f(4,9)C．eq\f(3,5) D．eq\f(1,9)【答案】C8．設(shè)實數(shù)a∈(0,1)，則函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零點的概率為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)【答案】D【解析】：由函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零點，可得Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋1)＝4a－3≥0，解得a≥eq\f(3,4)，即有eq\f(3,4)≤a<1，結(jié)合幾何概型的概率計算公式可得所求的概率為P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4)，故選D.9．已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：y＝x，則圓C上任取一點A到直線l的距離小于1的概率為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)【答案】D【解析】：如圖所示，設(shè)與y＝x平行的兩直線AD，BF交圓C于點A，D，B，F(xiàn)，且它們到直線y＝x的距離相等，過點A作AE垂直于直線y＝x，垂足為E，當(dāng)點A到直線y＝x的距離為1時，AE＝1，又CA＝2，則∠ACE＝eq\f(π,6)，所以∠ACB＝∠FCD＝eq\f(π,3)，所以所求概率P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3)，故選D.10．支配甲、乙、丙、丁四人參與周一至周六的公益活動，每天只需一人參與，其中甲參與三天活動，乙、丙、丁每人參與一天，那么甲連續(xù)三天參與活動的概率為()A．eq\f(1,15) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)【答案】B11．?dāng)S一個骰子的試驗，事務(wù)A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”，事務(wù)B表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，若eq\x\to(B)表示B的對立事務(wù)，則一次試驗中，事務(wù)A＋eq\x\to(B)發(fā)生的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)【答案】C【解析】：擲一個骰子的試驗有6種可能結(jié)果．依題意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，∴P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).∵eq\x\to(B)表示“出現(xiàn)5點或6點”的事務(wù)，∴事務(wù)A與eq\x\to(B)互斥，從而P(A＋eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).12．設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為()A．eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)π B．eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)C．eq\f(1,2)－eq\f(1,π) D．eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)【答案】D二、填空題13．一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地隨意抽取兩次，每次只取一個，取得兩個紅球的概率為eq\f(7,15)，取得兩個綠球的概率為eq\f(1,15)，則取得兩個同顏色的球的概率為________；至少取得一個紅球的概率為________.【答案】eq\f(8,15)eq\f(14,15)【解析】：由于“取得兩個紅球”與“取得兩個綠球”是互斥事務(wù)，取得兩個同色球，只需兩互斥事務(wù)有一個發(fā)生即可，因而取得兩個同色球的概率為P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).由于事務(wù)A“至少取得一個紅球”與事務(wù)B“取得兩個綠球”是對立事務(wù)，則至少取得一個紅球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).14．某城市2024年的空氣質(zhì)量狀況如表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50<T≤100時，空氣質(zhì)量為良；100<T≤150時，空氣質(zhì)量為稍微污染，則該城市2024年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為________．【答案】eq\f(3,5)【解析】：由題意可知2024年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).22．某險種的基本保費為a(單位：元)，接著購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險狀況，得到如下統(tǒng)計表：出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事務(wù)：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；(2)記B為事務(wù)：“一續(xù)保人