高級中學名校試題PAGEPAGE1河南省名校學術聯盟2025屆高三下學期模擬沖刺數學試題（六）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數，若為實數，則（）A.2 B.5 C.3 D.1【答案】B【解析】因為復數為實數，則，即得，則.故選：B.2.設集合，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可知，由，可得，所以．故選：A.3.函數的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由余弦和角公式、倍角公式、降冪公式可得，所以的最小正周期為．故選：C4.過原點且與曲線相切的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】設切點，因為曲線，所以，所以，所以，所以或，當時，所以，所以切線方程為，即；當時，所以，所以切線方程為，即；當時，所以，所以切線方程為，即；所以切線有3條.故選：C.5.已知函數在定義域內單調遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由在上單調遞增，則值域為，由對稱軸為，當時，開口向上，則，顯然成立；當時，在上單調遞增，且，顯然成立；當時，開口向下，則，則；綜上，.故選：D6.設拋物線的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，，，則l的斜率是（）A.±1 B. C. D.±2【答案】D【解析】下圖所示為l的斜率大于0的情況．如圖，設點A，B在C的準線上的射影分別為，，，垂足為H．設，，則．而，所以，l的斜率為．同理，l的斜率小于0時，其斜率為．另一種可能的情形是l經過坐標原點O，可知一交點為，則，可求得，可求得l斜率為，同理，l的斜率小于0時，其斜率為．故選：D7.已知某圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，側面展開圖是圓心角為的扇形，則當的值最大時，（）A.1 B.2C. D.【答案】D【解析】設圓錐的母線長為l，則圓錐的底面半徑，側面展開圖的扇形弧長，即圓錐底面的周長，因此，，．記，，則，因為在上遞減，且，，所以存在唯一的滿足，即，且當時，，則在單調遞增，當時，，則在單調遞減，故是的極大值點，也是最大值點．此時．故選：D8.已知，，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】由①，令，，則①式，所以的最大值為，，所以，令，當，即時，，此時①式，即，綜上，，時目標式取最大值為1.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知橢圓，則（）A.的取值范圍為 B.若的焦點在軸上，則C.若，則的焦距為6 D.若，則的離心率為【答案】CD【解析】由題設，可得，A錯；若的焦點在軸上，則，可得，B錯；若，則的焦距為，C對；若，則的離心率為，D對.故選：CD10.已知任何大于1的非質數總可以分解成素數乘積的形式，且如果不計分解式中素數的次序，則這種分解式是唯一的．例如，其中素數2和3稱為24的素因數，且24的不同正因數個數為．完全數，又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數，它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和恰好等于它本身，例如，可知6的所有真因子為1，2，3，且，則6為完全數，則（）A.97200的素因數為2，3，5B.97200不同的正因數有96個C.在小于30的非負偶數中有3個完全數D.在小于30的非負偶數中隨機選兩個數，這兩個數中至少有一個完全數的概率為【答案】AD【解析】由，即97200的素因數為2，3，5，A對；由題設，97200不同的正因數有個，B錯；由，，，，，，，，，，，，，，，綜上，只有是完全數，共2個，C錯；由C分析知，15個數中有2個完全數，故隨機選兩個數中至少有一個完全數的概率為，D對.故選：AD11.已知在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，且，，．記的軌跡分別為，，且與所封閉的面積分別為，則（）A.為圓 B.最大值的最小值為C. D.的最大值為【答案】ABD【解析】A項，點到定點距離為定值，為以為圓心，為半徑的圓，故A正確；B項，由A項，可設，又，可設，則，由，得，，則，，當時，等號成立，故的最大值為.記則，令得，則當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增；所以，最大值的最小值為，故B正確；C項，由，可知在以為圓心，為內徑，為外徑圓環上，即軌跡為，則.設，則，故在上單調遞增，則，即，則，由，則，故C錯誤；D項，由題意可得，則，設，則，令，解得，則當時，，在上單調遞增；當時，，上單調遞減；，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，且，則正數______．【答案】2【解析】由題設，又，所以，可得，又，故.故答案為：213.記為正項數列的前項和，，為等比數列，則______．【答案】【解析】由題設，可得，即，又為等比數列，若公比為，則，故，所以，則，所以.故答案為：14.已知事件A，滿足，，，則的取值范圍為______．【答案】【解析】因為，，所以，所以，又，所以，設，則，所以，所以設，所以，令，則，令，得，得，又，即，符合題意，令，解得；，解得，所以在單調遞增，在單調遞減，所以，取得最大值，所以，的取值范圍為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程和解題步驟．15.在中，內角所對的邊分別為，且．（1）求；（2）若，求面積的最大值．解：（1）因為，由余弦定理可得，由正弦定理可得，所以，又因為，所以．（2）因為且，由余弦定理得，即又因為，當且僅當時，等號成立，即，解得，所以的面積，即面積的最大值為．16.氮氧化物是一種常見的大氣污染物，它是由氮和氧兩種元素組成的化合物，有多種不同的形式．下圖為我國2014年至2022年氮氧化物排放量（單位：萬噸）的折線圖，其中，年份代碼1～9分別對應年份2014～2022．計算得，，．（1）是否可用線性回歸模型擬合與的關系？請用折線圖和相關系數加以說明；（2）是否可用題中數據擬合得到的線性回歸模型預測2023年和2033年的氮氧化物排放量？請說明理由．附：相關系數，．解：（1）從折線圖看，各點近似落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合與的關系．因為，所以該組數據的相關系數．，因而可以用線性回歸模型擬合與的關系．（2）可以用回歸模型預測2023年的氮氧化物排放量，但不可以預測2033年的氮氧化物排放量，理由如下：①2023年與題設數據的年份較接近，因而可以認為，短期內氮氧化物的排放量將延續（1）中的線性趨勢，故可以用（1）中的回歸模型進行預測；②2033年與題設數據的年份相距過遠，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內可能保持，但從長期角度看很有可能會變化，因而用（1）中的回歸模型預測是不準確的．17.如圖，四棱錐中，是正三角形，底面是矩形，平面底面，，分別為棱，的中點．（1）證明：平面；（2）若二面角為，求直線與底面所成角的正弦值．（1）證明：取的中點，連接，又，分別為棱，的中點，所以且，又底面是矩形，即且，所以且，即為平行四邊形，故，由平面，平面，故平面；（2）解：記為的中點，作，因為是正三角形，所以，面面，面面，面，所以面，則為直線與底面所成角，易知面，面，則，所以可構建如圖示的空間直角坐標系，設，，則，，，，，所以，，，若分別為面、面的一個法向量，則，取，則，，取，則，由二面角為，則，所以或，當時，，所以為等邊三角形，且，，所以，即，，所以二面角為，故不合題設，即（經驗證滿足題設），故.18.（1）證明：雙曲線上任意一點處的切線方程為；（2）已知直線，，直線分別交和于點和，點和在軸同側，且的面積為1（為坐標原點），恒與一焦點在軸上的等軸雙曲線相切，求該等軸雙曲線的方程；（3）在（2）的條件下，記（2）中的等軸雙曲線為，與相切于點且不在坐標軸上，過點作直線的垂線分別交軸和軸于點和，證明：，，，四點共圓，且該圓過定點．（1）證明：若切線的斜率存在，即切點不為雙曲線的頂點，令方程為，聯立，所以，則，所以，整理得，因為點在雙曲線上，所以，所以，則，所以，則，由，則，即，所以，顯然切線的斜率不存在時，即切線過雙曲線頂點也滿足，得證；（2）解：由題意，設，其焦點坐標為，設與雙曲線的切點為，則切線方程為，聯立，可得，即，同理，所以，，則，而，故，即所求等軸雙曲線的方程；（3）解：由（2）雙曲線為，若，則，所以過點作直線的垂線為，即，令，則，即，令，則，即，聯立，可得，同理，綜上，、的中點坐標均為，即是點，所以四點共圓，易知圓的方程為，顯然原點恒在圓上，得證.19.對于各項均為正整數的數列，如果，給定，且對于任意都有，我們就稱為一個數列．（1）若數列是－數列，且，，直接寫出，，的值；（2）若數列為數列，且，，則，都存在一個或若干個互不相鄰且互不相同的正整數，，，使得，證明：，的表示具有唯一性；（3）能否將正整數集拆成若干個集合，，，（可以是無窮個集合），使得，都有，這些集合的并集為正整數集，且將每個集合的數從小到大排列之后都是數列？解：（1），.（2）采用數學歸納法證明，當時，，顯然存在，假設當時，都存在一個或若干個互不相鄰互不相同的正整數，使得，當時，設是滿足的最大正整數，則，因為（若，則與是滿足的最大正整數矛盾），且由歸納假設可以表示成的形式，其中互不相鄰且與也不相鄰（因為，所以也可以表示成若干個互不相鄰互不相同的的和；再證明唯一性：假設，不妨設，設，根據數列的增長性質，得單調遞增且增長速度由遞推關系決定，從最大項開始分析，若，不妨設，則，因為的增長使得前面項的和小于較大的項，故矛盾，所以，去掉這一項后繼續比較剩下的和，以此類推可得且；（3）首先構造集合，設是以1，2為首項的數列構成的集合，根據－數列的遞推公式，則，，，,，以此類推可得，然后構造集合，為了保證，從正整數集中去掉的元素后，取最小的正整數4作為的首項，再取一個不同于中元素的數作為第二項，不妨取6，則，，，，依此類推，則是以4為首項的數列構成的集合，即，再構造集合，在正整數集中去掉的元素，此時最小的正整數為7，取7作為的首項，再取一個合適的數如9作為第二項，則，，，,，那么是以7為首項的數列構成的集合，即，按照上述方法，不斷地在正整數集中去掉前面以構造集合的元素，然后取剩余最小正整數作新集合的首項