專題06一元二次方程課標(biāo)要求考點(diǎn)考向1、了解一元二次方程的概念，能將方程化為一般形式，并準(zhǔn)確指出各項(xiàng)系數(shù)，會(huì)根據(jù)概念確定二次項(xiàng)系數(shù)中所含字母的取值范圍2、掌握配方法、公式法、因式分解法等一元二次方程的解法，理解各種解法的依據(jù)，并能根據(jù)方程特點(diǎn)靈活選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼鈹?shù)字系數(shù)的一元二次方程3、理解一元二次方程根的判別式的意義，會(huì)用判別式判定方程根的情況，也會(huì)用判別式確定方程中字母的取值或取值范圍.4、能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，并能根據(jù)實(shí)際意義檢驗(yàn)方程的解是否合理解一元二次方程考向一一元二次方程概念考向二解一元二次方程考向三根的判別式一元二次方程應(yīng)用考向一方程的實(shí)際應(yīng)用考向二方程的幾何應(yīng)用考點(diǎn)一解一元二次方程?考向一一元二次方程概念1．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且2．（2024·江蘇宿遷·中考真題）規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法運(yùn)算，如．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為（

）A． B． C．且 D．且3．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）若一元二次方程的兩根為m，n，則的值為．4．（2024·廣東深圳·中考真題）已知一元二次方程的一個(gè)根為1，則．5．（2024·四川成都·中考真題）若，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為．?考向二解一元二次方程1．（2024·山東德州·中考真題）把多項(xiàng)式進(jìn)行配方，結(jié)果為（

）A． B．C． D．2．（2024·山東日照·中考真題）已知，實(shí)數(shù)是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，若，則k的值為（

）A．1 B． C． D．3．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）用配方法解一元二次方程時(shí)，將它轉(zhuǎn)化為的形式，則的值為（

）A． B．2024 C． D．15．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則．6．（2024·四川巴中·中考真題）已知方程的一個(gè)根為，則方程的另一個(gè)根為．7．（2024·上海·中考真題）解方程組：．8．（2024·青海·中考真題）（1）解一元二次方程：；（2）若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是（1）中方程的根，求第三邊的長(zhǎng)．?考向三根的判別式1．（2024·江蘇徐州·中考真題）關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k值為．2．（2024·江蘇南通·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．請(qǐng)寫出一個(gè)滿足題意的k的值：．3．（2024·廣東廣州·中考真題）關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)化簡(jiǎn)：．4．（2024·四川遂寧·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，求的值．考點(diǎn)二一元二次方程應(yīng)用?考向一方程的實(shí)際應(yīng)用1．（2024·河北·中考真題）淇淇在計(jì)算正數(shù)a的平方時(shí)，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，則（

）A．1 B． C． D．1或2．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中記錄了這樣一個(gè)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，只云闊與長(zhǎng)共六十步，問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步？”其大意是：矩形面積是864平步，其中寬與長(zhǎng)的和為60步，問(wèn)寬和長(zhǎng)各幾步？若設(shè)長(zhǎng)為x步，則下列符合題意的方程是（

）A． B． C． D．3．（2024·遼寧·中考真題）某商場(chǎng)出售一種商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，日銷售量（件）與每件售價(jià)（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：每件售價(jià)/元日銷售量/件(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)該商品日銷售額能否達(dá)到元？如果能，求出每件售價(jià)：如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2024·西藏·中考真題）列方程（組）解應(yīng)用題某商場(chǎng)響應(yīng)國(guó)家消費(fèi)品以舊換新的號(hào)召，開(kāi)展了家電惠民補(bǔ)貼活動(dòng)．四月份投入資金20萬(wàn)元，六月份投入資金24.2萬(wàn)元，現(xiàn)假定每月投入資金的增長(zhǎng)率相同．(1)求該商場(chǎng)投入資金的月平均增長(zhǎng)率；(2)按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)該商場(chǎng)七月份投入資金將達(dá)到多少萬(wàn)元？5．（2024·山東淄博·中考真題）“我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂(lè)！”隨著人們對(duì)身心健康的關(guān)注度越來(lái)越高．某市參加健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)逐年增多，從2021年的32萬(wàn)人增加到2023年的50萬(wàn)人．(1)求該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率；(2)為支持市民的健身運(yùn)動(dòng)，市政府決定從公司購(gòu)買某種套裝健身器材．該公司規(guī)定：若購(gòu)買不超過(guò)100套，每套售價(jià)1600元；若超過(guò)100套，每增加10套，售價(jià)每套可降低40元．但最低售價(jià)不得少于1000元．已知市政府向該公司支付貨款24萬(wàn)元，求購(gòu)買的這種健身器材的套數(shù)．6．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）每年5月的第三個(gè)星期日為全國(guó)助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”，康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計(jì)劃在該月銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時(shí)，每天可售出60輛；單價(jià)每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價(jià)銷售，但每輛輪椅的利潤(rùn)不低于180元，設(shè)每輛輪椅降價(jià)x元，每天的銷售利潤(rùn)為y元．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；每輛輪椅降價(jià)多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？(2)全國(guó)助殘日當(dāng)天，公司共獲得銷售利潤(rùn)12160元，請(qǐng)問(wèn)這天售出了多少輛輪椅？?考向二方程的幾何應(yīng)用1．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，小程的爸爸用一段長(zhǎng)的鐵絲網(wǎng)圍成一個(gè)一邊靠墻（墻長(zhǎng)）的矩形鴨舍，其面積為，在鴨舍側(cè)面中間位置留一個(gè)寬的門（由其它材料制成），則長(zhǎng)為（

）A．或 B．或 C． D．2．（2024·山東青島·中考真題）如圖，某小區(qū)要在長(zhǎng)為，寬為的矩形空地上建造一個(gè)花壇，使花壇四周小路的寬度相等，且花壇所占面積為空地面積的一半，則小路寬為．

3．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A?2,0，兩點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)已知變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表已知值呈現(xiàn)的對(duì)應(yīng)規(guī)律．x…1234……8421…寫出與x的函數(shù)關(guān)系式，并在本題所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的大致圖象；(3)一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P位于點(diǎn)D的左側(cè)，連接，，．若的面積為15，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．4．（2024·湖北·中考真題）學(xué)校要建一個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成．已知墻長(zhǎng)42m，籬笆長(zhǎng)．設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為米，平行于墻的邊為米，圍成的矩形面積為．(1)求與與的關(guān)系式．(2)圍成的矩形花圃面積能否為，若能，求出的值．(3)圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)的值．5．（2024·四川涼山·中考真題）閱讀下面材料，并解決相關(guān)問(wèn)題：下圖是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)……第行有個(gè)點(diǎn)……容易發(fā)現(xiàn)，三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)之和為10．(1)探索：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為_(kāi)____，前15行的點(diǎn)數(shù)之和為_(kāi)_____，那么，前行的點(diǎn)數(shù)之和為_(kāi)_____(2)體驗(yàn)：三角點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)之和______（填“能”或“不能”）為500．(3)運(yùn)用：某廣場(chǎng)要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？1．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則反比例函數(shù)的圖象所在的象限分別位于（

）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限2．（2024·安徽·三模）如圖，菱形中，為對(duì)角線，以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，連接，若，則長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于一個(gè)函數(shù)上的一個(gè)點(diǎn)，若自變量m與對(duì)應(yīng)函數(shù)值n互為相反數(shù)，我們稱m為這個(gè)函數(shù)的“反自變量”．如果二次函數(shù)有兩個(gè)相異的反自變量，，且，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽合肥·三模）某企業(yè)今年1月份的利潤(rùn)為500萬(wàn)元，2月份和3月份的利潤(rùn)合計(jì)為1200萬(wàn)元，設(shè)2月份和3月份利潤(rùn)的平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．5．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為，令，則（

）A． B． C． D．6．（2024·安徽宣城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是反比例函數(shù)上的一點(diǎn)，其中，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接．（1）若的面積是3，則的值為．（2）將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，且點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在該反比例函數(shù)的圖象上，則．7．（2024·安徽合肥·一模）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．8．（2024·安徽合肥·一模）我們定義：如果一個(gè)函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)6倍的點(diǎn)，則把該函數(shù)稱為“行知函數(shù)”，該點(diǎn)稱為“行知點(diǎn)”，例如：“行知函數(shù)”，其“行知點(diǎn)”為．（1）直接寫出函數(shù)圖象上的“行知點(diǎn)”是；（2）若二次函數(shù)的圖象上只有一個(gè)“行知點(diǎn)”，則的值為．9．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．(1)若拋物線過(guò)點(diǎn)，求與的關(guān)系式；(2)已知點(diǎn)，，中恰有兩點(diǎn)在拋物線上．求拋物線的解析式；設(shè)直線：與拋物線交于，兩點(diǎn)，過(guò)中點(diǎn)做軸垂線交直線于點(diǎn)，求證．10．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）今年“五一”假期期間，合肥駱崗公園舉辦了大型電音節(jié)等活動(dòng)，由此帶來(lái)旅游熱潮，引發(fā)酒店預(yù)訂熱．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某酒店5月1日入住128人次，入住人次逐日增加，1日、2日、3日這三天累計(jì)入住608人次，求該酒店入住人次的日平均增長(zhǎng)率．11．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圖案1中“☆”的個(gè)數(shù)為，“★”的個(gè)數(shù)為，圖案2中“☆”的個(gè)數(shù)為，“★”的個(gè)數(shù)為，圖案3中“☆”的個(gè)數(shù)為，“★”的個(gè)數(shù)為；…．(1)圖案5中“☆”的個(gè)數(shù)為；(2)圖案n中，“★”的個(gè)數(shù)為；（用含n的式子表示）(3)根據(jù)圖案中“☆”和“★”的排列方式及規(guī)律，若圖案n中“★”的個(gè)數(shù)是“☆”的個(gè)數(shù)的，求n的值．12．（2024·安徽合肥·二模）“高山云霧出好茶”，我國(guó)的產(chǎn)茶區(qū)大多處于高海拔山區(qū)，交通和信息都相對(duì)不便．清明節(jié)剛過(guò)，大學(xué)生李明為了能夠盡快幫助茶農(nóng)銷售明前新茶，以160元/千克的價(jià)格將附近茶農(nóng)的明前新茶全部收購(gòu)，并利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行網(wǎng)上銷售．根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗(yàn)，這種明前新茶以200元/千克的價(jià)格銷售，每天可售出80千克，若價(jià)格每上漲10元/千克，銷售量會(huì)減少5千克．設(shè)銷售單價(jià)為x元/千克，每天的銷售量為y千克，且銷售單價(jià)高于收購(gòu)價(jià)，且不超過(guò)收購(gòu)價(jià)的2倍．(1)試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．(2)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，所獲得的日利潤(rùn)最大？最大日利潤(rùn)為多少元？(3)由于明前新茶產(chǎn)量較少，李明僅收購(gòu)了320千克，在（2）的條件下全部銷售完之后，明后春茶上市．李明提高了的收購(gòu)量收購(gòu)了一批春茶，以每千克40元的利潤(rùn)進(jìn)行網(wǎng)上銷售，很快被搶購(gòu)一空，李明再次收購(gòu)一批春茶，并將收購(gòu)量再提高，每千克的利潤(rùn)不變，所有茶葉全部銷售完后，明前新茶和明后春茶共獲利80000元，求m的值．13．（2024·安徽滁州·三模）2024年3月中國(guó)新能源汽車在國(guó)家積極政策的鼓勵(lì)下，居民環(huán)保意識(shí)日漸增強(qiáng)，新能源汽車的市場(chǎng)非常火爆．某汽車企業(yè)下屬的一個(gè)專賣店經(jīng)銷一款進(jìn)價(jià)為15萬(wàn)元/輛的新能源汽車，經(jīng)銷一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該款汽車售價(jià)定為25萬(wàn)元/輛時(shí)，平均每周售出8輛；售價(jià)每降低0.5萬(wàn)元，平均每周多售出1輛.若該店計(jì)劃下調(diào)售價(jià)使平均每周的銷售利潤(rùn)為96萬(wàn)元，并且盡量讓利于顧客，求下調(diào)后每輛汽車的售價(jià)？

專題06一元二次方程課標(biāo)要求考點(diǎn)考向1、了解一元二次方程的概念，能將方程化為一般形式，并準(zhǔn)確指出各項(xiàng)系數(shù)，會(huì)根據(jù)概念確定二次項(xiàng)系數(shù)中所含字母的取值范圍2、掌握配方法、公式法、因式分解法等一元二次方程的解法，理解各種解法的依據(jù)，并能根據(jù)方程特點(diǎn)靈活選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼鈹?shù)字系數(shù)的一元二次方程3、理解一元二次方程根的判別式的意義，會(huì)用判別式判定方程根的情況，也會(huì)用判別式確定方程中字母的取值或取值范圍.4、能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，并能根據(jù)實(shí)際意義檢驗(yàn)方程的解是否合理解一元二次方程考向一一元二次方程概念考向二解一元二次方程考向三根的判別式一元二次方程應(yīng)用考向一方程的實(shí)際應(yīng)用考向二方程的幾何應(yīng)用考點(diǎn)一解一元二次方程?考向一一元二次方程概念1．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．根據(jù)一元二次方程的根的判別式的意義得到且，即，然后解不等式組即可得到的取值范圍．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，且，即，解得：，的取值范圍是且．故選：D．2．（2024·江蘇宿遷·中考真題）規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法運(yùn)算，如．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】此題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，根據(jù)題意得到，再由有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到，且，即可得到答案.【詳解】解：∵，∴，即，∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，且，解得且，故選：D．3．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）若一元二次方程的兩根為m，n，則的值為．【答案】6【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的兩根時(shí)，，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，再把變形為，然后利用整體代入的方法計(jì)算，再利用完全平方公式求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個(gè)根為，，∴，∴故答案為：6．4．（2024·廣東深圳·中考真題）已知一元二次方程的一個(gè)根為1，則．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程解的定義，根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x=1代入原方程，列出關(guān)于的方程，然后解方程即可．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，滿足一元二次方程，，解得，．故答案為：．5．（2024·四川成都·中考真題）若，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為．【答案】7【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和完全平方公式和已知式子的值，求代數(shù)式的值．先利用已知條件求出，，從而得到，再將原式利用完全平方公式展開(kāi)，利用替換項(xiàng)，整理后得到，再將代入即可．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，則∴故答案為：7?考向二解一元二次方程1．（2024·山東德州·中考真題）把多項(xiàng)式進(jìn)行配方，結(jié)果為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查完全平方公式，利用添項(xiàng)法，先加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．根據(jù)利用完全平方公式的特征求解即可；【詳解】解：故選B．2．（2024·山東日照·中考真題）已知，實(shí)數(shù)是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，若，則k的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于一元二次方程，若是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，據(jù)此得到，再由得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，．，，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，故選：B．3．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，由題意得出，計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：∵關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：，故選：B．4．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）用配方法解一元二次方程時(shí)，將它轉(zhuǎn)化為的形式，則的值為（

）A． B．2024 C． D．1【答案】D【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程．熟練掌握配方法步驟，是解出本題的關(guān)鍵．用配方法把移項(xiàng)，配方，化為，即可．【詳解】解：∵，移項(xiàng)得，，配方得，，即，∴，，∴．故選：D．5．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則．【答案】9【分析】本題考查了一元二次方程的，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則有，得到關(guān)于的方程，解方程即可．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，，即，解得．故答案為：9．6．（2024·四川巴中·中考真題）已知方程的一個(gè)根為，則方程的另一個(gè)根為．【答案】4【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．設(shè)方程的另一個(gè)根為m，根據(jù)兩根之和等于，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為m，∵方程有一個(gè)根為，∴，解得：．故答案為：4．7．（2024·上海·中考真題）解方程組：．【答案】，或者，．【分析】本題考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是利用代入法進(jìn)行求解．【詳解】解：，由得：代入中得：，，，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴方程組的解為或者．8．（2024·青海·中考真題）（1）解一元二次方程：；（2）若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是（1）中方程的根，求第三邊的長(zhǎng)．【答案】（1）或（2）第三邊的長(zhǎng)是或【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理．（1）用因式分解法解即可；（2）分情況討論，一是兩根都是直角邊，二是兩根一個(gè)是直角邊，一個(gè)是斜邊，再用勾股定理分別計(jì)算即可．【詳解】解：（1）或；（2）當(dāng)兩條直角邊分別為3和1時(shí)，根據(jù)勾股定理得，第三邊為；當(dāng)一條直角邊為1，斜邊為3時(shí)，根據(jù)勾股定理得，第三邊為．答：第三邊的長(zhǎng)是或．?考向三根的判別式1．（2024·江蘇徐州·中考真題）關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【詳解】解：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，解得：，故答案為：．2．（2024·江蘇南通·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．請(qǐng)寫出一個(gè)滿足題意的k的值：．【答案】0（答案不唯一）【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．先根據(jù)判別式的意義得到，解不等式得到的范圍，然后在此范圍內(nèi)取一個(gè)值即可．【詳解】解∶∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，∴當(dāng)k取0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故答案為：0（答案不唯一）．3．（2024·廣東廣州·中考真題）關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)化簡(jiǎn)：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，分式的混合運(yùn)算，掌握相應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式建立不等式解題即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再計(jì)算分式的乘除混合運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：∵關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．∴，解得：；（2）解：∵，∴；4．（2024·四川遂寧·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)或．【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)根的判別式證明恒成立即可；（2）由題意可得，，，進(jìn)行變形后代入即可求解．【詳解】（1）證明：，∵無(wú)論取何值，，恒成立，∴無(wú)論取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，解得：或．考點(diǎn)二一元二次方程應(yīng)用?考向一方程的實(shí)際應(yīng)用1．（2024·河北·中考真題）淇淇在計(jì)算正數(shù)a的平方時(shí)，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，則（

）A．1 B． C． D．1或【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解一元二次方程，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由題意得方程，利用公式法求解即可．【詳解】解：由題意得：，解得：或（舍）故選：C．2．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中記錄了這樣一個(gè)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，只云闊與長(zhǎng)共六十步，問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步？”其大意是：矩形面積是864平步，其中寬與長(zhǎng)的和為60步，問(wèn)寬和長(zhǎng)各幾步？若設(shè)長(zhǎng)為x步，則下列符合題意的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了列一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．先求出寬為步，再利用矩形的面積公式列出方程即可得．【詳解】解：由題意可知，寬為步，則可列方程為，故選：C．3．（2024·遼寧·中考真題）某商場(chǎng)出售一種商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，日銷售量（件）與每件售價(jià)（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：每件售價(jià)/元日銷售量/件(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)該商品日銷售額能否達(dá)到元？如果能，求出每件售價(jià)：如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)該商品日銷售額不能達(dá)到元，理由見(jiàn)解析。【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出與之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出與之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）利用銷售額每件售價(jià)銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)與之間的函數(shù)表達(dá)式為，將，代入得，解得，與之間的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：該商品日銷售額不能達(dá)到元，理由如下：依題意得，整理得，∴，∴該商品日銷售額不能達(dá)到元．4．（2024·西藏·中考真題）列方程（組）解應(yīng)用題某商場(chǎng)響應(yīng)國(guó)家消費(fèi)品以舊換新的號(hào)召，開(kāi)展了家電惠民補(bǔ)貼活動(dòng)．四月份投入資金20萬(wàn)元，六月份投入資金24.2萬(wàn)元，現(xiàn)假定每月投入資金的增長(zhǎng)率相同．(1)求該商場(chǎng)投入資金的月平均增長(zhǎng)率；(2)按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)該商場(chǎng)七月份投入資金將達(dá)到多少萬(wàn)元？【答案】(1)該商場(chǎng)投入資金的月平均增長(zhǎng)率(2)預(yù)計(jì)該商場(chǎng)七月份投入資金將達(dá)到萬(wàn)元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．（1）設(shè)該商場(chǎng)投入資金的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)“四月份投入資金20萬(wàn)元，六月份投入資金24.2萬(wàn)元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）根據(jù)（1）中求得的增長(zhǎng)率，即可求得七月份投入資金．【詳解】（1）解：設(shè)該商場(chǎng)投入資金的月平均增長(zhǎng)率為，由題意得：，解得：，（不符合題意，舍去），∴該商場(chǎng)投入資金的月平均增長(zhǎng)率；（2）解：（萬(wàn)元），∴預(yù)計(jì)該商場(chǎng)七月份投入資金將達(dá)到萬(wàn)元．5．（2024·山東淄博·中考真題）“我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂(lè)！”隨著人們對(duì)身心健康的關(guān)注度越來(lái)越高．某市參加健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)逐年增多，從2021年的32萬(wàn)人增加到2023年的50萬(wàn)人．(1)求該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率；(2)為支持市民的健身運(yùn)動(dòng)，市政府決定從公司購(gòu)買某種套裝健身器材．該公司規(guī)定：若購(gòu)買不超過(guò)100套，每套售價(jià)1600元；若超過(guò)100套，每增加10套，售價(jià)每套可降低40元．但最低售價(jià)不得少于1000元．已知市政府向該公司支付貨款24萬(wàn)元，求購(gòu)買的這種健身器材的套數(shù)．【答案】(1)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為(2)購(gòu)買的這種健身器材的套數(shù)為200套【分析】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為，根據(jù)從2021年的32萬(wàn)人增加到2023年的50萬(wàn)人，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；（2）設(shè)購(gòu)買的這種健身器材的套數(shù)為套，根據(jù)市政府向該公司支付貨款24萬(wàn)元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為，由題意得：，解得：（不符合題意，舍去），答：該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率為；（2）解：∵元，∴購(gòu)買的這種健身器材的套數(shù)大于100套，設(shè)購(gòu)買的這種健身器材的套數(shù)為套，由題意得：，整理得：，解得：，當(dāng)時(shí)，售價(jià)元（不符合題意，故舍去），答：購(gòu)買的這種健身器材的套數(shù)為200套．6．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）每年5月的第三個(gè)星期日為全國(guó)助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”，康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計(jì)劃在該月銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時(shí)，每天可售出60輛；單價(jià)每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價(jià)銷售，但每輛輪椅的利潤(rùn)不低于180元，設(shè)每輛輪椅降價(jià)x元，每天的銷售利潤(rùn)為y元．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；每輛輪椅降價(jià)多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？(2)全國(guó)助殘日當(dāng)天，公司共獲得銷售利潤(rùn)12160元，請(qǐng)問(wèn)這天售出了多少輛輪椅？【答案】(1)，每輛輪椅降價(jià)20元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，為元(2)這天售出了64輛輪椅【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確的列出函數(shù)關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷量，列出二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；（2）令，得到關(guān)于的一元二次方程，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得：；∵每輛輪椅的利潤(rùn)不低于180元，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，為元；答：每輛輪椅降價(jià)20元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，為元；（2）當(dāng)時(shí)，，解得：（不合題意，舍去）；∴（輛）；答：這天售出了64輛輪椅．?考向二方程的幾何應(yīng)用1．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，小程的爸爸用一段長(zhǎng)的鐵絲網(wǎng)圍成一個(gè)一邊靠墻（墻長(zhǎng)）的矩形鴨舍，其面積為，在鴨舍側(cè)面中間位置留一個(gè)寬的門（由其它材料制成），則長(zhǎng)為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】C【分析】本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，矩形的面積公式的運(yùn)用，正確尋找題目的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)矩形場(chǎng)地垂直于墻一邊長(zhǎng)為，可以得出平行于墻的一邊的長(zhǎng)為．根據(jù)矩形的面積公式建立方程即可．【詳解】解：設(shè)矩形場(chǎng)地垂直于墻一邊長(zhǎng)為，則平行于墻的一邊的長(zhǎng)為，由題意得，解得：，，當(dāng)時(shí)，平行于墻的一邊的長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，平行于墻的一邊的長(zhǎng)為，不符合題意；∴該矩形場(chǎng)地長(zhǎng)為米，故選C．2．（2024·山東青島·中考真題）如圖，某小區(qū)要在長(zhǎng)為，寬為的矩形空地上建造一個(gè)花壇，使花壇四周小路的寬度相等，且花壇所占面積為空地面積的一半，則小路寬為．

【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)小路的寬為，則長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為，寬為，再根據(jù)矩形面積計(jì)算公式列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)小路的寬為，則長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為，寬為，由題意得，，同理得，解得或（舍去），∴小路的寬為，故答案為：．3．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A?2,0，兩點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)已知變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表已知值呈現(xiàn)的對(duì)應(yīng)規(guī)律．x…1234……8421…寫出與x的函數(shù)關(guān)系式，并在本題所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的大致圖象；(3)一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P位于點(diǎn)D的左側(cè)，連接，，．若的面積為15，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，見(jiàn)解析(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】本題考查了求一次函數(shù)的解析式、畫反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，熟練掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可得；（2）根據(jù)表格中的規(guī)律即可得函數(shù)表達(dá)式，再利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象即可；（3）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，則，然后利用三角形的面積公式求解即可得．【詳解】（1）解：將點(diǎn)A?2,0，代入得：，解得，則一次函數(shù)的解析式．（2）解：由表格可知，，畫出函數(shù)圖象如下：．（3）解：聯(lián)立，解得或，∵一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），∴，∵點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入得：，解得，則直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，則，∴，點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到的距離之和為，∵的面積為15，∴，即，解得或（不符合題意，舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為1,4．4．（2024·湖北·中考真題）學(xué)校要建一個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成．已知墻長(zhǎng)42m，籬笆長(zhǎng)．設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為米，平行于墻的邊為米，圍成的矩形面積為．(1)求與與的關(guān)系式．(2)圍成的矩形花圃面積能否為，若能，求出的值．(3)圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)的值．【答案】(1)；(2)能，(3)的最大值為800，此時(shí)【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：（1）根據(jù)可求出與之間的關(guān)系，根據(jù)墻的長(zhǎng)度可確定的范圍；根據(jù)面積公式可確立二次函數(shù)關(guān)系式；（2）令，得一元二次方程，判斷此方程有解，再解方程即可；（3）根據(jù)自變量的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的最大值即可．【詳解】（1）解：∵籬笆長(zhǎng)，∴，∵∴∴∵墻長(zhǎng)42m，∴，解得，，∴；又矩形面積；（2）解：令，則，整理得：，此時(shí)，，所以，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴圍成的矩形花圃面積能為；∴∴∵，∴；（3）解：∵∴有最大值，又，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，即當(dāng)時(shí)，的最大值為8005．（2024·四川涼山·中考真題）閱讀下面材料，并解決相關(guān)問(wèn)題：下圖是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)……第行有個(gè)點(diǎn)……容易發(fā)現(xiàn)，三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)之和為10．(1)探索：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為_(kāi)____，前15行的點(diǎn)數(shù)之和為_(kāi)_____，那么，前行的點(diǎn)數(shù)之和為_(kāi)_____(2)體驗(yàn)：三角點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)之和______（填“能”或“不能”）為500．(3)運(yùn)用：某廣場(chǎng)要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？【答案】(1)36；120；(2)不能(3)一共能擺放20排．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形，總結(jié)規(guī)律，列式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)前n行的點(diǎn)數(shù)和是500，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可判斷；（2）先得到前n行的點(diǎn)數(shù)和是，再根據(jù)題意得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．【詳解】（1）解：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為，前15行的點(diǎn)數(shù)之和為，那么，前行的點(diǎn)數(shù)之和為；故答案為：36；120；；（2）解：不能，理由如下：由題意得，得，，∴此方程無(wú)正整數(shù)解，所以三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和不能是500；故答案為：不能；（3）解：同理，前行的點(diǎn)數(shù)之和為，由題意得，得，即，解得或（舍去），∴一共能擺放20排．1．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則反比例函數(shù)的圖象所在的象限分別位于（

）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限【答案】C【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).先利用一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根得到，解得，則，根據(jù)反比例的圖象和性質(zhì)即可判斷反比例函數(shù)的圖象所在的象限.【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴，解得，∴，∴反比例函數(shù)的圖象所在的象限分別位于第一、三象限，故選：C2．（2024·安徽·三模）如圖，菱形中，為對(duì)角線，以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，連接，若，則長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程等知識(shí)．連接交于點(diǎn)O，由菱形的性質(zhì)可得出，，，設(shè)，根據(jù)題意則，，利用勾股定理可得出，代入求值即可得出答案．【詳解】解：連接交于點(diǎn)O，∵四邊形是菱形，∴，，，設(shè)，根據(jù)題意則，，在中，，在中，，∴，即解得∶(負(fù)值舍去)，∴，即，故選∶B．3．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于一個(gè)函數(shù)上的一個(gè)點(diǎn)，若自變量m與對(duì)應(yīng)函數(shù)值n互為相反數(shù)，我們稱m為這個(gè)函數(shù)的“反自變量”．如果二次函數(shù)有兩個(gè)相異的反自變量，，且，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題是新定義題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的根的情況．根據(jù)題意可得，再利用，為該方程的兩個(gè)不等實(shí)根，且，即可求出答案．【詳解】由題意知，，為二次函數(shù)上的兩個(gè)相異的反自變量，則，，即，，為該方程的兩個(gè)不等實(shí)根，且，，，故選：A．4．（2024·安徽合肥·三模）某企業(yè)今年1月份的利潤(rùn)為500萬(wàn)元，2月份和3月份的利潤(rùn)合計(jì)為1200萬(wàn)元，設(shè)2月份和3月份利潤(rùn)的平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)2月份和3月份利潤(rùn)的平均增長(zhǎng)率為，則2月份的利潤(rùn)為：，3月份的利潤(rùn)為：，根據(jù)2月份和3月份的利潤(rùn)合計(jì)為1200萬(wàn)元，可列出方程即可．【詳解】解：設(shè)2月份和3月份利潤(rùn)的平均增長(zhǎng)率為，則2月份的利潤(rùn)為：，3月份的利潤(rùn)為：，根據(jù)題意有：，故選：D．5．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為，令，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了根的判別式及一元二次方程的解，解答本題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程判別式與方程根的關(guān)系．先根據(jù)得出的取值范圍，根據(jù)是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，整體代入，可得的取值范圍．【詳解】解：一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，，，故選：A．6．（2024·安徽宣城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是反比例函數(shù)上的一點(diǎn)，其中，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接．（1）若的面積是3，則的值為．（2）將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，且點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在該反比例函數(shù)的圖象上，則．【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、坐標(biāo)與圖形，解一元二次方程等知識(shí)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解答的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到，利用坐標(biāo)與圖形和三角形的面積公式求得即可求解；（2）延長(zhǎng)交x軸于H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和正方形的判定與性質(zhì)得到四邊形是正方形，則，，即軸，進(jìn)而求得，再反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到，然后解一元二次方程即可求解．【詳解】解：（1）∵是反比例函數(shù)上的一點(diǎn)，∴，∵軸于點(diǎn)，∴，，∴，∴，則，故答案為：；（2）延長(zhǎng)交x軸于H，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，，∴四邊形是正方形，∴，，即軸，∴，，∴，∵點(diǎn)Q、M都是反比例函數(shù)上的一點(diǎn)，∴，即，∴，解得，∵，∴，故答案為：．7．（2024·安徽合肥·一模）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，先將方程化為一般式，再根據(jù)求出答案．【詳解】，整理，得，∴，解得．故答案為：．8．（2024·安徽合肥·一模）我們定義：如果一個(gè)函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)6倍的點(diǎn)，則把該函數(shù)稱為“行知函數(shù)”，該點(diǎn)稱為“行知點(diǎn)”，例如：“行知函數(shù)”，其“行知點(diǎn)”為．（1）直接寫出函數(shù)圖象上的“行知點(diǎn)”是；（2）若二次函數(shù)的圖象上只有一個(gè)“行知點(diǎn)”，則的值為．【答案】或【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，理解新定義，將新定義與所學(xué)二次函數(shù)，一元二次方程的知識(shí)相結(jié)合，熟練掌握跟與系數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題目所給“行知點(diǎn)”的定義，列出方程求解即可；（2）根據(jù)題目所給“行知點(diǎn)”的定義，列出方程，根據(jù)只有一個(gè)“行知點(diǎn)”得出該方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，再根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可解答．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解；∴函數(shù)圖象上的“行知點(diǎn)”是或；故答案為：或．（2）∵二次函數(shù)的圖象上只有一個(gè)“行知點(diǎn)”，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且，整理得：，∴，解得：，綜上：a的值為．故答案為：．9．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．(1)若拋物線過(guò)點(diǎn)，求與的關(guān)系式；(2)已知點(diǎn)，，中恰有兩點(diǎn)在拋物線上．求拋物線的解析式；設(shè)直線：與拋物線交于，兩點(diǎn)，過(guò)中點(diǎn)做軸垂線交直線于點(diǎn)，求證．【答案】(1)(2)①；②見(jiàn)解析【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線解析式可得，再由題意可得，即可求解；（2）由題意可知，根據(jù)函數(shù)的定義可知，不能同時(shí)在拋物線上，分兩種情況討論：當(dāng)，在拋物線上時(shí)，，求得舍去；當(dāng)，在拋物線上時(shí)，求得，即可求拋物線的解析式為；聯(lián)立方程組，可得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，求出的中點(diǎn)，，則，進(jìn)一步得出，根據(jù)等邊對(duì)等角得出，，由三角形內(nèi)角和得出可得出，進(jìn)而可得出，即可證明．【詳解】（1）解：拋物線過(guò)點(diǎn)，，，拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，，；（2）拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，，，的橫坐標(biāo)相同，，不能同時(shí)在拋物線上，，或，兩點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)，在拋物線上時(shí)，，，，，舍去；當(dāng)，在拋物線上時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為，，，，，將點(diǎn)代入，可得，拋物線的解析式為；聯(lián)立方程組，，，，，的中點(diǎn)，．軸交直線于點(diǎn)，，，∴，∴，，又，∴，∴，即，．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，用判別式確定拋物線與軸的交點(diǎn)情況，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理等等知識(shí)，掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）今年“五一”假期期間，合肥駱崗公園舉辦了大型電音節(jié)等活動(dòng)，由此帶來(lái)旅游熱潮，引發(fā)酒店預(yù)訂熱．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某酒店5月1日入住128人次，入住人次逐日增加，1日、2日、3日這三天累計(jì)入住608人次，求該酒店入住人次的日平均增長(zhǎng)率．【答案】該酒店入住人次的日平均增長(zhǎng)率為【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)該酒店