高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省唐山市2025屆高考一模數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，若（為虛數單位）是純虛數，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】因為（為虛數單位）是純虛數，所以，解得.故選：D2.已知命題；命題．則（）A.和都是真命題B.是假命題，是真命題C.是真命題，是假命題D.和都是假命題【答案】B【解析】對于命題，因為當時，，故命題是假命題；對于命題，當時，，故命題是真命題.故選：B.3.若等比數列的前項和，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】因為等比數列的前項和，所以當時，，所以，解得.故選：A.4.隨機變量．若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為且，所以，根據正態分布曲線的對稱性，可得，所以故選：D5.已知，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】已知，其定義域為，關于原點對稱.且，所以函數是偶函數.那么.

當時，.因為，所以在上單調遞增.

因為，且在上單調遞增，所以.又因為，所以.

故選：A.6.已知圓與拋物線交于兩點，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由得，，解得或，∵拋物線中，∴，∴，即，∴.故選：C.7.在三棱錐中，，設三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設G到平面的距離為，設D到平面的距離為，由于，故；又，則，故，故，故選：B8.對于，且，當時，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，則.所以；進而，同理可得：，.令，則，所以，，，，.因為，所以，即.所以故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數，則關于的說法正確的是（）A.在區間上單調遞增B.是的最大值C.圖象關于點對稱D.把圖象向左平移個單位長度得到的圖象【答案】AD【解析】對于A，因為，所以，所以函數區間上單調遞增，故A正確；對于B，，所以不是的最大值，故B錯誤；對于C，，所以的圖象不關于點對稱，故C錯誤；對于D，將圖象向左平移個單位長度得到圖象，即，故D正確.故選：AD.10.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與的一條漸近線平行，且與交于點，則（）A.的離心率為 B.的實軸長為4C.的面積為1 D.【答案】ACD【解析】雙曲線，其漸近線方程為.

已知過的直線與的一條漸近線平行，則，即.

又直線上，所以，解得.

由，，可得，解得.

離心率，實軸長，選項正確，選項錯誤.

聯立直線與雙曲線方程，將代入雙曲線方程可得：，即，解得，則，即.

已知，，則，點到軸的距離即中邊上的高.

根據三角形面積公式，可得，選項正確.

根據兩點間距離公式，可得：，.

所以，選項正確.

故選：ACD.11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.當時，在上單調遞增B.函數的對稱中心為C.，使得與曲線的公共點中存在四點能連接成正方形D.，總存在兩條斜率互為相反數的相交直線與曲線都相切【答案】ABD【解析】因為，所以，當時，在上恒成立，即在上單調遞增，故A正確；因為，所以的對稱中心為，故B正確；由B項可知，函數的對稱中心為且也關于對稱，假設與曲線的公共點中存在四點能連接成正方形，即與曲線有四個交點，即，即除去0以外還有四個解，即，所以，設和與曲線的交點分別為A，C，B，D，所以，即，無解，假設不成立，故C錯誤；設兩直線與曲線的切點分別為，，則，即，所以，，總存在，使得上式成立，即，總存在兩條斜率互為相反數的相交直線與曲線都相切，故D正確；故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在菱形中，__________．【答案】0【解析】因菱形的對角線互相垂直，即，故.故答案為：0.13.已知，則__________．【答案】1【解析】由可得，所以，所以.故答案為：.14.已知費馬數是形如的素數，如第一個費馬數為，則__________；正多邊形的邊數若能寫成與個不同的費馬數的乘積，，則正多邊形就可以用尺規作圖．將這種正多邊形的邊數按從小到大排列，記為數列，注：若，邊數可以取等；若，邊數可以取等，則__________．【答案】①.17②.16【解析】由知，將代入得，1、當時，邊數可以是3，2、當時，邊數可以是4，3、當時，邊數可以是5，4、當，時，邊數可以是6，5、當時，邊數可以是8，6、當，時，邊數可以是10，7、當，時，邊數可以是12，8、當時，邊數可以是15，9、當時，邊數可以是16，10、當時，邊數可以是17，故,故答案為：①17；②16四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.記的內角的對邊分別為，已知．（1）若，求的面積；（2）若，求．解：（1）在中，．因為，所以．（2）在中，由余弦定理可得，因為，所以，由正弦定理得．因為，所以．化簡得，即，所以，整理得．因為，所以，解得，或，所以，或．16.如圖，在三棱臺中，底面為的中點，．（1）證明：；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：在三棱臺中，∵，∴．∵為的中點，∴，，∴四邊形為平行四邊形，故．∵，∴．∵底面，底面，∴．∵平面，為相交直線，∴平面，∵平面，∴．（2）解：以A為原點，以分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，則，．∴，．設是平面的法向量，則即令，則，故．設是平面的法向量，則即令，則，故．∴．∴平面與平面夾角的余弦值為．17.已知某類考試中，有一種題型為多項選擇題，每道題中有四個選項，其中有兩個或三個選項正確．每道題所賦分值為分，若有兩個正確選項，則這兩個選項中每個選項所賦分值為分；若有三個正確選項，則這三個選項中每個選項所賦分值為分．另外，有錯誤選項得分．已知每道題有兩個正確選項的概率為．（1）設每道題所得分數為，寫出的所有可能取值；（2）對于一道多項選擇題，已知選項正確，考生甲選擇了，又在其余的三個選項中隨機選擇了一個選項．請寫出考生甲此題得分的分布列和數學期望．解：（1）的所有可能取值為．（2）甲得分的可能取值為．設事件；事件；事件．設事件：此題有兩個正確選項，則：此題有三個正確選項．①當此題有兩個正確選項時，可能得0分，6分，則；②當此題有三個正確選項時，可能得0分，4分，則．綜上所述，．．．分布列表如下：期望值．18.若一個數列各項的倒數成等差數列，則這個數列稱為調和數列，如數列，就是一個調和數列．（1）在集合中從小到大取三個數，使其構成調和數列（只需寫出一個數列即可）；（2）若四點共線，順次排列，且，則稱此四點構成了一個調和點列．①求證：三個線段長度構成一個調和數列；②直線過點與橢圓相交于兩點，已知四點構成一個調和點列，求點的軌跡長度．解：（1）由題意，這三個數的倒數成等差數列，就能構成調和數列，則這三個數為或．（2）①證明：由，得，即，則，即，則構成一個調和數列．②設，代入，得．，由得．設，則．則．設，則，同理，．依題設，得，則．則，得，且．因此，點的軌跡為一條線段（不含端點），長度為3．19.已知函數．（1）當時，求的極小值；（2）當時，，求實數的取值范圍．解：（1）當時，，則令，則，所以在上單調遞增，又因為，所以當時，，此時單調遞減；當