2023年湘教版數學九年級上冊期末考試檢測試題及答案（一）一、選擇題(每題3分，共24分)1.已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有兩個相等的實數根，則k的值為（）A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±22．已知函數y＝kx＋b的圖象如圖所示，則一元二次方程x2＋x＋k－1＝0的根的存在情況是()A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根C．有兩個不相等的實數根 D．無法確定(第4題)(第7題)(第8題)3．下列各點中，在函數y＝eq\f(12,x)圖象上的是()A．(－2，6) B．(3，－4) C．(－2，－6) D．(－3，4)4．為了比較甲、乙兩種水稻秧苗誰出苗更整齊，每種秧苗各隨機抽取100株，分別量出每株長度，發現兩組秧苗的平均長度一樣，甲、乙的方差分別是0.32，1.5，則下列說法正確的是()A．甲秧苗出苗更整齊 B．乙秧苗出苗更整齊C．甲、乙出苗一樣整齊 D．無法確定甲、乙出苗誰更整齊5．已知反比例函數y＝eq\f(6,x)的圖象上有兩點A(1，m)，B(2，n)，則m與n的大小關系是()A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能確定6．某地修建高速公路，要從B地向C地修一條隧道(B，C在同一水平面上)．為了測量B，C兩地之間的距離，某工程師乘坐熱氣球從C地出發，豎直上升100m到達A處，在A處觀察B地的俯角為30°，則B，C兩地之間的距離為()A．100eq\r(3)m B．50eq\r(2)m C．50eq\r(3)m D.eq\f(100\r(3),3)m7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一點，DE⊥AB于點E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，則AD的長為()A．3 B．4 C．5 D．68．如圖，已知等腰三角形ABC中，頂角∠A＝36°，BD平分∠ABC，則eq\f(AD,AC)的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(5)－1,2) C．1 D.eq\f(\r(5)＋1,2)二、填空題(每題4分，共32分)9．若eq\f(x,y)＝eq\f(2,3)，則eq\f(y,x＋y)＝____________．10．某校在一次期末考試中，隨機抽取七年級30名學生的數學成績進行分析，其中5名學生的數學成績達90分以上．據此估計該校七年級360名學生中期末考試數學成績達90分以上的學生約有____________．11．在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝eq\f(12,5)，則sinA＝________．12．某樓盤2017年房價為每平方米10000元，經過兩年連續降價后，2019年房價為每平方米8100元．設該樓盤這兩年房價平均降低率為x，根據題意可列方程為________________．13．利用標桿CD測量建筑物的高度的示意圖如圖所示，若標桿CD的高為1.5米，測得DE＝2米，BD＝18米，則建筑物的高AB為________米．(第13題)(第14題)(第16題)14．如圖，△ABO的頂點A在函數y＝eq\f(k,x)(x＞0)的圖象上，∠ABO＝90°，過AO邊的三等分點M、N分別作x軸的平行線交AB于點P、Q.若四邊形MNQP的面積為3，則k的值為________．15．已知關于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0有兩個實數根，且滿足x1＋x2＝m2，則m的值是____________．16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，以O為位似中心，將邊長為8的等邊三角形OAB作n次位似變換，經第一次變換后得到等邊三角形OA1B1，其邊長OA1縮小為OA的eq\f(1,2)，經第二次變換后得到等邊三角形OA2B2，其邊長OA2縮小為OA1的eq\f(1,2)，經第三次變換后得到等邊三角形OA3B3，其邊長OA3縮小為OA2的eq\f(1,2)，…，按此規律，經第n次變換后，所得等邊三角形OAnBn的頂點An的坐標為(eq\f(1,28)，0)，則n的值是____________．三、解答題(17，18題每題6分，19，20題每題8分，21～24題每題9分，共64分)17．計算：(1)(－1)2021－2－1＋cos60°＋(π－3.14)0；(2)sin45°·tan45°＋tan60°·tan30°－2sin30°·cos45°.18．用適當的方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0；(2)－x2＋8x＋4＝0.19．如圖，A，B是雙曲線y＝eq\f(k,x)上的點，點A的坐標是(1，4)，B是線段AC的中點．(第19題)(1)求k的值；(2)求點B的坐標；(3)求△OAC的面積．20．某中學全校學生參加了“交通法規”知識競賽，為了解全校學生競賽成績的情況，隨機抽取了一部分學生的成績，分成四組：A：60<x≤70；B：70<x≤80；C：80<x≤90；D：90<x≤100，并繪制出如下不完整的統計圖．(第20題)(1)求被抽取的學生中，成績在C組的有多少人；(2)所抽取學生成績的中位數落在________組內；(3)若該校有1500名學生，估計全校這次競賽成績在A組的學生有多少人．21．為加強我市創建文明衛生城市宣傳力度，需要在甲樓A處到E處懸掛一幅宣傳條幅，在乙樓頂部D點測得條幅頂端A點的仰角為45°，條幅底端E點的俯角為30°，若甲、乙兩樓的水平距離BC為21米，求條幅AE的長約是多少米．(結果精確到0.1米，eq\r(3)≈1.732)(第21題)22．用長為32米的籬笆圍一個矩形養雞場，設圍成的矩形一邊長為x米．(1)當x為何值時，圍成的養雞場面積為60平方米？(2)能否圍成面積為70平方米的養雞場？如果能，請求出其邊長；如果不能，請說明理由．23．如圖，直線y＝ax＋1與x軸，y軸分別交于A，B兩點，與雙曲線y＝eq\f(k,x)(x＞0)交于點P，PC⊥x軸于點C，且PC＝2，點A的坐標為(－2，0)．(1)求雙曲線的表達式；(2)若點Q為雙曲線上點P右側的一點，且QH⊥x軸于H，當以點Q，C，H為頂點的三角形與△AOB相似時，求點Q的坐標．(第23題)24．將正方形ABCD的邊AB繞點A逆時針旋轉至AB′的位置，記旋轉角為α.連接BB′，過點D作DE垂直于直線BB′，垂足為點E，連接DB′，CE.(1)如圖①，當α＝60°時，△DEB′的形狀為__________________，eq\f(BB′,CE)的值為__________．(2)當0°<α<360°且α≠90°時，①(1)中的兩個結論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖②的情形進行證明；如果不成立，請說明理由．②當以點B′，E，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出eq\f(BE,B′E)的值．(第24題)答案一、1.已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有兩個相等的實數根，則k的值為（）A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，解得：k＝±4．故選：C．2．C【點撥】根據函數y＝kx＋b的圖象可得k＜0，b＜0，在一元二次方程x2＋x＋k－1＝0中，Δ＝12－4×1×(k－1)＝5－4k＞0，則一元二次方程x2＋x＋k－1＝0的根的存在情況是有兩個不相等的實數根．3.C4．A【點撥】方差反映一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，∵甲、乙的方差分別是0.32，1.5，即s甲2＜s乙2，∴甲秧苗出苗更整齊．5．A【點撥】∵k＝6＞0，∴在反比例函數y＝eq\f(6,x)中，在每個象限內y隨x的增大而減小．∵反比例函數y＝eq\f(6,x)的圖象上有兩點A(1，m)，B(2，n)，1＜2，∴m＞n.6．A【點撥】根據題意得∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，在Rt△ABC中，BC＝eq\f(AC,tan∠ABC)＝100eq\r(3)m.7．C【點撥】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10.∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠C.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AB)，即eq\f(3,6)＝eq\f(AD,10)，∴AD＝eq\f(3×10,6)＝5.8．B【點撥】設AB＝AC＝m，AD＝x，則CD＝m－x，∵∠A＝36°，BD平分∠ABC，∴∠CBD＝eq\f(1,2)∠ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(180°－36°)＝36°.在△ACB和△BCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠C，,∠A＝∠CBD＝36°，))∴△ACB∽△BCD，∴AC∶BC＝BC∶DC，易知BC＝BD＝DA＝x，∴m∶x＝x∶(m－x)，∴x2＋mx－m2＝0,解得x＝eq\f(\r(5)－1,2)m(已舍去負根)，∴AD∶AC＝eq\f(\r(5)－1,2).二、9.eq\f(3,5)【點撥】∵eq\f(x,y)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(x＋y,y)＝eq\f(x,y)＋1＝eq\f(5,3)，∴eq\f(y,x＋y)＝eq\f(3,5).10．60名【點撥】由題意可得eq\f(5,30)×360＝60(名)．11.eq\f(12,13)【點撥】∵tanA＝eq\f(a,b)＝eq\f(12,5)，設a＝12k，則b＝5k，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝13k，∴sinA＝eq\f(a,c)＝eq\f(12,13).12．10000(1－x)2＝810013．15【點撥】∵AB∥CD，∴△EDC∽△EBA，∴eq\f(CD,AB)＝eq\f(ED,EB)，即eq\f(1.5,AB)＝eq\f(2,2＋18)，∴AB＝15米．14．1815．3【點撥】根據根與系數的關系得x1＋x2＝2m＋3，∵x1＋x2＝m2，∴m2＝2m＋3，解得m＝3或－1.又∵方程有兩個實數根，∴[－(2m＋3)]2－4m2≥0，即m≥－eq\f(3,4)，∴m＝3.16．11三、17.解：(1)原式＝－1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋1＝0.(2)原式＝eq\f(\r(2),2)×1＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)－2×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)＋1－eq\f(\r(2),2)＝1.18．解：(1)分解因式得(x－1)(x－3)＝0，可得x－1＝0或x－3＝0，解得x1＝1，x2＝3.(2)∵a＝－1，b＝8，c＝4，∴Δ＝64＋16＝80>0，∴x＝eq\f(－8±4\r(5),－2)＝4±2eq\r(5)，則x1＝4－2eq\r(5)，x2＝4＋2eq\r(5).19．解：(1)把(1，4)代入y＝eq\f(k,x)得4＝eq\f(k,1)，解得k＝4.(2)由B是AC的中點可得B點的縱坐標是A點縱坐標的一半，即y＝2，把y＝2代入y＝eq\f(4,x)得2＝eq\f(4,x)，解得x＝2，故點B的坐標為(2，2)．(3)由點A，B的坐標求得直線AB的表達式為y＝－2x＋6，令y＝0，求得x＝3，∴點C的坐標為(3，0)，∴△OAC的面積為eq\f(1,2)×3×4＝6.20．解：(1)∵被抽取的總人數為12÷20%＝60(人)，∴被抽取的學生中，成績在C組的有60－6－12－18＝24(人)．(2)C(3)估計全校這次競賽成績在A組的學生有1500×eq\f(6,60)＝150(人)．21．解：如圖，過點D作DF⊥AB于點F.(第21題)在Rt△ADF中，DF＝21米，∠ADF＝45°，∴AF＝DF×tan45°＝21米．在Rt△EDF中，DF＝21米，∠EDF＝30°，∴EF＝DF×tan30°＝7eq\r(3)米．∴AE＝AF＋EF＝21＋7eq\r(3)≈33.1(米)．答：條幅AE的長約為33.1米．22．解：因為圍成的矩形一邊長為x米，所以其鄰邊長為(16－x)米．(1)依題意得x(16－x)＝60，即(x－6)(x－10)＝0.解得x1＝6，x2＝10，即當x是6或10時，圍成的養雞場面積為60平方米．(2)不能圍成面積為70平方米的養雞場．理由如下：當養雞場面積為70平方米時，x(16－x)＝70，即x2－16x＋70＝0.因為Δ＝(－16)2－4×1×70＝－24＜0，所以該方程無解．即不能圍成面積為70平方米的養雞場．23．解：(1)把(－2，0)代入y＝ax＋1中，求得a＝eq\f(1,2)，∴y＝eq\f(1,2)x＋1，∵PC＝2，∴P點縱坐標為2，把y＝2代入y＝eq\f(1,2)x＋1，得x＝2，即P(2，2)，把P點坐標代入y＝eq\f(k,x)得k＝4，則雙曲線表達式為y＝eq\f(4,x)(x>0)．(2)如圖，設Q(m，n)，∵Q(m，n)在雙曲線y＝eq\f(4,x)(x>0)上，∴n＝eq\f(4,m)，(第23題)易知B點坐標為(0，1)，∴OB＝1.當△QCH∽△BAO時，可得eq\f(CH,AO)＝eq\f(QH,BO)，即eq\f(m－2,2)＝eq\f(n,1)，∴m－2＝2n，即m－2＝eq\f(8,m)，解得m＝4或m＝－2(舍去)．當m＝4時，n＝1.∴Q(4，1)；當△QCH∽△ABO時，可得eq\f(CH,BO)＝eq\f(QH,AO)，即eq\f(m－2,1)＝eq\f(n,2)，整理得2m－4＝eq\f(4,m)，解得m＝1＋eq\r(3)或m＝1－eq\r(3)(舍去)，當m＝1＋eq\r(3)時，n＝2eq\r(3)－2，∴Q(1＋eq\r(3)，2eq\r(3)－2)．綜上，Q(4，1)或Q(1＋eq\r(3)，2eq\r(3)－2)．24．解：(1)等腰直角三角形；eq\r(2)(2)①仍然成立．證明：連接BD.∵AB＝AB′，∠BAB′＝α，∴∠B′AD＝α－90°，∠AB′B＝90°－eq\f(α,2).∵AD＝AB′，∴∠AB′D＝135°－eq\f(α,2).∴∠EB′D＝∠AB′D－∠AB′B＝45°.∵DE⊥BB′，∴∠EDB′＝45°＝∠EB′D.∴△DEB′是等腰直角三角形．∴eq\f(DB′,DE)＝eq\r(2).∵四邊形ABCD為正方形，∴eq\f(BD,CD)＝eq\r(2)，∠BDC＝45°.∴eq\f(BD,CD)＝eq\f(DB′,DE)，∠EDB′＝∠BDC，∴∠B′DB＝∠EDC.∴△B′DB∽△EDC.∴eq\f(BB′,CE)＝eq\f(BD,CD)＝eq\r(2).②eq\f(BE,B′E)的值為3或1.2023年湘教版數學九年級上冊期末考試檢測試題（二）一、選擇題（本大題共8小題，共24分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.從?1，0，2，?0.3，π，13中任意抽取一個數．下列事件發生的概率最大的是(

)A.抽取正數 B.抽取非負數 C.抽取無理數 D.抽取分數2.如圖，在平面直角坐標系中，以原點為位似中心，將線段CD放大得到線段AB，D的坐標為D(2,0)，若點B的坐標為(6,0)，則S△ODC：S△OBA為(

)A.1：2B.1：3C.1：9D.2：33.如圖，在矩形ABCD中，E，F分別是CD，BC上的點.若∠AEF=90°，則一定有(

)A.△AEF∽△ABFB.△ABF∽△ECFC.△ADE∽△AEFD.△ADE∽△ECF4.將拋物線y=x2?2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為(

)A.y=(x?1)2+4C.y=(x+2)2+65.若兩個相似五多邊形的面積比為9：64，則它們的周長的比是(

)A.8：3B.3：8C.9：64D.64：96.已知點A(?1,m)，B(1,m)，C(2,m?n)(n>0)在同一個函數的圖象上，這個函數可能是(

)A.y=xB.y=?2xC.y=x7.如圖，點A，B，C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，若∠DCE=40°，則∠ACB的度數為(

)A.140° B.70° C.110°8.如圖，AB為等腰直角三角形ABC的斜邊(AB為定長線段)，O為AB的中點，P為AC延長線上的一個動點，線段PB的垂直平分線交線段OC于點E，交PB于點D，當P點運動時，給出下列四個結論：?①E為△ABP的外心;?②∠PEB=90°;?③PC?BE=OE?PB;?④2A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題（本大題共8小題，共24分）9.從甲、乙、丙三人中任選兩人參加“青年志愿者”活動，甲被選中的概率為

．10.秋天紅透的楓葉，總能牽動人們無盡的思緒，所以詩人杜牧說：“停車坐愛楓林晚，霜葉紅于二月花”如圖是兩片形狀相同的楓葉圖案，則x的值為

．11.若點P(a,b)在拋物線y=?2x2+2x+1上，則a?b的最小值為______12.用一條足夠長且寬相等的紙條打一個結，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖所示的正五邊形ABCDE，其中∠BAC=

度.13.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，tan∠ACD=34，AB=5，那么CD的長是14.如圖，四邊形ABCD∽四邊形GFEH，且∠A=∠G=70°，∠B=60°，∠E=120°，DC=24，HE=18，HG=21，則∠F=

，∠D=

，AD=15.如圖，CD=3BD，AF=FD，則AE:AC=

．16.在一個不透明的袋子中，裝有紅球和白球共20個，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球記下顏色，再把它放回袋子中，不斷重復試驗，統計結果顯示，隨著試驗次數越來越大，摸到紅球的頻率逐漸穩定在0.3左右，則據此估計袋子中有白球

個.三、解答題（本大題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題8分)如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AD2=BD?CD，記△ADB的面積為S(1)求證：△ADB∽△CDA；(2)若S△ADB：S△CDA=1：4，求18.(本小題8分)在△ABC中，AB=?6，BC=4，B為銳角且cos?B?=(1)

求∠B的度數．(2)求△ABC的面積．(3)求tanC.19.(本小題8分)如圖，已知△ABC是⊙O的內接三角形，AD是⊙O的直徑，連結BD，BC平分∠ABD．(1)求證：∠CAD=∠ABC；(2)若AD=6，求CD的長．20.(本小題8分)已知線段a、b、c滿足a3=b(1)求a、b、c的值；(2)若線段x是線段a、6b的比例中項，求x．21.(本小題8分)某衛視曾播出一期“辨臉識人”的節目，參賽選手以家庭為單位，每組家庭由爸爸、媽媽和寶寶3人組成，爸爸、媽媽和寶寶分散在三塊區域，選手需在寶寶中選一個寶寶，然后分別在爸爸區域和媽媽區域中正確地找出這個寶寶的父母，不考慮其他因素，僅從數學角度思考，已知在某期比賽中有A、B、C三組家庭參加比賽．(1)求選手選擇A組家庭的寶寶時，在媽媽區域中正確找出其媽媽的概率;(2)如果任選一個寶寶(假如選A組家庭)，通過列表或畫樹狀圖的方法，求選手至少正確找對寶寶父母其中一人的概率．22.(本小題8分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分線，過A、C、D三點的圓與斜邊AB交于點E，連接(1)求BE的長;(2)求△ACD外接圓的半徑．23.(本小題8分)如圖，△ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AB=5，AC=3.連接OC，弦AD分別交OC，BC于點E，F，其中點E是AD的中點．(1)求證：∠CAD=∠CBA．(2)求EF：FD的值．24.(本小題8分)學校草坪上安裝了一個插地式可升降噴水器，噴出的水柱呈拋物線．如圖1，以噴水器安裝點O為原點，水平方向為x軸建立直角坐標系．在噴水器升降過程中，水柱形狀保持不變，灑水半徑OA隨著噴頭距離地面高度?的變化而變化．當噴頭B距離地面高度為0.2?m時，噴出的水柱在到O點水平距離1?m處達到最高，高度為0.6?m．(1)求此時噴水器的灑水半徑．(2)如圖2，距噴水器安裝點2?m處有一圈寬度為1?m的環形花卉區，若要對花卉區進行噴水(包括邊界)，求噴頭B距離地面高度?的運動變化范圍．25.(本小題8分)已知兩個函數：y1=ax(1)求證：y1，y2的圖象均經過點(2)當a>0，?2≤x≤2時，若y=y2?(3)當a>0，x<2時，比較函數值y2023年湘教版數學九年級上冊期末考試檢測試題及答案（三）一、選擇題(每題3分，共30分)1．已知非零實數a，b，c，d滿足eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，則下列關系中成立的是()A.eq\f(a,d)＝eq\f(c,b) B.eq\f(a,c)＝eq\f(b,d) C．ac＝bd D.eq\f(a＋1,b)＝eq\f(c＋1,d)2．下列結論中正確的是()A．sin60°＝eq\f(1,2)B．tan60°＝eq\r(3)C．sin45°＝eq\f(\r(3),2)D．cos30°＝eq\f(1,2)3．若反比例函數的圖象經過點(2，－2)，(m，1)，則m的值為()A．1 B．－1 C．4 D．－44．某種植基地2019年蔬菜產量為80噸，預計2021年蔬菜產量達到100噸，求蔬菜產量的年平均增長率．設蔬菜產量的年平均增長率為x，則可列方程為()A．80(1＋x)2＝100 B．100(1－x)2＝80C．80(1＋2x)＝100 D．80(1＋x2)＝1005．已知k1＞0＞k2，則函數y＝k1x和y＝eq\f(k2,x)在同一平面直角坐標系中的圖象大致是()6．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足為點D，CD＝1，則AB的長為()A．2 B．2eq\r(3) C.eq\f(\r(3),3)＋1 D.eq\r(3)＋17．李大伯承包了一個果園，種植了100棵櫻桃樹，今年已進入收獲期．收獲時，從中任選并采摘了10棵樹的櫻桃，分別稱得每棵樹所產櫻桃的質量如下表：序號12345678910質量/千克14212717182019231922據調查，市場上今年櫻桃的批發價格為每千克30元．用所學的統計知識估計今年此果園櫻桃的總產量與按批發價格銷售櫻桃所得的總收入分別為()A．200千克，6000元 B．1900千克，57000元C．2000千克，60000元 D．1850千克，55500元8．已知反比例函數y＝eq\f(ab,x)，當x＞0時，y隨x的增大而增大，則關于x的方程ax2－2x＋b＝0的根的情況是()A．有兩個正根 B．有兩個負根C．有一個正根和一個負根 D．沒有實數根9．如圖，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值為()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(2),3)10．如圖，在鈍角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，動點D從點A出發到點B停止，動點E從點C出發到點A停止．點D運動的速度為1cm/s，點E運動的速度為2cm/s.如果兩點同時運動，那么當以點A，D，E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是()A．3s或4.8sB．3sC．4.5sD．4.5s或4.8s二、填空題(每題3分，共24分)11．方程(x－2)(x－3)＝6的解為____________．12．在△ABC中，∠A，∠B都是銳角，若sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(1,2)，則∠C＝________．13．某學校為了解學生課間體育活動情況，隨機抽取本校100名學生進行調查，整理收集到的數據，繪制成如圖所示的統計圖．若該校共有800名學生，則估計喜歡“踢毽子”的學生有________名．14．如圖，△ABC中，E，F分別是AB，AC上的兩點，且eq\f(AE,EB)＝eq\f(AF,FC)＝eq\f(1,2)，若△AEF的面積為2，則四邊形EBCF的面積為________．15．如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為45°，測得底部C的俯角為60°，此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為110m，那么該建筑物的高度BC約為________m．(結果保留整數，eq\r(3)≈1.73)16．如圖，在?ABCD中，過點B的直線與AC，AD及CD的延長線分別相交于E，F，G.若BE＝6，EF＝2，則FG等于________．17．已知關于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1，x2是此方程的兩個實數根，現給出三個結論：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x21＋x22＜a2＋b2.則正確結論的序號是________．18．關于x的反比例函數y＝eq\f(a＋4,x)的圖象如圖所示，A，P為該圖象上的點，且關于原點成中心對稱．在△PAB中，PB∥y軸，AB∥x軸，PB與AB相交于點B.若△PAB的面積大于12，則關于x的方程(a－1)x2－x＋eq\f(1,4)＝0的根的情況是______________．三、解答題(19，20題每題8分，22，23題每題10分，21，24題每題15分，共66分)19．計算或解方程：(1)tan260°＋4sin30°·cos45°－(2021－π)0；(2)2x2－3x－9＝0.20．如圖，Rt△ABO的頂點A是雙曲線y＝eq\f(k,x)與直線y＝－x＋(k＋1)在第四象限的交點，AB⊥x軸于B，且S△ABO＝eq\f(3,2).(1)求雙曲線和直線的表達式；(2)求直線與雙曲線的兩個交點A，C的坐標及△AOC的面積．21．2022年2月4日～20日第24屆冬季奧林匹克運動會將在北京市和張家口市聯合舉行．某校對七年級學生開展了“冬奧會知多少”的調查活動，采取隨機抽樣的方法進行問卷調查，問卷調查的結果劃分為“不太了解”“基本了解”“比較了解”“非常了解”四個等級，對調查結果進行統計后，繪制了如下不完整的條形統計圖，已知“基本了解”的人數占抽樣調查人數的25%，根據統計圖提供的信息，回答下列問題：(1)此次調查抽取了________名學生；(2)補全條形統計圖；(3)若該校七年級有600名學生，請估計“比較了解”和“非常了解”的學生共有多少人？22．在水果銷售旺季，某水果店購進一種優質水果，進價為20元/千克，售價不低于20元/千克，且不超過32元/千克．根據銷售情況，發現該水果一天的銷售量y(千克)與該天的售價x(元/千克)滿足如下表所示的一次函數關系．銷售量y/千克…34.83229.628…售價x/(元/千克)…22.62425.226…(1)某天這種水果的售價為23.5元/千克，求當天該水果的銷售量；(2)如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該水果的售價為多少元/千克？23．一名徒步愛好者來衡陽旅行，他從賓館C處出發，沿北偏東30°的方向行走2000米到達石鼓書院A處，參觀后又從A處沿正南方向行走一段距離，到達位于賓館C處南偏東45°方向的雁峰公園B處，如圖所示．(1)求這名徒步愛好者從石鼓書院走到雁峰公園的途中與賓館的最短距離；(2)若這名徒步愛好者以100米/分的速度從雁峰公園返回賓館，那么他在15分鐘內能否到達賓館？24．如圖①，點O在線段AB上，AO＝2，OB＝1，OC為射線，且∠BOC＝60°，動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發，沿射線OC做勻速運動，設運動時間為t秒．(1)當t＝eq\f(1,2)時，OP＝________，S△ABP＝________；(2)當△ABP是直角三角形時，求t的值；(3)如圖②，當AP＝AB時，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP＝∠B，求證：AQ·BP＝3.答案一、1.B2.B3.D4.A5．C點撥：∵k1＞0＞k2，∴函數y＝k1x的圖象過第一、三象限，反比例函數y＝eq\f(k2,x)的圖象分布在第二、四象限．故選C.6．D7.C8.C9．A點撥：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴△ADF∽△EBF.∴eq\f(AD,EB)＝eq\f(AF,EF)＝eq\f(DF,BF).∵點E是BC的中點，AD＝BC，∴eq\f(AD,EB)＝eq\f(AF,EF)＝eq\f(DF,BF)＝2.設EF＝x，則AF＝2x.易知△ABF∽△BEF，∴eq\f(AF,BF)＝eq\f(BF,EF).∴BF＝eq\r(2)x.∵eq\f(DF,BF)＝2，∴DF＝2eq\r(2)x.在Rt△DEF中，tan∠BDE＝eq\f(EF,DF)＝eq\f(x,2\r(2)x)＝eq\f(\r(2),4).故選A.10．A二、11.x1＝0，x2＝512．60°點撥：∵在△ABC中，∠A，∠B都是銳角，sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(1,2)，∴∠A＝∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－60°＝60°.13．20014.1615.30016．16點撥：∵AD∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴eq\f(AE,CE)＝eq\f(EF,EB)，又易得△ABE∽△CGE，∴eq\f(BE,GE)＝eq\f(AE,CE)，∴eq\f(BE,GE)＝eq\f(EF,EB).將BE＝6，EF＝2代入，求得EG＝18，∴FG＝EG－EF＝18－2＝16.17．①②18．沒有實數根點撥：∵反比例函數y＝eq\f(a＋4,x)的圖象在第一、三象限內，∴a＋4＞0，即a＞－4.∵A，P兩點關于原點成中心對稱，PB∥y軸，AB∥x軸，△PAB的面積大于12，∴2(a＋4)＞12，即a＋4＞6，∴a＞2.∴Δ＝(－1)2－4(a－1)×eq\f(1,4)＝2－a＜0.∴關于x的方程(a－1)x2－x＋eq\f(1,4)＝0沒有實數根．三、19.解：(1)原式＝(eq\r(3))2＋4×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)－1＝3＋eq\r(2)－1＝2＋eq\r(2).(2)方法一：因為a＝2，b＝－3，c＝－9，所以b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－9)＝81，所以x＝eq\f(3±\r(81),4)，所以x1＝3，x2＝－eq\f(3,2).方法二：原方程可化為(x－3)(2x＋3)＝0，所以x1＝3，x2＝－eq\f(3,2).20．解：(1)設A點的坐標為(x0，y0)，∵S△ABO＝eq\f(3,2)，∴eq\f(1,2)|x0y0|＝eq\f(3,2)，∴|k|＝3，k＝±3.∵A點在第四象限內，∴k＝－3.∴雙曲線的表達式為y＝－eq\f(3,x)，直線的表達式為y＝－x－2.(2)聯立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(3,x)，,y＝－x－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－3，,y1＝1，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝1，,y2＝－3.))∴A點的坐標為(1，－3)，C點的坐標為(－3，1)．設直線AC與y軸交于點D，則D點的坐標為(0，－2)，則S△AOC＝S△AOD＋S△COD＝eq\f(1,2)×2×1＋eq\f(1,2)×2×3＝4.21．解：(1)40(2)如圖所示：(3)估計“比較了解”和“非常了解”的學生共有600×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,40)＋\f(11,40)))＝390(人)．22．解：(1)設y與x之間的函數關系式為y＝kx＋b.將(22.6，34.8)，(24，32)代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22.6k＋b＝34.8，,24k＋b＝32，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝80，))∴y與x之間的函數關系式為y＝－2x＋80.當x＝23.5時，y＝－2x＋80＝33.答：當天該水果的銷售量為33千克．(2)根據題意得(x－20)(－2x＋80)＝150，解得x1＝35，x2＝25.∵20≤x≤32，∴x＝25.答：如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該水果的售價為25元/千克．23．解：(1)如圖，過點C作南北方向線l，作CD⊥AB于D點，根據垂線段最短可知線段CD的長是從石鼓書院走到雁峰公園的途中與賓館的最短距離．由題意知，∠1＝30°，AB∥l，所以∠A＝∠1＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2000米，所以CD＝eq\f(1,2)AC＝1000米．答：這名徒步愛好者從石鼓書院走到雁峰公園的途中與賓館的最短距離為1000米．(2)由(1)可知CD＝1000米．由題意知，∠2＝45°，所以∠B＝∠2＝45°.在Rt△BCD中，BC＝eq\r(2)CD＝1000eq\r(2)米．設這名徒步愛好者從雁峰公園返回賓館用了x分鐘，根據題意，得100x＝1000eq\r(2).解得x＝10eq\r(2).因為10eq\r(2)<15，所以這名徒步愛好者在15分鐘內能到達賓館．24．(1)1；eq\f(3\r(3),4)(2)解：①∵∠A＜∠BOC＝60°，∴∠A不可能是直角．②如圖①，當∠ABP＝90°時，∵∠BOC＝60°，∴∠OPB＝30°.∴OP＝2OB，即2t＝2.∴t＝1.③如圖②，當∠APB＝90°時，作PD⊥AB，垂足為D，則∠ADP＝∠PDB＝90°.∵OP＝2t，∠BOP＝60°，∴OD＝t，PD＝eq\r(3)t，∴AD＝2＋t，BD＝1－t.BP2＝(1－t)2＋3t2，AP2＝(2＋t)2＋3t2.∵BP2＋AP2＝AB2，∴(1－t)2＋3t2＋(2＋t)2＋3t2＝9，即4t2＋t－2＝0.解得t1＝eq\f(－1＋\r(33),8)，t2＝eq\f(－1－\r(33),8)(舍去)．綜上，當△ABP為直角三角形時，t＝1或eq\f(－1＋\r(33),8).(3)證明：∵AP＝AB，∴∠APB＝∠B.如圖③，作OE∥AP，交BP于點E，∴∠OEB＝∠APB＝∠B.∵AQ∥BP，∴∠QAB＋∠B＝180°.∵∠3＋∠OEB＝180°，∴∠3＝∠QAB.∵∠AOC＝∠2＋∠B＝∠1＋∠QOP，∠B＝∠QOP，∴∠1＝∠2.∴△QAO∽△OEP.∴eq\f(AQ,EO)＝eq\f(AO,EP)，即AQ·EP＝EO·AO.∵OE∥AP，∴△OBE∽△ABP.∴eq\f(OE,AP)＝eq\f(BE,BP)＝eq\f(BO,BA)＝eq\f(1,3).∴OE＝eq\f(1,3)AP＝1，BP＝eq\f(3,2)EP.∴AQ·BP＝AQ·eq\f(3,2)EP＝eq\f(3,2)AO·OE＝eq\f(3,2)×2×1＝3.2023年湘教版數學九年級上冊期末考試檢測試題及答案（四）一、選擇題1．函數中，自變量的取值范圍是()A. B.C.的一切實數D.取任意實數2．如圖是由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的主視圖和俯視圖，則所需的小正方體的個數最少是()A．6 B．5 C．4 D．33．在Rt△ABC中，cosA＝eq\f(1,2)，那么sinA的值是()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,2)4．已知一組數據：3，4，5，6，5，7.那么這組數據的方差是()A． B． C． D．5．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ACO＝30°，則∠B的度數是()A．30° B．45° C．60° D．75°6．若將二次函數的圖象向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度，則平移后的二次函數的頂點坐標為()A．（－3，1）B．（3，1）C．（2，2）D．（－3，－3）7．一元二次方程有兩個相等實根，則的值為()A．－1B． C．，D．，8．下列五個命題：①過弦的中點的直線必過圓心；②相等的圓心角所對的弧相等；③弦的垂線平分線平分弦所對的弧；④若圓的一弦長等于圓半徑，則其所對的圓周角是30°；⑤三點可以確定一個圓．其中是真命題有()A．1個 B．2個 C．0個 D．3個9．等邊三角形的內切圓半徑、外接圓半徑和一邊上的高的比為()A．1∶eq\r(2)∶eq\r(3)B．1∶2∶eq\r(3)C．1∶eq\r(3)∶2D．1∶2∶310．如圖，用一個半徑為30cm，面積為300πcm2的扇形鐵皮，制作一個無底的圓錐（不計損耗），則圓錐的底面半徑r為()A.5cm B.10cmC.20cm D.5πcm11．如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD邊BC、CD的中點，AE、AF交BD于點G、H，若△AGH的面積為1，則五邊形CEGHF的面積是（）A．1 B．2C．3 D．412.已知二次函數的圖象如圖，且關于的一元二次方程沒有實數根，有下列結論：①；②；③；④．其中，正確結論的個數是()A．0B．1C．2D．3二、填空題(本大題共6題，每小題3分，共18分，請將答案填在題中的橫線上)13．拋物線的對稱軸是．14．已知是關于的一元二次方程，則＝．15．已知⊙O半徑為5，點O到直線的距離為3，則直線與⊙O的位置關系為．16．如圖，等邊三角形OAB的一邊OA在軸上，函數在第一象限內的圖象經過OB邊的中點C，則點B的坐標是．17．如圖，已知△OAB是等腰直角三角形，OA＝OB＝，點E是AB上一點，且∠AOE＝15°，以O為圓心，OE的長為半徑畫弧，與△OAB的三邊分別交于點C、F、D，則圖中陰影部分的面積為．（結果保留π）．18．如圖，拋物線的圖象與坐標軸交于點A，B，D，頂點為E，以AB為直徑畫半圓交y正半軸交于點C，圓心為M，P是半圓上的一動點，連接EP．①點E在⊙M的內部；②CD的長為；③若P與C重合，則∠DPE＝15°；④在P的運動過程中，若AP＝，則PE＝4．其中正確結論的個數是．三、解答題（本大題共8小題，滿分66分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．(本題滿分10分，每小題5分)(1)計算：(2)解方程：20．（本題滿分5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圓規作出該三角形的內切圓（不寫作法，保留作圖痕跡）．21.（本題滿分6）如圖，已知一次函數的圖象與軸軸分別交于點A、B，與反比例函數的圖象分別交于點C、D，且C點的坐標為（-1，2）．（1）分別求出一次函數及反比例函數的關系式；（2）求出點D的坐標并直接寫出的解集．22．（本題滿分8）中華文明，源遠流長；中華漢字，寓意深廣．為傳承中華優秀傳統文化，某校團委組織了一次全校3000名學生參加的“漢字聽寫”大賽．為了解本次大賽的成績，校團委隨機抽取了其中200名學生的成績(成績x取整數，總分100分)作為樣本進行統計，制成如下不完整的統計圖表：頻數頻率分布表成績x(分)頻數（人）頻率50≤x＜60100.0560≤x＜70300.1570≤x＜8040n80≤x＜90m0.3590≤x≤100500.25根據所給信息，解答下列問題：（1）＝，＝；（2）補全頻數分布直方圖；（3）若成績在90分以上（包括90分）為“優”等，請你估計該校參加本次比賽的3000名學生中成績是“優”等的約有多少人？23．（本題滿分8分）為豐富居民業余生活，某居民區組建籌委會，該籌委會動員居民自愿集資建立一個書刊閱覽室，經預算，一共需要籌資30000元，其中一部分用于購買書桌、書架等設施，另一部分用于購買書刊．（1）籌委會計劃，購買書刊的資金不少于購買書桌、書架等設施資金的3倍，問最多用多少資金購買書桌、書架等設施？（2）經初步統計，有200戶居民自愿參與集資，那么平均每戶需要集資150元．鎮政府了解情況后，贈送了一批閱覽室設施和書籍，這樣，只需參與戶集資20000元．經籌委會進一步宣傳，自愿參與的戶數在200戶的基礎上增加了（其中），則每戶平均集資的資金在150元的基礎上減少了，求的值．24．（本題滿分8分）如圖，以△ABC的邊AC為直徑的⊙O恰為△ABC的外接圓，∠ABC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB＝4，BC＝2，求DE的長．25．（本題滿分11分）如圖，直線與軸、軸分別相交于點B、C，經過B、C兩點的拋物線與軸的另一個交點為A，頂點為P，且對稱軸為直線．（1）求該拋物線的解析式；（2）連接PB、PC，求△PBC的面積；（3）連接AC，在軸上是否存在一點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．26．（本題滿分10分）如圖，在正方形ABCD中，點E、G分別是邊AD、BC的中點，AF＝AB．（1）求證：EF⊥AG；（2）若點F、G分別在線段AB、BC上同時向右、向上運動，點G運動速度是點F運動速度的2倍，EF⊥AG是否成立，請說明理由？（3）正方形ABCD的邊長為4，P是正方形ABCD內一點，EF與AG交點為O，當S△PAB＝S△OAB，求△PAB周長的最小值．2023年湘教版數學九年級上冊期末考試檢測試題及答案（五）一．根的判別式（共2小題）1．（2022?懷化）下列一元二次方程有實數解的是（）A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝02．（2020?懷化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有兩個相等的實數根，則k的值為（）A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2二．根與系數的關系（共1小題）3．（2021?懷化）對于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，則該方程根的情況為（）A．沒有實數根 B．兩根之和是3 C．兩根之積是﹣2 D．有兩個不相等的實數根三．反比例函數圖象上點的坐標特征（共1小題）4．（2020?懷化）如圖，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一邊在x軸上的等邊三角形，點B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，點A1，A2，A3，…，An，都在x軸上，則An的坐標為．四．反比例函數與一次函數的交點問題（共2小題）5．（2022?懷化）如圖，直線AB交x軸于點C，交反比例函數y＝（a＞1）的圖象于A、B兩點，過點B作BD⊥y軸，垂足為點D，若S△BCD＝5，則a的值為（）A．8 B．9 C．10 D．116．（2020?懷化）在同一平面直角坐標系中，一次函數y1＝k1x+b與反比例函數y2＝（x＞0）的圖象如圖所示，則當y1＞y2時，自變量x的取值范圍為（）A．x＜1 B．x＞3 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3五．二次函數的應用（共1小題）7．（2021?懷化）某超市從廠家購進A、B兩種型號的水杯，兩次購進水杯的情況如表：進貨批次A型水杯（個）B型水杯（個）總費用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B兩種型號的水杯進價各是多少元？（2）在銷售過程中，A型水杯因為物美價廉而更受消費者喜歡．為了增大B型水杯的銷售量，超市決定對B型水杯進行降價銷售，當銷售價為44元時，每天可以售出20個，每降價1元，每天將多售出5個，請問超市應將B型水杯降價多少元時，每天售出B型水杯的利潤達到最大？最大利潤是多少？（3）第三次進貨用10000元錢購進這兩種水杯，如果每銷售出一個A型水杯可獲利10元，售出一個B型水杯可獲利9元，超市決定每售出一個A型水杯就為當地“新冠疫情防控”捐b元用于購買防控物資．若A、B兩種型號的水杯在全部售出的情況下，捐款后所得的利潤始終不變，此時b為多少？利潤為多少？六．二次函數綜合題（共3小題）8．（2022?懷化）如圖一所示，在平面直角坐標中，拋物線y＝ax2+2x+c經過點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，頂點為點D．在線段CB上方的拋物線上有一動點P，過點P作PE⊥BC于點E，作PF∥AB交BC于點F．（1）求拋物線和直線BC的函數表達式．（2）當△PEF的周長為最大值時，求點P的坐標和△PEF的周長．（3）若點G是拋物線上的一個動點，點M是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在以C、B、G、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點G的坐標，若不存在，請說明理由．9．（2021?懷化）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，與x軸交于點N．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（3）D為CO的中點，一個動點G從D點出發，先到達x軸上的點E，再走到拋物線對稱軸上的點F，最后返回到點C．要使動點G走過的路程最短，請找出點E、F的位置，寫出坐標，并求出最短路程．（4）點Q是拋物線上位于x軸上方的一點，點R在x軸上，是否存在以點Q為直角頂點的等腰Rt△CQR？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．10．（2020?懷化）如圖所示，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點M為拋物線的頂點．（1）求點C及頂點M的坐標．（2）若點N是第四象限內拋物線上的一個動點，連接BN、CN，求△BCN面積的最大值及此時點N的坐標．（3）若點D是拋物線對稱軸上的動點，點G是拋物線上的動點，是否存在以點B、C、D、G為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出點G的坐標；若不存在，試說明理由．（4）直線CM交x軸于點E，若點P是線段EM上的一個動點，是否存在以點P、E、O為頂點的三角形與△ABC相似．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．七．幾何體的展開圖（共1小題）11．（2021?懷化）下列圖形中，可能是圓錐側面展開圖的是（）A． B． C． D．八．圓周角定理（共1小題）12．（2022?懷化）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，＝．求證：（1）AC＝BD；（2）△ABE∽△DCE．九．切線的性質（共1小題）13．（2022?懷化）如圖，AB與⊙O相切于點C，AO＝3，⊙O的半徑為2，則AC的長為．一十．切線的判定與性質（共1小題）14．（2021?懷化）如圖，在半徑為5cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過⊙O上一點C的直線，且AD⊥DC于點D，AC平分∠BAD，E是BC的中點，OE＝3cm．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求AD的長．一十一．扇形面積的計算（共1小題）15．（2021?懷化）如圖，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，則圖中陰影部分的面積是．（結果保留π）一十二．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共2小題）16．（2021?懷化）政府將要在某學校大樓前修一座大橋．如圖，宋老師測得大樓的高是20米，大樓的底部D處與將要修的大橋BC位于同一水平線上，宋老師又上到樓頂A處測得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分別為67°和22°，宋老師說現在我能算出將要修的大橋BC的長了．同學們：你知道宋老師是怎么算的嗎？請寫出計算過程（結果精確到0.1米）．其中sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈17．（2020?懷化）如圖，某數學興趣小組為測量一棵古樹的高度，在距離古樹m米的A點處測得古樹頂端D的仰角為30°，然后向古樹底端C步行20米到達點B處，測得古樹頂端D的仰角為45°，且點A、B、C在同一直線上，求古樹CD的高度．（已知：≈1.414，≈1.732，結果保留整數）一十三．解直角三角形的應用-方向角問題（共1小題）18．（2022?懷化）某地修建了一座以“講好隆平故事，厚植種子情懷”為主題的半徑為800米的圓形紀念園．如圖，紀念園中心點A位于C村西南方向和B村南偏東60°方向上．C村在B村的正東方向且兩村相距2.4km．有關部門計劃在B、C兩村之間修一條筆直的公路來連接兩村．問該公路是否穿過紀念園？試通過計算加以說明．（參考數據：≈1.73，≈1.41）一十四．隨機事件（共1小題）19．（2021?懷化）“成語”是中華文化的瑰寶，是中華文化的微縮景觀．下列成語：①“水中撈月”，②“守株待兔”，③“百步穿楊”，④“甕中捉鱉”描述的事件是不可能事件的是（）A．① B．② C．③ D．④一十五．概率公式（共1小題）20．（2022?懷化）從下列一組數﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中隨機抽取一個數，這個數是負數的概率為（）A． B． C． D．一十六．列表法與樹狀圖法（共2小題）21．（2021?懷化）某校開展了“禁毒”知識的宣傳教育活動．為了解這次活動的效果，現隨機抽取部分學生進行知識測試，并將所得數據繪制成不完整的統計圖表．等級頻數（人數）頻率優秀600.6良好a0.25合格10b基本合格50.05合計c1根據統計圖表提供的信息，解答下列問題：（1）a＝，b＝，c＝；（2）補全條形統計圖；（3）該學校共有1600名學生，估計測試成績等級在合格以上（包括合格）的學生約有多少人？（4）在這次測試中，九年級（3）班的甲、乙、丙、丁四位同學的成績均為“優秀”，現班主任準備從這四名同學中隨機選取兩名同學出一期“禁毒”知識的黑板報，請用列表法或畫樹狀圖法求甲、乙兩名同學同時被選中的概率．22．（2020?懷化）為了豐富學生們的課余生活，學校準備開展第二課堂，有四類課程可供選擇，分別是“A．書畫類、B．文藝類、C．社會實踐類、D．體育類”．現隨機抽取了七年級部分學生對報名意向進行調查，并根據調查結果繪制了兩幅不完整的統計圖，請你根據圖表信息回答下列問題：（1）本次被抽查的學生共有名，扇形統計圖中“A．書畫類”所占扇形的圓心角的度數為度；（2）請你將條形統計圖補全；（3）若該校七年級共有600名學生，請根據上述調查結果估計該校學生選擇“C．社會實踐類”的學生共有多少名？（4）本次調查中抽中了七（1）班王芳和小穎兩名學生，請用列表法或畫樹狀圖法求她們選擇同一個項目的概率．參考答案與試題解析一．根的判別式（共2小題）1．（2022?懷化）下列一元二次方程有實數解的是（）A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0【解答】解：A．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，∴方程2x2﹣x+1＝0沒有實數根；B．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴方程x2﹣2x+2＝0沒有實數根；C．∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴方程x2+3x﹣2＝0有兩個不相等的實數根；D．∵Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，∴方程x2+2＝0沒有實數根．故選：C．2．（2020?懷化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有兩個相等的實數根，則k的值為（）A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，解得：k＝±4．故選：C．二．根與系數的關系（共1小題）3．（2021?懷化）對于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，則該方程根的情況為（）A．沒有實數根 B．兩根之和是3 C．兩根之積是﹣2 D．有兩個不相等的實數根【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0沒有實數根．故選：A．三．反比例函數圖象上點的坐標特征（共1小題）4．（2020?懷化）如圖，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一邊在x軸上的等邊三角形，點B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，點A1，A2，A3，…，An，都在x軸上，則An的坐標為（2，0）．【解答】解：如圖，過點B1作B1C⊥x軸于點C，過點B2作B2D⊥x軸于點D，過點B3作B3E⊥x軸于點E，∵△OA1B1為等邊三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C＝OC，設OC的長度為t，則B1的坐標為（t，t），把B1（t，t）代入y＝得t?t＝，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），設A1D的長度為m，同理得到B2D＝m，則B2的坐標表示為（2+m，m），把B2（2+m，m）代入y＝得（2+m）×m＝，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍去），∴A1D＝，A1A2＝，OA2＝，∴A2（，0）設A2E的長度為n，同理，B3E為n，B3的坐標表示為（2+n，n），把B3（2+n，n）代入y＝得（2+n）?n＝，∴A2E＝，A2A3＝，OA3＝，∴A3（，0），綜上可得：An（，0），故答案為：．四．反比例函數與一次函數的交點問題（共2小題）5．（2022?懷化）如圖，直線AB交x軸于點C，交反比例函數y＝（a＞1）的圖象于A、B兩點，過點B作BD⊥y軸，垂足為點D，若S△BCD＝5，則a的值為（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：設點B的坐標為（m，），∵S△BCD＝5，且a＞1，∴×m×＝5，解得：a＝11，故選：D．6．（2020?懷化）在同一平面直角坐標系中，一次函數y1＝k1x+b與反比例函數y2＝（x＞0）的圖象如圖所示，則當y1＞y2時，自變量x的取值范圍為（）A．x＜1 B．x＞3 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3【解答】解：由圖象可得，當y1＞y2時，自變量x的取值范圍為1＜x＜3，故選：D．五．二次函數的應用（共1小題）7．（2021?懷化）某超市從廠家購進A、B兩種型號的水杯，兩次購進水杯的情況如表：進貨批次A型水杯（個）B型水杯（個）總費用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B兩種型號的水杯進價各是多少元？（2）在銷售過程中，A型水杯因為物美價廉而更受消費者喜歡．為了增大B型水杯的銷售量，超市決定對B型水杯進行降價銷售，當銷售價為44元時，每天可以售出20個，每降價1元，每天將多售出5個，請問超市應將B型水杯降價多少元時，每天售出B型水杯的利潤達到最大？最大利潤是多少？（3）第三次進貨用10000元錢購進這兩種水杯，如果每銷售出一個A型水杯可獲利10元，售出一個B型水杯可獲利9元，超市決定每售出一個A型水杯就為當地“新冠疫情防控”捐b元用于購買防控物資．若A、B兩種型號的水杯在全部售出的情況下，捐款后所得的利潤始終不變，此時b為多少？利潤為多少？【解答】解：（1）設A種型號的水杯進價為x元，B種型號的水杯進價為y元，根據題意得：，解得：．答：A種型號的水杯進價為20元，B種型號的水杯進價為30元；（2）設超市應將B型水杯降價m元時，每天售出B型水杯的利潤為W元，根據題意，得：W＝（44﹣m﹣30）（20+5m）＝﹣5m2+50m+280＝﹣5（m﹣5）2+405，∴當m＝5時，W取得最大值，最大值為405元，答：超市應將B型水杯降價5元時，每天售出B型水杯的利潤達到最大，最大利潤為405元；（3）∵設總利潤為w元，購進A種水杯a個，依題意，得：w＝（10﹣b）a+9×＝（10﹣6﹣b）a+3000，∵捐款后所得的利潤始終不變，∴w值與a值無關，∴10﹣6﹣b＝0，解得：b＝4，∴w＝（10﹣6﹣4）a+3000＝3000，答：捐款后所得的利潤始終不變，此時b為4元，利潤為3000元．六．二次函數綜合題（共3小題）8．（2022?懷化）如圖一所示，在平面直角坐標中，拋物線y＝ax2+2x+c經過點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，頂點為點D．在線段CB上方的拋物線上有一動點P，過點P作PE⊥BC于點E，作PF∥AB交BC于點F．（1）求拋物線和直線BC的函數表達式．（2）當△PEF的周長為最大值時，求點P的坐標和△PEF的周長．（3）若點G是拋物線上的一個動點，點M是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在以C、B、G、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點G的坐標，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+2x+c經過點A（﹣1，0）、B（3，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，可得y＝3，∴C（0，3），設直線BC的解析式為y＝kx+b，則，∴，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3；（2）如圖一中，連接PC，OP，PB．設P（m，﹣m2+2m+3），∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，∵PF∥AB，∴∠PFE＝∠OBC＝45°，∵PE⊥BC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE的值最大時，△PEF的周長最大，∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴m＝時，△PBC的面積最大，面積的最大值為，此時PE的值最大，∵×3×PE＝，∴PE＝，∴△PEF的周長的最大值＝++＝+，此時P（，）；（3）存在．理由：如圖二中，設M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．當BC為平行四邊形的邊時，則有|1﹣m|＝3，解得m＝﹣2或4，∴G（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），當BC為平行四邊形的對角線時，（1+m）＝（0+3），∴m＝2，∴G（2，3），綜上所述，滿足條件的點G的坐標為（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）或（2，3）．9．（2021?懷化）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，與x軸交于點N．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（3）D為CO的中點，一個動點G從D點出發，先到達x軸上的點E，再走到拋物線對稱軸上的點F，最后返回到點C．要使動點G走過的路程最短，請找出點E、F的位置，寫出坐標，并求出最短路程．（4）點Q是拋物線上位于x軸上方的一點，點R在x軸上，是否存在以點Q為直角頂點的等腰Rt△CQR？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）由題意得，點A、B、C的坐標分別為（﹣2，0）、（4，0）、（0，8），設拋物線的表達式為y＝ax2+bx+c，則，解得，故拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+8；（2）存在，理由：當∠CP′M為直角時，則以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似時，則P′C∥x軸，則點P′的坐標為（1，8）；當∠PCM為直角時，在Rt△OBC中，設∠CBO＝α，則tan∠CBO＝＝2＝tanα，則sinα＝，cosα＝，在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，則BM＝＝3，同理可得，MN＝6，由點B、C的坐標得，BC＝＝4，則CM＝BC﹣MB＝，在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，則PM＝＝＝，則PN＝MN+PM＝6+＝，故點P的坐標為（1，），故點P的坐標為（1，8）或（1，）；（3）∵D為CO的中點，則點D（0，4），作點C關于函數對稱軸的對稱點C′（2，8），作點D關于x軸的對稱點D′（0，﹣4），連接C′D′交x軸于點E，交函數的對稱軸于點F，則點E、F為所求點，理由：G走過的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′為最短，由點C′、D′的坐標得，直線C′D′的表達式為y＝6x﹣4，對于y＝6x﹣4，當y＝6x﹣4＝0時，解得x＝，當x＝1時，y＝2，故點E、F的坐標分別為（，0）、（1，2）；G走過的最短路程為C′D′＝＝2；（4）存在，理由：①當點Q在y軸的右側時，設點Q的坐標為（x，﹣x2+2x+8），故點Q作y軸的平行線交x軸于點N，交過點C與x軸的平行線于點M，∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，∴∠MQC＝∠QRE，∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，∴△ANQ≌△QMC（AAS），∴QN＝CM，即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝（不合題意的值已舍去），故點Q的坐標為（，）；②當點Q在y軸的左側時，同理可得，點Q的坐標為（，）．綜上，點Q的坐標為（，）或（，）．10．（2020?懷化）如圖所示，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點M為拋物線的頂點．（1）求點C及頂點M的坐標．（2）若點N是第四象限內拋物線上的一個動點，連接BN、CN，求△BCN面積的最大值及此時點N的坐標．（3）若點D是拋物線對稱軸上的動點，點G是拋物線上的動點，是否存在以點B、C、D、G為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出點G的坐標；若不存在，試說明理由．（4）直線CM交x軸于點E，若點P是線段EM上的一個動點，是否存在以點P、E、O為頂點的三角形與△ABC相似．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此時y＝﹣3，故C點坐標為（0，﹣3），又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點M的坐標為（1，﹣4）；（2）過N點作x軸的垂線交直線BC于Q點，連接BN，CN，如圖1所示：令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1，∴B（3，0），A（﹣1，0），設直線BC的解析式為：y＝ax+b，將C（0，﹣3），B（3，0）代入直線BC的解析式得：，解得：，∴直線BC的解析式為：y＝x﹣3，設N點坐標為（n，n2﹣2n﹣3），故Q點坐標為（n，n﹣3），其中0＜n＜3，則＝＝，（其中xQ，xC，xB分別表示Q，C，B三點的橫坐標），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，xB﹣xC＝3，故，其中0＜n＜3，當時，S△BCN有最大值為，此時點N的坐標為（），（3）存在，理由如下：設D點坐標為（1，t），G點坐標為（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）分情況討論：①當DG為對角線時，則另一對角線是BC，由中點坐標公式可知：線段DG的中點坐標為，即，線段BC的中點坐標為，即，此時DG的中點與BC的中點為同一個點，∴，解得，經檢驗，此時四邊形DCGB為平行四邊形，此時G坐標為（2，﹣3）；②當DB為對角線時，則另一對角線是GC，由中點坐標公式可知：線段DB的中點坐標為，即，線段GC的中點坐標為，即，此時DB的中點與GC的中點為同一個點，∴，解得，經檢驗，此時四邊形DCBG為平行四邊形，此時G坐標為（4，5）；③當DC為對角線時，則另一對角線是GB，由中點坐標公式可知：線段DC的中點坐標為，即，線段GB的中點坐標為，即，此時DC的中點與GB的中點為同一個點，∴，解得，經檢驗，此時四邊形DGCB為平行四邊形，此時G坐標為（﹣2，5）；綜上所述，G點坐標存在，為（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）；（4）存在，理由如下：連接AC，OP，如圖2所示：設MC的解析式為：