專題04二次根式課標要求考點考向1、了解二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的概念，能用根號表示二次根式，會判斷一個根式是否為最簡二次根式，以及確定幾個二次根式是否為同類二次根式.2、理解二次根式的性質，并能運用這些性質進行化簡和計算.3、掌握二次根式（根號下僅限于數）的加、減、乘、除運算法則，會進行簡單的四則運算，包括將二次根式化為最簡二次根式后，進行同類二次根式的合并，以及利用乘除法則進行化簡計算等.4、明確二次根式有意義的條件，即被開方數大于或等于0，能根據這個條件確定函數自變量的取值范圍，或解決相關的不等式問題.5、能用二次根式解決一些簡單的實際問題，如在幾何圖形的計算、物理公式的應用等場景中，列出含有二次根式的表達式并求解.二次根式概念考向一二次根式定義與性質考向二二次根式有意義二次根式運算考向一二次根式混合運算考向二二次根式應用考點一二次根式概念?考向一二次根式定義與性質易錯易混（1）被開方數的條件：1、非負性：二次根式的被開方數必須是非負實數，即a≥0。因為√a是要求開方的數是非負的，否則就沒有實數解。2、唯一性：對于給定的非負實數a，它的二次根式√a是唯一確定的。這是因為非負實數平方的結果只有一個非負實數。（2）最簡二次根式的定義：如果一個二次根式符合下列兩個條件：1.被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；2.被開方數的每一個因式的指數都小于根指數2。那么，這個根式叫做最簡二次根式。1．（2024·河北張家口·三模）若，則計算的結果正確的是（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北咸寧·一模）下列運算中，正確的是（

）A． B．C． D．3．（22-23七年級上·浙江杭州·期中）觀察下列各式的規律：①；②；③；…；依此規律，若；則m、n的值為（）A． B． C． D．?考向二二次根式有意義1．（2024·四川巴中·中考真題）函數自變量的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·江蘇宿遷·中考真題）要使有意義，則實數x的取值范圍是．3．（2024·山東煙臺·中考真題）若代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為．考點二二次根式運算?考向一二次根式混合運算易錯易混提醒加法與減法：二次根式可以進行加法和減法運算。當兩個二次根式的被開方數相同時，它們可以相加或相減。乘法：二次根式可以進行乘法運算。兩個二次根式相乘時，被開方數相乘，根號下的系數可以相乘。分母有理化：在分母含有根號的式子中，把分母的根號化去，叫做分母有理化1．（2024·江蘇南通·中考真題）計算的結果是（

）A．9 B．3 C． D．2．（2024·山東濟寧·中考真題）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．3．（2024·湖南長沙·中考真題）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．4．（2024·山東威海·中考真題）計算：．5．（2024·甘肅·中考真題）計算：．6．（2024·甘肅蘭州·中考真題）計算：．?考向二二次根式應用1．（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段，按以下步驟作圖：①過點B作，使，連接；②以點C為圓心，以長為半徑畫弧，交于點D；③以點A為圓心，以長為半徑畫弧，交于點E．若，則m的值為（

）

A． B． C． D．2．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在中，，以為邊作，，點D與點A在的兩側，則AD的最大值為（

）A． B． C．5 D．83．（2024·江蘇鹽城·中考真題）發現問題小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．提出問題銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？分析問題某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽．該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數，，），如圖1所示．小明設計了如下三種鏟籽方案．方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長為________；方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．解決問題在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價．4．（2024·河北·中考真題）情境

圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點的等腰直角三角形后得到的．該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數據如圖所示．（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）操作

嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形．如圖3，嘉嘉沿虛線，裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進行拼接．根據嘉嘉的剪拼過程，解答問題：（1）直接寫出線段的長；（2）直接寫出圖3中所有與線段相等的線段，并計算的長．探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．請你按照淇淇的說法設計一種方案：在圖5所示紙片的邊上找一點P（可以借助刻度尺或圓規），畫出裁剪線（線段）的位置，并直接寫出的長．1．（2024·安徽合肥·一模）甲袋中裝著分別標有數字2，，，的同質同大小的四個球，乙袋中裝著分別標有運算符號“”、“”的同質同大小的兩個球，先從甲袋中任意摸出兩球，再從乙袋中摸出一球，讓甲袋中摸出的兩球上標的數按乙袋摸出球的運算符號計算，則結果是有理數的概率為（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽·二模）安安同學在正三角形中放入正方形和正方形（兩個正方形不重疊），使得在邊AB上，點P，N分別在邊上．下列說法正確的是（）A．兩個正方形邊長和的最小值為 B．兩個正方形的邊長差為3C．兩個正方形面積和的最小值為 D．兩個正方形面積和的最大值為3．（2021·安徽合肥·一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），當拋物線y=2（x-a）+2a與四邊形OABC的邊有交點時a的取值范圍是（

）A．-1≤a≤0 B． C． D．4．（2024·安徽滁州·模擬預測）如圖，已知是等腰直角三角形，，，點在邊上，連接，以為邊在右側作正方形，連接，且，則的長為（

）A． B． C． D．5．（2023·安徽蚌埠·三模）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．6．（2024·安徽·三模）函數的自變量的取值范圍是．7．（2024·安徽阜陽·三模）若式子有意義，則x的取值范圍為．8．（2024·安徽淮北·三模）觀察下列二次根式的化簡過程：；；；…回答下列問題：(1)______；(2)，當無窮大時，最接近的整數是多少？9．（2024·安徽池州·模擬預測）觀察下列等式：①；②；③；……請你根據以上規律，解答下列問題：(1)寫出第6個等式：；第n個等式：；(2)計算：．10．（2024·安徽合肥·二模）先化簡，再求值：，其中．11．（2024·安徽亳州·二模）先化簡，再求值：，其中．

專題04二次根式課標要求考點考向1、了解二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的概念，能用根號表示二次根式，會判斷一個根式是否為最簡二次根式，以及確定幾個二次根式是否為同類二次根式.2、理解二次根式的性質，并能運用這些性質進行化簡和計算.3、掌握二次根式（根號下僅限于數）的加、減、乘、除運算法則，會進行簡單的四則運算，包括將二次根式化為最簡二次根式后，進行同類二次根式的合并，以及利用乘除法則進行化簡計算等.4、明確二次根式有意義的條件，即被開方數大于或等于0，能根據這個條件確定函數自變量的取值范圍，或解決相關的不等式問題.5、能用二次根式解決一些簡單的實際問題，如在幾何圖形的計算、物理公式的應用等場景中，列出含有二次根式的表達式并求解.二次根式概念考向一二次根式定義與性質考向二二次根式有意義二次根式運算考向一二次根式混合運算考向二二次根式應用考點一二次根式概念?考向一二次根式定義與性質易錯易混（1）被開方數的條件：1、非負性：二次根式的被開方數必須是非負實數，即a≥0。因為√a是要求開方的數是非負的，否則就沒有實數解。2、唯一性：對于給定的非負實數a，它的二次根式√a是唯一確定的。這是因為非負實數平方的結果只有一個非負實數。（2）最簡二次根式的定義：如果一個二次根式符合下列兩個條件：1.被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；2.被開方數的每一個因式的指數都小于根指數2。那么，這個根式叫做最簡二次根式。1．（2024·河北張家口·三模）若，則計算的結果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查二次根式的性質和化簡，先根據求出，即可求解．【詳解】∵∴∴故選：A．2．（2024·湖北咸寧·一模）下列運算中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的性質，完全平方公式，分式的乘方，同底數冪的乘法，根據以上運算法則進行計算即可求解．【詳解】解：A．無意義，故該選項不正確，不符合題意；

B．，故該選項不正確，不符合題意；C．，故該選項不正確，不符合題意；

D．，故該選項正確，符合題意；故選：D．3．（22-23七年級上·浙江杭州·期中）觀察下列各式的規律：①；②；③；…；依此規律，若；則m、n的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了算術平方根的知識，關鍵是仔細觀察所給的式子，根據所給的式子得出規律．仔細觀察所給式子，可得出根號外面的數字等于被開方數中的分子，被開方數的分母為分子上的數的平方減去1，依據規律進行計算即可．【詳解】解：根據所給式子的規律可得：，解得：．故選：B．?考向二二次根式有意義1．（2024·四川巴中·中考真題）函數自變量的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了求函數自變量的取值范圍、二次根式的定義，熟練掌握二次根式的有意義的條件是解題關鍵．根據二次根式的有意義的條件建立不等式求解即可解題．【詳解】解：由題知，，解得，故答案為：C．2．（2024·江蘇宿遷·中考真題）要使有意義，則實數x的取值范圍是．【答案】/【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件及解不等式，熟知二次根式有意義的條件是被開方數大于等于0是解題的關鍵．根據二次根式有意義的條件進行求解即可．【詳解】解：∵二次根式要有意義，∴，∴，故答案為；．3．（2024·山東煙臺·中考真題）若代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為．【答案】x>1/【分析】本題考查代數式有意義，根據分式的分母不為0，二次根式的被開方數為非負數，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故答案為：．考點二二次根式運算?考向一二次根式混合運算易錯易混提醒加法與減法：二次根式可以進行加法和減法運算。當兩個二次根式的被開方數相同時，它們可以相加或相減。乘法：二次根式可以進行乘法運算。兩個二次根式相乘時，被開方數相乘，根號下的系數可以相乘。分母有理化：在分母含有根號的式子中，把分母的根號化去，叫做分母有理化1．（2024·江蘇南通·中考真題）計算的結果是（

）A．9 B．3 C． D．【答案】B【分析】本題考查的是二次根式的乘法運算，直接利用二次根式的乘法運算法則計算即可．【詳解】解：，故選B．2．（2024·山東濟寧·中考真題）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】此題考查二次根式的運算法則，根據二次根式的加法法則對A進行判斷；根據二次根式的乘法法則對B進行判斷；根據二次根式的除法法則對C進行判斷；根據二次根式的性質對D進行判斷．【詳解】A.不能合并，所以A選項錯誤；B.，所以B選項正確；C.，所以C選項錯誤；D.，所以D選項錯誤．故選：B．3．（2024·湖南長沙·中考真題）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查同底數冪的除法、二次根式的加減、冪的乘方、完全平方公式的運算，解題的關鍵是熟知運算法則．【詳解】解：A、，計算正確；B、不能合并，原計算錯誤；C、，原計算錯誤；D、，原計算錯誤；故選A．4．（2024·山東威海·中考真題）計算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的混合運算，根據二次根式的性質以及二次根式的乘法進行計算即可求解．【詳解】解：故答案為：．5．（2024·甘肅·中考真題）計算：．【答案】0【分析】根據二次根式的混合運算法則計算即可．本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．【詳解】．6．（2024·甘肅蘭州·中考真題）計算：．【答案】【分析】本題考查二次根式的運算，先根據二次根式的性質化簡，進行乘法運算，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：原式．?考向二二次根式應用1．（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段，按以下步驟作圖：①過點B作，使，連接；②以點C為圓心，以長為半徑畫弧，交于點D；③以點A為圓心，以長為半徑畫弧，交于點E．若，則m的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，根據垂直定義可得，再根據，設，然后在中，利用勾股定理可得，再根據題意可得：，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，設∴，∴，由題意得：，∴，∵，∴，故選：A2．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在中，，以為邊作，，點D與點A在的兩側，則AD的最大值為（

）A． B． C．5 D．8【答案】D【分析】如圖，把繞順時針旋轉得到，求解，結合，（三點共線時取等號），從而可得答案．【詳解】解：如圖，把繞順時針旋轉得到，∴，，，∴，∵，（三點共線時取等號），∴的最大值為，故選D【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，旋轉的性質，三角形的三邊關系，二次根式的乘法運算，做出合適的輔助線是解本題的關鍵．3．（2024·江蘇鹽城·中考真題）發現問題小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．提出問題銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？分析問題某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽．該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數，，），如圖1所示．小明設計了如下三種鏟籽方案．方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長為________；方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．解決問題在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價．【答案】分析問題：方案1：；；；方案2：；方案3：；解決問題：方案3路徑最短，理由見解析【分析】分析問題：方案1：根據題意列出代數式即可求解；方案2：根據題意列出代數式即可求解；方案3：根據圖得出斜著鏟每兩個點之間的距離為，根據題意得一共有列，行，斜著鏟相當于有n條線段長，同時有個，即可得出總路徑長；解決問題：利用作差法比較三種方案即可．題目主要考查列代數式，整式的加減運算，二次根式的應用，理解題意是解題關鍵．【詳解】解：方案1：根據題意每行有n個籽，行上相鄰兩籽的間距為d，∴每行鏟的路徑長為，∵每列有k個籽，呈交錯規律排列，∴相當于有行，∴鏟除全部籽的路徑總長為，故答案為：；；；方案2：根據題意每列有k個籽，列上相鄰兩籽的間距為d，∴每列鏟的路徑長為，∵每行有n個籽，呈交錯規律排列，，∴相當于有列，∴鏟除全部籽的路徑總長為，故答案為：；方案3：由圖得斜著鏟每兩個點之間的距離為，根據題意得一共有列，行，斜著鏟相當于有n條線段長，同時有個，∴鏟除全部籽的路徑總長為：；解決問題由上得：，∴方案1的路徑總長大于方案2的路徑總長；，∵，當時，，，∴方案3鏟籽路徑總長最短，銷售員的操作方法是選擇最短的路徑，減少對菠蘿的損耗．4．（2024·河北·中考真題）情境

圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點的等腰直角三角形后得到的．該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數據如圖所示．（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）操作

嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形．如圖3，嘉嘉沿虛線，裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進行拼接．根據嘉嘉的剪拼過程，解答問題：（1）直接寫出線段的長；（2）直接寫出圖3中所有與線段相等的線段，并計算的長．探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．請你按照淇淇的說法設計一種方案：在圖5所示紙片的邊上找一點P（可以借助刻度尺或圓規），畫出裁剪線（線段）的位置，并直接寫出的長．【答案】（1）；（2），；的長為或．【分析】本題考查的是正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理的應用，二次根式的混合運算，本題要求學生的操作能力要好，想象能力強，有一定的難度．（1）如圖，過作于，結合題意可得：四邊形為矩形，可得，由拼接可得：，可得，，為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，設，則，再進一步解答即可；（2）由為等腰直角三角形，；求解，再分別求解；可得答案，如圖，以為圓心，為半徑畫弧交于，交于，則直線為分割線，或以圓心，為半徑畫弧，交于，交于，則直線為分割線，再進一步求解的長即可．【詳解】解：如圖，過作于，結合題意可得：四邊形為矩形，∴，由拼接可得：，由正方形的性質可得：，∴，，為等腰直角三角形，∴為等腰直角三角形，設，∴，∴，，∵正方形的邊長為，∴對角線的長，∴，∴，解得：，∴；（2）∵為等腰直角三角形，；∴，∴，∵，，∴；如圖，以為圓心，為半徑畫弧交于，交于，則直線為分割線，此時，，符合要求，或以圓心，為半徑畫弧，交于，交于，則直線為分割線，此時，，∴，綜上：的長為或．1．（2024·安徽合肥·一模）甲袋中裝著分別標有數字2，，，的同質同大小的四個球，乙袋中裝著分別標有運算符號“”、“”的同質同大小的兩個球，先從甲袋中任意摸出兩球，再從乙袋中摸出一球，讓甲袋中摸出的兩球上標的數按乙袋摸出球的運算符號計算，則結果是有理數的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查用列表法求概率，列表得到所有的情況總數，找出結果是有理數的情況數，再利用概率公式求解，即可解題．【詳解】解：由題可列表如下：乘法運算結果22加法運算結果22由表可知：總共有24種結果，其中結果是有理數的有8種，結果是有理數的概率為，故選：B．2．（2023·安徽·二模）安安同學在正三角形中放入正方形和正方形（兩個正方形不重疊），使得在邊AB上，點P，N分別在邊上．下列說法正確的是（）A．兩個正方形邊長和的最小值為 B．兩個正方形的邊長差為3C．兩個正方形面積和的最小值為 D．兩個正方形面積和的最大值為【答案】D【分析】連接，設正方形、正方形的邊長分別為，求得面積和的表達式為：，再結合（2）的結論，即可求出這兩個正方形面積和的最大值和最小值了．【詳解】解：如圖，連接，則．設正方形、正方形的邊長分別為，它們的面積和為S，則，，∴，∴．延長交于點G，則，在中，由勾股定理，．∵，即，∴，∴，∴，故選項A、B不正確；∴．①當時，即時，S最小．∴；故選項C不正確；②當最大時，S最大．即當a最大且b最小時，S最大．∵，由（2）知，，．∴．故選項D正確；故選：D．【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了等邊三角形的性質，正方形的性質，二次函數的性質等知識，解題關鍵是學會利用參數解決問題，屬于中考壓軸題．3．（2021·安徽合肥·一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），當拋物線y=2（x-a）+2a與四邊形OABC的邊有交點時a的取值范圍是（

）A．-1≤a≤0 B． C． D．【答案】D【分析】由二次函數與四邊形OABC的交點為各端點，求得對應a的值，進而確定a的取值范圍，得到答案．【詳解】解：∵點A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），當拋物線過點A（-2，0）時，解得：a=-1或a=-4；當拋物線過點B（-2，-2）時，解得：a=或a=；當拋物線過點C（0，2）時，解得：a=或a=；當拋物線經過原點（0，0）時，解得：a=0或a=-1；拋物線y=2（x-a）+2a，∵2＞0，開口向上，最小值為2a，直線BC為y=2，∴2a≤2，即a≤1∵＜-4＜＜-1＜＜0＜∴當拋物線y=2（x-a）+2a與四邊形OABC的邊有交點時a的取值：≤a≤故選：D．【點睛】本題考查二次函數的性質、解一元二次方程、坐標與圖形、二次根式的運算，利用二次函數與四邊形的端點相交確定對應的a的臨界值是解題的關鍵．4．（2024·安徽滁州·模擬預測）如圖，已知是等腰直角三角形，，，點在邊上，連接，以為邊在右側作正方形，連接，且，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點A作交于點G，交交于點M，過點F作交的延長線于點H，根據正方形的性質利用證明，再根據全等三角形的性質得出，，然后根據等腰直角三角形利用證明，根據全等三角形的性質得出，可得出，根據勾股定理可得出，最后根據線段的和差即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點A作交于點G，交交于點M，過點F作交的延長線于點H，則，四邊形是正方形，，等腰直角三角形又，故選B．【點睛】本題考查了正方形的性質、等腰三角形的性質、勾股定理、全等三角形的判定及性質、含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．5．（2023·安徽蚌埠·三模）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據冪的乘方，二次根式的化簡，合并同類項解答即可．本題考查了冪的乘方，二次根式的計算，合并同類項，熟練掌握運算公式和性質是解題的關鍵．【詳解】A.，正確，符合題意；

B.，錯誤，不符合題意；C.