專題09圓錐曲線目錄題型一：圓錐曲線方程易錯點01忽略圓錐曲線定義中的限制條件易錯點02忽略圓錐曲線焦點的位置易錯點03求離心率范圍時忽略離心率本身范圍易錯點04求軌跡方程時忽略變量的取值范圍題型二：直線與圓錐曲線的位置關系易錯點05直線與圓錐曲線的位置關系考慮不全出錯易錯點06混淆“焦點弦”和“非焦點弦”易錯點07恒成立意義不明導致定點問題錯誤題型一：圓錐曲線方程易錯點01：忽略圓錐曲線定義中的限制條件典例4（24-25高三上·陜西榆林·期中）已知、是平面內兩個不同的定點，則“為定值”是“動點的軌跡是雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用特例法、雙曲線的定義以及充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】若，則，此時，點的軌跡是線段的垂直平分線，所以，“為定值”“動點的軌跡是雙曲線”；若動點的軌跡是雙曲線，則為定值，所以，“為定值”“動點的軌跡是雙曲線”.因此，“為定值”是“動點的軌跡是雙曲線”的必要不充分條件.故選：B.【易錯剖析】在解題時容易雙曲線中定義中這一限制條件而錯選C.【避錯攻略】1、橢圓的定義(1)定義：把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距．(2)幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數)且2a>|F1F2|．【解讀】在橢圓定義中，必須2a>|F1F2|，這是橢圓定義中非常重要的一個條件；當2a＝|F1F2|時，點的軌跡是線段F1F2；當2a<|F1F2|時，動點軌跡不存在．因此在根據橢圓定義判斷動點的軌跡時，務必注意這一隱含的條件．2、雙曲線的定義（1）定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距，焦距的一半稱為半焦距．(2)幾何表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常數)(2a＜|F1F2|)．【解讀】(1)常數要小于兩個定點的距離．(2)如果沒有絕對值，動點的軌跡表示雙曲線的一支．(3)當2a＝|F1F2|時，動點的軌跡是以F1，F2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點)．(4)當2a>|F1F2|時，動點的軌跡不存在．3.拋物線的定義平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．【解讀】(1)“一動三定”：一動點M；一定點F(即焦點)；一定直線l(即準線)；一定值1(即動點M到定點F的距離與到定直線l的距離之比為1)．(2)定義中，要注意強調定點F不在定直線l上．當直線l經過點F時，點的軌跡是過定點F且垂直于定直線l的一條直線．易錯提醒：在應用圓錐曲線的定義判斷軌跡類型時，一定要注意三種圓錐曲線定義中的限制條件，如橢圓要滿足曲線上動點到兩焦點距離之和是大于焦距的常數；雙曲線要滿足曲線上動點到兩焦點距離之差的絕對值是小于焦距的常數；二拋物線則要滿足定點不在定直線上.1．（24-25高二上·北京·階段練習）下列說法正確的個數是（

）①動點滿足，則P的軌跡是橢圓②動點滿足，則P的軌跡是雙曲線③動點滿足到y軸的距離比到的距離小1，則P的軌跡是拋物線④動點滿足，則P的軌跡是圓和一條直線（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2025高三·全國·專題練習）已知點，若動點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（2024·陜西西安·一模）平面上動點M到定點的距離比M到軸的距離大3，則動點M滿足的方程為.1．（24-25高三上·廣西·階段練習）已知圓和，若動圓與圓內切，同時與圓外切，則該動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽池州·二模）已知圓和兩點為圓所在平面內的動點，記以為直徑的圓為圓，以為直徑的圓為圓，則下列說法一定正確的是（

）A．若圓與圓內切，則圓與圓內切B．若圓與圓外切，則圓與圓外切C．若，且圓與圓內切，則點的軌跡為橢圓D．若，且圓與圓外切，則點的軌跡為雙曲線3．（24-25高二上·全國·課后作業）已知點，，動點滿足，則動點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．線段 D．不存在4．（24-25高三下·全國·課后作業）動點滿足方程，則點的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線5．（24-25高二上·黑龍江·期中）（多選）在平面直角坐標系中，已知點，，是一個動點，則（

）A．若，則點的軌跡為橢圓B．若，則點的軌跡為雙曲線C．若，則點的軌跡為直線D．若，則點的軌跡為圓6．（2024·河北·模擬預測）（多選）已知平面內點，，點為該平面內一動點，則（

）A．，點的軌跡為橢圓 B．，點的軌跡為雙曲線C．，點的軌跡為拋物線 D．，點的軌跡為圓7．（2025高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為，則的方程為.8．（24-25高三下·湖北荊州·開學考試）已知動點到定點與定直線的距離的差為1．則動點的軌跡方程為．易錯點02：忽略圓錐曲線焦點的位置典例（24-25高三上·江蘇無錫·期中）求長軸長是短軸長的倍，且過點的橢圓的標準方程（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】分析可知，，對橢圓的焦點位置進行分類討論，將點的坐標代入橢圓方程，求出的值，即可得出橢圓的標準方程.【詳解】由題意可知，，若橢圓的焦點在軸上，則橢圓的標準方程為，將點的坐標代入橢圓方程可得，解得，此時，橢圓的標準方程為；若橢圓的焦點在軸上，則橢圓的標準方程為，將點的坐標代入橢圓方程可得，解得，此時，橢圓的標準方程為.綜上所述，橢圓的標準方程為或.故選：C.【易錯剖析】本題容易忽略對橢圓焦點位置的討論而漏解.【避錯攻略】1.橢圓的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程x2a2＋y2by2a2＋x2b焦點(－c，0)與(c，0)(0，－c)與(0，c)a，b，c的關系c2＝a2－b2【解讀】(1)橢圓的標準方程是指當橢圓在標準位置時的方程，所謂標準位置，就是指橢圓的中心在坐標原點，橢圓的對稱軸為坐標軸．(2)兩種橢圓x2a2＋y2b2＝1，y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的相同點是：它們的形狀、大小都相同，都有a(3)x2項和y2項誰的分母大，焦點就在誰的軸上.2.雙曲線的標準方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程x2a2－y2by2a2－x2b焦點坐標F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的關系c2＝a2＋b2【解讀】(1)焦點F1，F2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標準方程的類型．“焦點跟著正項走”，若x2項的系數為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數為正，那么焦點在y軸上，即x2，y2的系數異號．(2)標準方程中的兩個參數a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線定形的條件，注意這里的b2＝c2－a2與橢圓中的b2＝a2－c2相區別．其中c＞a，c＞b，而a，b無大小要求．3.拋物線的標準方程圖形標準方程焦點坐標準線方程y2＝2px(p>0)Fpx＝－py2＝－2px(p>0)F?x＝px2＝2py(p>0)F0，y＝－px2＝－2py(p>0)F0，?y＝p【解讀】(1)只有拋物線的頂點在坐標原點，焦點在坐標軸上時，拋物線才具有標準形式．(2)標準方程的特征：等號的一邊是某個變量的平方，等號的另一邊是另一個變量的一次單項式．(3)拋物線標準方程中參數p的幾何意義：拋物線的焦點到準線的距離．(4)焦點在一次項變量對應的坐標軸上，開口方向由一次項系數的符號確定．當系數為正時，開口向坐標軸的正方向；當系數為負時，開口向坐標軸的負方向．易錯提醒：由于建系的方案不同，三種圓錐曲線的標準方程是不同的，橢圓、雙曲線分為焦點在x,y軸兩種情況，二拋物線則有四種方程，故我們在處理圓錐曲線方程相關問題時，一定要先定位，即分析焦點位置，不確定要討論，在定量，即求或的值．1．（24-25高二上·天津和平·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，實軸長為2，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C．或 D．或2．（24-25高三上·四川雅安·診斷測試）已知橢圓的離心率為，則（

）A．2 B． C．4或 D．或23．（24-25高三上·陜西寶雞·期末）頂點在原點，且過點的拋物線的標準方程是.1．（2025高三·全國·專題練習）已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，且過點P（－5，4），Q（0，6），則橢圓的方程為（）A．1 B．1C．1 D．12．（24-25高二上·河北衡水·期末）過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·安徽·期末）已知雙曲線，則“”是“雙曲線的離心率為”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．（24-25高三上·河南·階段練習）頂點在原點，關于軸對稱，并且經過點的拋物線方程為（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·山西太原·階段練習）已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．（24-25高三上·上海楊浦·階段練習）與橢圓有相等的焦距，且過圓的圓心的橢圓的標準方程為．7．（23-24高二上·江蘇南通·期末）寫出符合下列兩個條件的一個雙曲線的標準方程為.①實軸長為4；②漸近線方程為8．（2024·陜西榆林·二模）已知拋物線經過點，寫出的一個標準方程：.9．（24-25高二上·江蘇鹽城·階段練習）分別求符合下列條件的橢圓的標準方程：(1)過點，且與橢圓有相同的焦點．(2)經過兩點，．易錯點03：求離心率范圍時忽略離心率本身范圍典例（24-25高三上·山東濱州·階段練習）設分別為橢圓的左、右焦點，在橢圓上運動時，至少有兩個位置使得，則橢圓C的離心率范圍是．【答案】【分析】探求動點的軌跡，找出滿足的不等關系，再轉化為離心率解之即可.【詳解】因為動點滿足，所以在以為直徑的圓上.又因為在橢圓上運動時，至少有兩個位置使得，所以，則，即，同除得，解之得.故答案為：.【易錯剖析】本題容易忽略橢圓的離心率滿足這一范圍而出錯.【避錯攻略】求離心率范圍的方法技巧1：建立關于和的一次或二次方程與不等式．技巧2：利用線段長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．技巧3：利用角度長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．技巧4：利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系．技巧5：涉及的關系式利用基本不等式，建立不等關系．易錯提醒：圓錐曲線的率的范圍是有限定的，橢圓的離心率范圍是，而雙曲線的離心率范圍是，在求范圍的時候要時刻注意.1．（24-25高三上·北京·期中）橢圓上存在一點P滿足，分別為橢圓的左右焦點，則橢圓的離心率的范圍是（）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知雙曲線左、右頂點為A，B，若該雙曲線上存在點P，使得的斜率之和為1，則該雙曲線離心率的范圍為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·河北邢臺·期末）設橢圓與雙曲線，若雙曲線的一條漸近線的斜率大于，則橢圓的離心率的范圍是.1．（2021·黑龍江哈爾濱·三模）雙曲線：（，）右焦點為，過傾斜角為的直線與雙曲線右支交于，兩點，則雙曲線離心率的范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，若使為直角三角形的點有8個，則的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·浙江嘉興·期末）已知橢圓的右焦點為F，P?Q是橢圓上關于原點對稱的兩點，M?N分別是PF?QF的中點，若以MN為直徑的圓過原點，則橢圓的離心率e的范圍是.4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知雙曲線的焦點在軸上，則離心率的范圍為．5．（24-25高二上·遼寧大連·期中）已知雙曲線的漸近線方程為，則其離心率為．6．（23-24高二上·江西南昌·期中）設，是橢圓與雙曲線的公共焦點，曲線，在第一象限內交于點，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的范圍是.7．（24-25高三上·湖北·階段練習）已知是橢圓的內接三角形，其中原點是的重心，若點A的橫坐標為，直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為．易錯點04：求軌跡方程時忽略變量的取值范圍典例（24-25高二上·河南平頂山·階段練習）在平面直角坐標系中，已知的頂點，其內切圓圓心在直線上，則頂點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據三角形內切圓的性質，結合雙曲線的定義，可得答案.【詳解】如圖，設與圓的切點分別為，則有，所以.根據雙曲線定義，所求軌跡是以為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支（右頂點除外），即，又，所以，所以方程為.故選：B.【易錯剖析】本題容易忽略自變量的取值范圍而出錯而出錯.【避錯攻略】求軌跡方程的方法1.直接法利用直接法求動點的軌跡方程的步驟如下：第一步：建系：建立適當的坐標系第二步：設點：設軌跡上的任一點第三步：列式：列出有限制關系的幾何等式第四步：代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉化為的方程式化簡注：若求動點的軌跡，則不但要求出動點的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．2.定義法根據動點滿足的幾何條件判斷出軌跡的類型，然后求出軌跡方程．3.相關點法如果動點的運動是由另外某一點的運動引發的，而該點的運動規律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出，用表示出相關點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程．4.交軌法在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常常可以先解方程組得出交點（含參數）的坐標，再消去參數得出所求軌跡的方程，該方法經常與參數法并用，和參數法一樣，通常選變角、變斜率等為參數．易錯提醒：求軌跡方程時，要注意準確確定范圍，應充分挖掘題目中的隱含條件、限制條件，求出方程后要考慮相應的限制條件，避免因考慮不全面致錯．1．（24-25高三上·湖南邵陽·階段練習）一動圓過定點，且與已知圓：外切，則動圓圓心的軌跡方程是（）A． B．C． D．2．（24-25高二上·湖南長沙·期中）已知兩點的坐標分別是，直線相交于點，且直線的斜率與直線的斜率的差是，則點的軌跡方程為（

）A．B．C．D．3．（24-25高三上·山東濱州·階段練習）已知的頂點，，且周長為16，求頂點的軌跡方程．1．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圓和圓，動圓同時與圓及圓相外切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．2．（24-25高三上·山東青島·階段練習）已知橢圓，從上任意一點向軸作垂線段為垂足，則線段的中點的軌跡方程為（

）A．B．C． D．3．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習）在平面直角坐標系中，，動點和分別位于正半軸和負半軸上，若，則和的交點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·廣東·開學考試）（多選）設兩點的坐標分別是，直線相交于點，設直線的斜率分別為，下列說法正確的是（

）A．當時，點的軌跡是橢圓的一部分B．當時，點的軌跡是雙曲線的一部分C．當時，點的軌跡是拋物線的一部分D．當時，點的軌跡是橢圓的一部分5．（2024高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系中，曲線上的點到點，的距離之積為定值，且曲線經過坐標原點，若點為曲線上一點，則（

）A．曲線的方程為B．點在曲線上C．D．6．（24-25高三上·全國·課后作業）已知，過點且斜率不為零的直線交于，兩點，過點作交于，則；點的軌跡方程為．7．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習）已知點是橢圓的一個焦點，且橢圓經過，兩點，則橢圓的另一個焦點的軌跡方程為．8．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐標系中B?2,0、．若A為動點且滿足，則動點的軌跡方程為．9．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習）如圖，軸，垂足為，點在的延長線上，且，當點在圓上運動時，點的軌跡方程為．題型二：直線與圓錐曲線的位置關系易錯點05：直線與圓錐曲線的位置關系考慮不全出錯典例(2024·四川南部縣模擬)過點P(3,1)作直線l與拋物線y2＝－4x只有一個交點，這樣的直線l有________條()A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】當直線l斜率不存在時，l：x＝3，與拋物線無交點，不合題意；當直線l斜率為零時，l：y＝1，與拋物線有且僅有一個交點，滿足題意；當直線l斜率不為零時，x－3＝eq\f(1,k)(y－1)，即x＝eq\f(1,k)(y－1)＋3，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,k)y－1＋3，,y2＝－4x))得ky2＋4y＋12k－4＝0，則Δ＝16－4k(12k－4)＝0，解得k＝eq\f(1±\r(13),6)，∴滿足題意的直線l有兩條；綜上所述，過點P(3,1)與拋物線y2＝－4x只有一個交點的直線l有3條．【易錯剖析】本題容易忽略對斜率不存在、二次方程的二次項系數是否為零的討論.【避錯攻略】1．直線與圓錐曲線的位置關系(1)直線與圓錐曲線的位置關系有相交、相切、相離；相交有兩個交點(特殊情況除外)，相切有一個交點，相離無交點．(2)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0代入圓錐曲線C的方程．消去y(或x)得到一個關于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①當a≠0時，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有Δ＞0時，直線l與曲線C相交；Δ＝0時，直線l與曲線Ceq\o(□,\s\up1(5))相切；Δ＜0時，直線l與曲線C相離．②當a＝0時，即得到一個一次方程，則l與C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的eq\o(□,\s\up1(8))對稱軸平行或重合．2．圓錐曲線的弦長公式設直線與圓錐曲線的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(（1＋\f(1,k2)）[（y1＋y2）2－4y1y2])，k為直線斜率且k≠0.易錯提醒：在判斷直線和圓錐曲線的位置關系時，先聯立方程組，再消去x(或y)，得到關于y(或x)的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項系數等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應注意斜率不存在的情形．1．（24-25高三上·北京·階段練習）若直線與雙曲線恰好有一個交點，則直線的斜率的所有可能值為.2．（24-25高二上·河南南陽·階段練習）（多選）已知直線：，雙曲線：.以下說法正確的是（

）A．當時，直線與雙曲線只有一個公共點B．直線與雙曲線只有一個公共點時，或C．當或時，直線與雙曲線沒有公共點D．當時，直線與雙曲線有兩個公共點3．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習）已知橢圓，直線，若橢圓C上存在兩點關于直線l對稱，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．1．（24-25高三上·北京·階段練習）過點且與拋物線恰有一個公共點的直線的條數為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（24-25高二上·北京·階段練習）設直線與橢圓相交于、兩點，當變化時，線段的中點所在的直線方程為（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·廣西北海·期中）（多選）若直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則的方程可以是（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·北京·期末）直線與雙曲線的右支只有一個公共點，則的取值范圍為.5．（24-25高二上·陜西西安·階段練習）雙曲線與直線的公共點個數；6．（24-25高三上·陜西漢中·階段練習）已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且橢圓E經過點．(1)求橢圓E的標準方程；(2)直線交橢圓E于M，N兩點，若線段中點的橫坐標為，求直線l的方程．7．已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.試求當m取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不同的公共點；(2)有且只有一個公共點．8．對稱軸都在坐標軸上的雙曲線過點，，斜率為的直線過點.(1)求雙曲線的標準方程；(2)若直線與雙曲線有兩個交點，求斜率的取值范圍；(3)是否存在實數使得直線與雙曲線交于A，B兩點，且點P恰好為AB中點？為什么？易錯點06：混淆“焦點弦”和“非焦點弦”典例（24-25高三上·山東青島·階段練習）頂點在原點，焦點在x軸上且截直線所得弦長為的拋物線方程為【答案】或【詳解】設所求拋物線方程為①，直線方程變形為②．設直線與拋物線交于A，B兩點，將②代入①整理得，則．解得或．故所求拋物線方程為或．【易錯剖析】本題容易忽略斜率不存在的情況而造成漏解.【避錯攻略】斜率為直線與拋物線交于兩點，若求弦的長.（1）一般弦長公式：．（2）焦點弦長：設AB是拋物線的一條過焦點F的弦，，，則弦長．易錯提醒：求拋物線弦長的時候，應該首先確認直線是否通過拋物線的焦點，如果通過焦點就用焦點弦公式，否則只能用一般弦長公式.1．（24-25高二上·吉林·期末）設為拋物線：的焦點，過且斜率為1的直線交拋物線于，兩點，則（

）A．10 B．8 C．6 D．2．（24-25高三上·河北張家口·階段練習）直線經過拋物線的焦點，且與拋物線交于、兩點.若，則（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·河南·階段練習）已知拋物線：，過點的直線與交于，兩點，則下列說法正確的是（

）A．B．C．的最小值為16D．若點是的外心，其中是坐標原點，則直線的斜率的最大值為1．（24-25高二上·甘肅白銀·期末）直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于、兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）已知拋物線，過點作拋物線的兩條切線，兩個切點分別為，若，則的值為（

）A．2或 B．1或C．2或 D．1或3．（2024·河南新鄉·一模）（多選）已知拋物線的焦點為，過點的直線的斜率為，且與交于兩個不同的點（點在軸的上方），下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．點的縱坐標之積與有關 D．若（為坐標原點），則4．（24-25高三上·江蘇南京·期中）已知拋物線，直線與拋物線交于，兩點，分別過，兩點作拋物線準線的垂線，，垂足分別是，，下列說法正確的是(

).A．直線過拋物線的焦點B．當時，，兩點橫坐標的和為5C．當時，直線截拋物線所得的弦長為8D．以為直徑的圓與直線相切5．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習）設為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點，若直線為的準線，則（

）A． B．C．以為直徑的圓與相切 D．為等腰三角形6．（2025高三·全國·專題練習）已知拋物線：，若第一象限的A，B兩點在拋物線上，焦點為F，，，，則直線的斜率k的值為．7．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）已知為坐標原點，直線與拋物線相交于兩點，則的面積為．8．（24-25高三上·甘肅白銀·期末）已知拋物線上的點到焦點的距離為4.(1)求的值；(2)過拋物線的焦點的直線與拋物線相交于，兩點，且，求直線的方程.易錯點07：恒成立意義不明導致定點問題錯誤典例已知拋物線的焦點為，過作兩條相互垂直的弦，，設弦，的中點分別為，．求證：直線恒過定點．【解析】設，，．由題意，知，直線的斜率存在且不為0，設直線的斜率為，其方程為，代入，得，得，又，故．設直線的斜率為，因為，所以．同理，可得．所以直線的方程為，化簡整理，得，該方程對任意恒成立，故解得故不論為何值，直線恒過定點．【易錯剖析】本題容易出錯的地方有兩個：一是在用參數表示直線的方程時計算錯誤；二是在得到了直線系的方程后，對直線恒過定點的意義不明，找錯方程的常數解．【避錯攻略】1、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個參數之間的等式關系，用一個參數表示另外一個參數，即可帶用其他式子，消去參數．②分式相除消參：兩個含參數的式子相除，消掉分子和分母所含參數，從而得到定值．③因式相減消參：兩個含參數的因式相減，把兩個因式所含參數消掉．④參數無關消參：當與參數相關的因式為時，此時與參數的取值沒什么關系，比如：，只要因式，就和參數沒什么關系了，或者說參數不起作用．2、求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．一般解題步驟：①斜截式設直線方程：，此時引入了兩個參數，需要消掉一個．②找關系：找到和的關系：，等式帶入消參，消掉．③參數無關找定點：找到和沒有關系的點．易錯提醒：直線恒過定點是指無論直線如何變動，必有一個定點的坐標適合這條直線的方程，問題就歸結為用參數把直線的方程表示出來，無論參數如何變化這個方程必有一組常數解．解決定點與定值問題，不能僅靠研究特殊情況來說明．1．（2024·廣西·二模）已知橢圓的上頂點為為橢圓上異于A的兩點，且，則直線過定點（

）A． B． C． D．2．（2024·江西九江·二模）已知雙曲線的離心率為，點在上．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線交于不同的兩點，，若直線，的斜率互為倒數，證明：直線過定點．3．（24-25高二上·江蘇宿遷·期中）已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，且，直線與拋物線交于另一點，點在拋物線的準線上，且軸.(1)求拋物線的方程；(2)若線段中點的縱坐標為，求直線的方程；(3)求證：直線經過原點.1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期末）雙曲線，過定點的兩條垂線分別交雙曲線于、兩點，直恒過定點（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·天津靜海·階段練習）已知橢圓的方程為，其右頂點，離心率．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于不同的兩點，（，不與左、右頂點重合），且．求證：直線過定點，并求出定點的坐標．3．（24-25高三上·北京朝陽·期末）已知橢圓的離心率為，右頂點為．(1)求橢圓的方程；(2)過原點且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點．已知點，直線與橢圓的另一個交點分別為．證明：直線過定點．4．（24-25高三上·天津·階段練習）設橢圓的離心率等于，拋物線的焦點是橢圓的一個頂點，分別是橢圓的左右頂點.(1)求橢圓的方程；(2)動點、為橢圓上異于的兩點，設直線，的斜率分別為，，且，求證：直線經過定點.5．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知動圓P過點，并且與圓外切，設動圓的圓心P的軌跡為C.(1)直線與圓相切于點Q，求的值；(2)求曲線C的方程；(3)過點的直線與曲線C交于E，F兩點，設直線，點，直線交于點M，證明直線經過定點，并求出該定點的坐標.6．（24-25高二上·浙江寧波·期中）設拋物線：，F是其焦點，已知拋物線上一點，且(1)求該拋物線的方程；(2)過點F作兩條互相垂直的直線和，分別交曲線C于點A，B和K，N.設線段AB，KN的中點分別為P，Q，求證:直線恒過一個定點.專題09圓錐曲線目錄題型一：圓錐曲線方程易錯點01忽略圓錐曲線定義中的限制條件易錯點02忽略圓錐曲線焦點的位置易錯點03求離心率范圍時忽略離心率本身范圍易錯點04求軌跡方程時忽略變量的取值范圍題型二：直線與圓錐曲線的位置關系易錯點05直線與圓錐曲線的位置關系考慮不全出錯易錯點06混淆“焦點弦”和“非焦點弦”易錯點07恒成立意義不明導致定點問題錯誤題型一：圓錐曲線方程易錯點01：忽略圓錐曲線定義中的限制條件典例4（24-25高三上·陜西榆林·期中）已知、是平面內兩個不同的定點，則“為定值”是“動點的軌跡是雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用特例法、雙曲線的定義以及充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】若，則，此時，點的軌跡是線段的垂直平分線，所以，“為定值”“動點的軌跡是雙曲線”；若動點的軌跡是雙曲線，則為定值，所以，“為定值”“動點的軌跡是雙曲線”.因此，“為定值”是“動點的軌跡是雙曲線”的必要不充分條件.故選：B.【易錯剖析】在解題時容易雙曲線中定義中這一限制條件而錯選C.【避錯攻略】1、橢圓的定義(1)定義：把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距．(2)幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數)且2a>|F1F2|．【解讀】在橢圓定義中，必須2a>|F1F2|，這是橢圓定義中非常重要的一個條件；當2a＝|F1F2|時，點的軌跡是線段F1F2；當2a<|F1F2|時，動點軌跡不存在．因此在根據橢圓定義判斷動點的軌跡時，務必注意這一隱含的條件．2、雙曲線的定義（1）定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距，焦距的一半稱為半焦距．(2)幾何表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常數)(2a＜|F1F2|)．【解讀】(1)常數要小于兩個定點的距離．(2)如果沒有絕對值，動點的軌跡表示雙曲線的一支．(3)當2a＝|F1F2|時，動點的軌跡是以F1，F2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點)．(4)當2a>|F1F2|時，動點的軌跡不存在．3.拋物線的定義平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．【解讀】(1)“一動三定”：一動點M；一定點F(即焦點)；一定直線l(即準線)；一定值1(即動點M到定點F的距離與到定直線l的距離之比為1)．(2)定義中，要注意強調定點F不在定直線l上．當直線l經過點F時，點的軌跡是過定點F且垂直于定直線l的一條直線．易錯提醒：在應用圓錐曲線的定義判斷軌跡類型時，一定要注意三種圓錐曲線定義中的限制條件，如橢圓要滿足曲線上動點到兩焦點距離之和是大于焦距的常數；雙曲線要滿足曲線上動點到兩焦點距離之差的絕對值是小于焦距的常數；二拋物線則要滿足定點不在定直線上.1．（24-25高二上·北京·階段練習）下列說法正確的個數是（

）①動點滿足，則P的軌跡是橢圓②動點滿足，則P的軌跡是雙曲線③動點滿足到y軸的距離比到的距離小1，則P的軌跡是拋物線④動點滿足，則P的軌跡是圓和一條直線（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據橢圓、雙曲線、拋物線、直線和圓的知識對四個說法進行分析，從而確定正確答案.【詳解】①，表示點與點的距離和為，而兩點的距離為，所以點軌跡是兩點間的線段，①錯誤.②，表示點與點的距離和為，而兩點的距離為，，所以點的軌跡是橢圓，②錯誤.③，動點滿足到y軸的距離比到的距離小1，當點在y軸左側或在y軸上時則動點滿足到直線的距離和到的距離相等，則P的軌跡是拋物線；當點在y軸右側時，此時P的軌跡是射線，③不正確.④，動點滿足，則或，表示的是直線在圓外和圓上的部分；表示一個圓，所以P的軌跡是圓和兩條射線，④錯誤.所以正確的有0個.故選：A2．（2025高三·全國·專題練習）已知點，若動點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據中為定值，故先化簡再分析滿足的距離關系即可.【詳解】設Mx,y，因為，故，即.故點Mx,y的軌跡是以為焦點的雙曲線的下支，且，故.所以點的軌跡方程為.故選：B.3．（2024·陜西西安·一模）平面上動點M到定點的距離比M到軸的距離大3，則動點M滿足的方程為.【答案】或【分析】考慮和兩種情況，時確定軌跡為拋物線，根據題意得到，得到答案.【詳解】動點M到定點的距離比M到軸的距離大3，當時，動點M到定點的距離等于到的距離，軌跡為拋物線，設拋物線方程為，則，即，所以；當時，滿足條件.綜上所述：動點M的軌跡方程為：時，；時，.故答案為：或1．（24-25高三上·廣西·階段練習）已知圓和，若動圓與圓內切，同時與圓外切，則該動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據圓與圓的位置關系可知，結合橢圓的定義可得軌跡方程.【詳解】由已知圓和，可知，，，，且，又動圓與圓內切，同時與圓外切，則，，所以，所以動點到兩個定點，的距離之和為定值，即滿足橢圓的定義，所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，且長軸長度，焦距，即，，所以，橢圓方程為，故選：C2．（2024·安徽池州·二模）已知圓和兩點為圓所在平面內的動點，記以為直徑的圓為圓，以為直徑的圓為圓，則下列說法一定正確的是（

）A．若圓與圓內切，則圓與圓內切B．若圓與圓外切，則圓與圓外切C．若，且圓與圓內切，則點的軌跡為橢圓D．若，且圓與圓外切，則點的軌跡為雙曲線【答案】C【分析】先證明當時，若，則圓與圓內切，圓與圓外切；若，則圓與圓外切，圓與圓內切，從而A和B錯誤；然后當時，將條件變為，從而根據橢圓定義知點的軌跡為橢圓，C正確；當時，將條件變為，從而根據雙曲線定義知點的軌跡為雙曲線的左支，D錯誤.【詳解】我們分別記的中點為，顯然是的中點，故，.當時，在圓內，此時，圓和圓不可能與圓外切，而圓與圓內切等價于，即，即，同理，圓與圓內切也等價于；當時，在圓外，故“圓與圓內切”和“圓與圓外切”分別等價于和，即和，即和.所以，此時“圓與圓內切”和“圓與圓外切”分別等價于和，同理，“圓與圓內切”和“圓與圓外切”分別等價于和.下面考慮四個選項（我們沒有考慮的情況，因為不需要分析此種情況也可判斷所有選項的正確性）：由于當時，若，則圓與圓內切，圓與圓外切；若，則圓與圓外切，圓與圓內切.這分別構成A選項和B選項的反例，故A和B錯誤；若，則，此時“圓與圓內切”和“圓與圓內切”都等價于，而根據橢圓定義，對應的軌跡即為，C正確；若，則，此時“圓與圓外切”等價于，而根據雙曲線定義，對應的軌跡為，僅僅是雙曲線的半支，D錯誤.故選：C.3．（24-25高二上·全國·課后作業）已知點，，動點滿足，則動點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．線段 D．不存在【答案】D【分析】根據與的關系判斷點的軌跡.【詳解】由題設知，則動點P的軌跡不存在．故選：D4．（24-25高三下·全國·課后作業）動點滿足方程，則點的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】根據軌跡方程所代表的意義和拋物線的定義可得答案.【詳解】由得，等式左邊表示點和點的距離，等式的右邊表示點到直線的距離，整個等式表示的意義是點到點的距離和到直線的距離相等，且點不在直線上，所以其軌跡為拋物線.故選：D.5．（24-25高二上·黑龍江·期中）（多選）在平面直角坐標系中，已知點，，是一個動點，則（

）A．若，則點的軌跡為橢圓B．若，則點的軌跡為雙曲線C．若，則點的軌跡為直線D．若，則點的軌跡為圓【答案】AD【分析】根據橢圓的定義判斷A，根據雙曲線的定義判斷B，可得，即可判斷C，設，由距離公式推出軌跡方程，即可判斷D.【詳解】對于A：，則點的軌跡為以、為焦點的橢圓，故A正確；對于B：，則點的軌跡是以、為焦點雙曲線的右支，故B錯誤；對于：由，可得，則點的軌跡是以為直徑的圓，故C錯誤；對于D：設，由，則，即，所以點的軌跡為圓，故D正確.故選：AD.6．（2024·河北·模擬預測）（多選）已知平面內點，，點為該平面內一動點，則（

）A．，點的軌跡為橢圓 B．，點的軌跡為雙曲線C．，點的軌跡為拋物線 D．，點的軌跡為圓【答案】AD【分析】利用橢圓的定義判斷A；利用雙曲線的定義判斷B；求得軌跡與軸的交點判斷C；求得軌跡方程判斷D.【詳解】因為平面內點，，所以，又，所以由橢圓的定義知點的軌跡為橢圓，故A正確；線段的長度與線段的長度的差為，則點的軌跡應為雙曲線靠近點的一支，故B錯誤；設點，由得，整理得，即，當時，，得或，故曲線與軸有三個交點，軌跡不為拋物線，故C錯誤；由，得，整理得，即軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故D正確.故選：AD.7．（2025高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為，則的方程為.【答案】【分析】先由雙曲線定義得的軌跡和的值，再求出即可求出的方程.【詳解】因為，所以軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設軌跡的方程為，則，，可得，，所以軌跡的方程為.故答案為：.8．（24-25高三下·湖北荊州·開學考試）已知動點到定點與定直線的距離的差為1．則動點的軌跡方程為．【答案】，（注：也算對）【分析】根據題意將問題轉化為幾何語言，再轉化為代數語言后再化簡即可.【詳解】由題意，若時，問題等價于，則，化簡得，若，也滿足題意.所以動點的軌跡方程為，.或者根據題意有，則，化簡整理得：.所以動點的軌跡方程為.故答案為：，（注：也算對）易錯點02：忽略圓錐曲線焦點的位置典例（24-25高三上·江蘇無錫·期中）求長軸長是短軸長的倍，且過點的橢圓的標準方程（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】分析可知，，對橢圓的焦點位置進行分類討論，將點的坐標代入橢圓方程，求出的值，即可得出橢圓的標準方程.【詳解】由題意可知，，若橢圓的焦點在軸上，則橢圓的標準方程為，將點的坐標代入橢圓方程可得，解得，此時，橢圓的標準方程為；若橢圓的焦點在軸上，則橢圓的標準方程為，將點的坐標代入橢圓方程可得，解得，此時，橢圓的標準方程為.綜上所述，橢圓的標準方程為或.故選：C.【易錯剖析】本題容易忽略對橢圓焦點位置的討論而漏解.【避錯攻略】1.橢圓的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程x2a2＋y2by2a2＋x2b焦點(－c，0)與(c，0)(0，－c)與(0，c)a，b，c的關系c2＝a2－b2【解讀】(1)橢圓的標準方程是指當橢圓在標準位置時的方程，所謂標準位置，就是指橢圓的中心在坐標原點，橢圓的對稱軸為坐標軸．(2)兩種橢圓x2a2＋y2b2＝1，y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的相同點是：它們的形狀、大小都相同，都有a(3)x2項和y2項誰的分母大，焦點就在誰的軸上.2.雙曲線的標準方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程x2a2－y2by2a2－x2b焦點坐標F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的關系c2＝a2＋b2【解讀】(1)焦點F1，F2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標準方程的類型．“焦點跟著正項走”，若x2項的系數為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數為正，那么焦點在y軸上，即x2，y2的系數異號．(2)標準方程中的兩個參數a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線定形的條件，注意這里的b2＝c2－a2與橢圓中的b2＝a2－c2相區別．其中c＞a，c＞b，而a，b無大小要求．3.拋物線的標準方程圖形標準方程焦點坐標準線方程y2＝2px(p>0)Fpx＝－py2＝－2px(p>0)F?x＝px2＝2py(p>0)F0，y＝－px2＝－2py(p>0)F0，?y＝p【解讀】(1)只有拋物線的頂點在坐標原點，焦點在坐標軸上時，拋物線才具有標準形式．(2)標準方程的特征：等號的一邊是某個變量的平方，等號的另一邊是另一個變量的一次單項式．(3)拋物線標準方程中參數p的幾何意義：拋物線的焦點到準線的距離．(4)焦點在一次項變量對應的坐標軸上，開口方向由一次項系數的符號確定．當系數為正時，開口向坐標軸的正方向；當系數為負時，開口向坐標軸的負方向．易錯提醒：由于建系的方案不同，三種圓錐曲線的標準方程是不同的，橢圓、雙曲線分為焦點在x,y軸兩種情況，二拋物線則有四種方程，故我們在處理圓錐曲線方程相關問題時，一定要先定位，即分析焦點位置，不確定要討論，在定量，即求或的值．1．（24-25高二上·天津和平·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，實軸長為2，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根據雙曲線的焦點的不同位置和漸近線方程，列出的關系式，求解即得.【詳解】當雙曲線的焦點在軸上時，其方程可設為：，依題意，，因，故得，雙曲線方程為：；當雙曲線的焦點在軸上時，其方程可設為：，依題意，，因，故得，雙曲線方程為：，即.故選：D.2．（24-25高三上·四川雅安·診斷測試）已知橢圓的離心率為，則（

）A．2 B． C．4或 D．或2【答案】C【分析】由橢圓方程可知對和進行分類討論，再由離心率公式代入計算可得結果.【詳解】根據橢圓方程可知，當時，可得，所以離心率，解得；當時，可得，所以離心率，解得，所以；所以或4.故選：C3．（24-25高三上·陜西寶雞·期末）頂點在原點，且過點的拋物線的標準方程是.【答案】或【分析】設出拋物線的標準方程，點的坐標代入計算即可.【詳解】依題意可設拋物線的標準方程為和，將代入分別解得和，則拋物線的標準方程為或.故答案為：或.1．（2025高三·全國·專題練習）已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，且過點P（－5，4），Q（0，6），則橢圓的方程為（）A．1 B．1C．1 D．1【答案】A【詳解】解析：這里焦點位置不確定，可設橢圓的方程為Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，且A≠B）.把點P（－5，4），Q（0，6）代入，得解得故橢圓的方程為＋＝1.【考查意圖】橢圓的標準方程，能用待定系數法求橢圓方程．2．（24-25高二上·河北衡水·期末）過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據焦點坐標設出標準方程代入點解方程組可得結果.【詳解】由，得，所以焦點在y軸上，且．設雙曲線的方程為，所以，解得，所以雙曲線的方程為．故選：D．3．（23-24高三下·安徽·期末）已知雙曲線，則“”是“雙曲線的離心率為”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據雙曲線離心率為，可得或，即可由充分不必要條件求解.【詳解】的離心率為時，當焦點在軸時，，解得，當焦點在軸時，，解得，故“”是“雙曲線的離心率為”的充分不必要條件，故選：B4．（24-25高三上·河南·階段練習）頂點在原點，關于軸對稱，并且經過點的拋物線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意，利用待定系數法求出拋物線方程，從而得解.【詳解】依題意，設拋物線方程為，將代入得，則，所以所求拋物線方程為.故選：C.5．（24-25高三上·山西太原·階段練習）已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據橢圓離心率定義，對參數的取值進行分類討論即可判斷出結論.【詳解】由可得橢圓，此時離心率為，此時充分性成立；若橢圓的離心率為，當時，可得離心率為，解得，即必要性不成立；綜上可知，“”是“橢圓的離心率為”的充分不必要條件.故選：B.6．（24-25高三上·上海楊浦·階段練習）與橢圓有相等的焦距，且過圓的圓心的橢圓的標準方程為．【答案】或【分析】根據圓的一般方程得出其圓心坐標，再根據橢圓的定義計算即可.【詳解】由題意可知，即其圓心為，因為橢圓的焦距為，所以與該橢圓等焦距的橢圓的焦點為或，若焦點為，則圓心到兩焦點的距離之和為，所以相應橢圓方程為；若焦點為，則圓心到兩焦點的距離之和為，所以相應橢圓方程為.故答案為：或.7．（23-24高二上·江蘇南通·期末）寫出符合下列兩個條件的一個雙曲線的標準方程為.①實軸長為4；②漸近線方程為【答案】或【分析】根據題意可求出a，然后在根據漸近線方程求出b，由于題目沒有告訴雙曲線的焦點在x軸上還是y軸上，所以需要分類討論.【詳解】當雙曲線焦點在x軸上時，由題意可知:，此時雙曲線標準方程為.當雙曲線焦點在y軸上時，由題意可知：，此時雙曲線標準方程為.故答案為：或8．（2024·陜西榆林·二模）已知拋物線經過點，寫出的一個標準方程：.【答案】（答案不唯一）【分析】利用拋物線的標準方程計算即可.【詳解】依題意可得的標準方程可設為或，將點的坐標代入得，則的標準方程為或.故答案為：（答案不唯一）.9．（24-25高二上·江蘇鹽城·階段練習）分別求符合下列條件的橢圓的標準方程：(1)過點，且與橢圓有相同的焦點．(2)經過兩點，．【答案】(1)(2)【分析】（1）由共焦點求得，再通過點在橢圓上，列出方程即可求解；（2）通過待定系數法即可求解.【詳解】（1）因為所求的橢圓與橢圓的焦點相同，所以其焦點在軸上，且．設所求橢圓的標準方程為．因為所求橢圓過點，所以有①又，②由①②解得．故所求橢圓的標準方程為．（2）設橢圓方程為，且，在橢圓上，所以，則橢圓方程.易錯點03：求離心率范圍時忽略離心率本身范圍典例（24-25高三上·山東濱州·階段練習）設分別為橢圓的左、右焦點，在橢圓上運動時，至少有兩個位置使得，則橢圓C的離心率范圍是．【答案】【分析】探求動點的軌跡，找出滿足的不等關系，再轉化為離心率解之即可.【詳解】因為動點滿足，所以在以為直徑的圓上.又因為在橢圓上運動時，至少有兩個位置使得，所以，則，即，同除得，解之得.故答案為：.【易錯剖析】本題容易忽略橢圓的離心率滿足這一范圍而出錯.【避錯攻略】求離心率范圍的方法技巧1：建立關于和的一次或二次方程與不等式．技巧2：利用線段長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．技巧3：利用角度長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．技巧4：利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系．技巧5：涉及的關系式利用基本不等式，建立不等關系．易錯提醒：圓錐曲線的率的范圍是有限定的，橢圓的離心率范圍是，而雙曲線的離心率范圍是，在求范圍的時候要時刻注意.1．（24-25高三上·北京·期中）橢圓上存在一點P滿足，分別為橢圓的左右焦點，則橢圓的離心率的范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】當點位于短軸的端點時，最大，要使橢圓上存在一點P滿足，只要最大時大于等于即可，從而可得出答案.【詳解】解：當點位于短軸的端點時，最大，要使橢圓上存在一點P滿足，只要最大時大于等于即可，即當點位于短軸的端點時，，所以，又橢圓的離心率，所以橢圓的離心率的范圍是.故選：D.2．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知雙曲線左、右頂點為A，B，若該雙曲線上存在點P，使得的斜率之和為1，則該雙曲線離心率的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可得與雙曲線有公共點，據此可得答案.【詳解】易知，設，則，所以，又，所以，即，所以，即直線與雙曲線有公共點.聯立與雙曲線方程，有，消去得：，則要使方程有根，需使.故選：D3．（23-24高三上·河北邢臺·期末）設橢圓與雙曲線，若雙曲線的一條漸近線的斜率大于，則橢圓的離心率的范圍是.【答案】【分析】根據雙曲線方程確定其漸近線方程，可得不等式，再由橢圓方程的關系確定離心率取值范圍即可.【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得：，則，設橢圓的半焦距為又橢圓中，則，整理得，所以離心率，又橢圓離心率，故橢圓的離心率的范圍是.故答案為：.1．（2021·黑龍江哈爾濱·三模）雙曲線：（，）右焦點為，過傾斜角為的直線與雙曲線右支交于，兩點，則雙曲線離心率的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據過的直線的傾斜角為，且與雙曲線右支交于，兩點，由求解.【詳解】因為過的直線的傾斜角為，所以直線斜率，因為直線與雙曲線右支交于，兩點，如圖所示：由圖象知：，所以，又，所以.故選：A.2．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，若使為直角三角形的點有8個，則的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據為直角三角形分三類討論，利用橢圓的對稱性可分析出以點、和為直角頂點的點的個數；再利用余弦定理及判斷一元二次方程根的個數的方法得出；最后根據離心率的求法及橢圓離心率的范圍即可求解.【詳解】為直角三角形，可分為以下三類討論：以點為直角頂點；以點為直角頂點；以點為直角頂點.由橢圓的對稱性可知：以點為直角頂點的點有兩個；以點為直角頂點的點有兩個，則要使為直角三角形的點有8個，須使以點為直角頂點的直角三角形有4個.由橢圓的對稱性可得在軸上方有兩個點滿足以點為直角頂點.則，即，所以，解得即，所以，又因為橢圓離心率，所以.故選：C.3．（24-25高三上·浙江嘉興·期末）已知橢圓的右焦點為F，P?Q是橢圓上關于原點對稱的兩點，M?N分別是PF?QF的中點，若以MN為直徑的圓過原點，則橢圓的離心率e的范圍是.【答案】【分析】設點，利用條件可知得到關于的方程，再聯立，用含的式子表示出，再利用的取值范圍，即得出離心率的范圍.【詳解】設點，則，又點，∴，又以為直徑的圓過原點，則有,所以，即，∴，又，所以，得，∴，整理得：，解得，又，所以.故答案為：.4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知雙曲線的焦點在軸上，則離心率的范圍為．【答案】【分析】利用雙曲線標準方程的特征求出m的范圍，再利用離心率公式求出的范圍.【詳解】雙曲線的焦點在軸上，將雙曲線方程化為所以，解得，即.離心率，因為，所以，所以，從而.故答案為：5．（24-25高二上·遼寧大連·期中）已知雙曲線的漸近線方程為，則其離心率為．【答案】【分析】根據漸近線方程得到，然后根據的關系和離心率的公式計算即可.【詳解】由題意得，則，解得.故答案為：.6．（23-24高二上·江西南昌·期中）設，是橢圓與雙曲線的公共焦點，曲線，在第一象限內交于點，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的范圍是.【答案】【分析】利用橢圓與雙曲線的定義，結合勾股定理可得與關系，進而得解.【詳解】由橢圓及雙曲線定義得：，，即，，因為，所以，即，所以，因為，所以，即，故答案為：.7．（24-25高三上·湖北·階段練習）已知是橢圓的內接三角形，其中原點是的重心，若點A的橫坐標為，直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為．【答案】/【分析】由題可得，，然后由點差法結合是的重心可得答案.【詳解】點A的橫坐標為，點A在橢圓上，∴可知，由對稱性可取，.直線的傾斜角為，.設，，BC中點為N，作差得，可得，即，因是的重心，則N，O，A三點共線，則，，解得．橢圓的離心率為．故答案為：易錯點04：求軌跡方程時忽略變量的取值范圍典例（24-25高二上·河南平頂山·階段練習）在平面直角坐標系中，已知的頂點，其內切圓圓心在直線上，則頂點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據三角形內切圓的性質，結合雙曲線的定義，可得答案.【詳解】如圖，設與圓的切點分別為，則有，所以.根據雙曲線定義，所求軌跡是以為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支（右頂點除外），即，又，所以，所以方程為.故選：B.【易錯剖析】本題容易忽略自變量的取值范圍而出錯而出錯.【避錯攻略】求軌跡方程的方法1.直接法利用直接法求動點的軌跡方程的步驟如下：第一步：建系：建立適當的坐標系第二步：設點：設軌跡上的任一點第三步：列式：列出有限制關系的幾何等式第四步：代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉化為的方程式化簡注：若求動點的軌跡，則不但要求出動點的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．2.定義法根據動點滿足的幾何條件判斷出軌跡的類型，然后求出軌跡方程．3.相關點法如果動點的運動是由另外某一點的運動引發的，而該點的運動規律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出，用表示出相關點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程．4.交軌法在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常常可以先解方程組得出交點（含參數）的坐標，再消去參數得出所求軌跡的方程，該方法經常與參數法并用，和參數法一樣，通常選變角、變斜率等為參數．易錯提醒：求軌跡方程時，要注意準確確定范圍，應充分挖掘題目中的隱含條件、限制條件，求出方程后要考慮相應的限制條件，避免因考慮不全面致錯．1．（24-25高三上·湖南邵陽·階段練習）一動圓過定點，且與已知圓：外切，則動圓圓心的軌跡方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】結合圖象利用雙曲線的定義判斷動圓圓心的軌跡，然后再求方程即可.【詳解】圓與圓外切，如圖，，即，，由雙曲線的定義，點的軌跡是以為焦點，為實軸長的雙曲線的左支，其中，，．故所求軌方程為：．故選：C．2．（24-25高二上·湖南長沙·期中）已知兩點的坐標分別是，直線相交于點，且直線的斜率與直線的斜率的差是，則點的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設，根據，整理即可得解.【詳解】設，則，整理得，所以動點的軌跡方程是.故選：A.3．（24-25高三上·山東濱州·階段練習）已知的頂點，，且周長為16，求頂點的軌跡方程．【答案】【分析】應用橢圓定義可判斷頂點C的軌跡，應用待定系數法求軌跡方程，要注意排除三點共線情況.【詳解】因為，，所以，又因為的周長為16，所以，并且.所以頂點在以，為焦點的橢圓上，設橢圓方程為，因為，，，所以，，又因為三點不共線，所以頂點的軌跡方程為.故答案為：1．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圓和圓，動圓同時與圓及圓相外切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用兩圓外切的判定方法列出方程，推出，即得動圓圓心的軌跡和軌跡方程.【詳解】設動圓的半徑為，因動圓同時與圓及圓相外切，則，，則，故動圓圓心的軌跡是以為兩焦點的雙曲線的左支.又因，解得，故其軌跡方程為.故選：D.2．（24-25高三上·山東青島·階段練習）已知橢圓，從上任意一點向軸作垂線段為垂足，則線段的中點的軌跡方程為（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】設Mx,y【詳解】設點Mx,y，根據中點的坐標公式可得，代入橢圓方程得，其中.故選：B3．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習）在平面直角坐標系中，，動點和分別位于正半軸和負半軸上，若，則和的交點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過設出交點的坐標，利用、、、的坐標關系以及已知條件來建立等式，從而求出的軌跡方程.【詳解】設，，.因為，所以.

已知，，根據直線的截距式方程（為軸上的截距，為軸上的截距），可得直線的方程：.已知，，則直線的方程為.

因為是和的交點，所以的坐標滿足和的方程.對于直線的方程，可得.對于直線的方程，可得.又因為，所以，即.

故選：D.4．（24-25高三上·廣東·開學考試）（多選）設兩點的坐標分別是，直線相交于點，設直線的斜率分別為，下列說法正確的是（

）A．當時，點的軌跡是橢圓的一部分B．當時，點的軌跡是雙曲線的一部分C．當時，點的軌跡是拋物線的一部分D．當時，點的軌跡是橢圓的一部分【答案】ABC【分析】設Mx,y，求出和，每個選項代入公式判斷.【詳解】設Mx,y，則，當時，即，有，故A正確；當時，有，故B正確；當時，，即，故C正確；當時，，即顯然不是橢圓，故D錯誤.故選：ABC5．（2024高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系中，曲線上的點到點，的距離之積為定值，且曲線經過坐標原點，若點為曲線上一點，則（

）A．曲線的方程為B．點在曲線上C．D．【答案】BCD【分析】利用曲線經過坐標原點可得，利用兩點距離公式及條件化簡整理可判斷A；將點代入曲線方程可判斷B；利用的面積轉化得，通過檢驗可判定C；根據已知條件利用平面向量基本定理及余弦定理可判斷D．【詳解】對于A，因為曲線經過坐標原點，所以．因為點Px0,y0所以，整理得，所以曲線的方程為，所以A選項不正確；對于B，點的坐標滿足方程，所以B選項正確；對于C，的面積，所以，所以，當時，易得，存在符合題意的點，又Px0,y0可以在軸上，所以對于D，因為，則，即①，根據余弦定理可得，即②，聯立①②可得，即，即，所以D選項正確.故選：BCD．6．（24-25高三上·全國·課后作業）已知，過點且斜率不為零的直線交于，兩點，過點作交于，則；點的軌跡方程為．【答案】【分析】根據等腰三角形性質可得，即可得，再根據橢圓定義可得軌跡方程.【詳解】

如圖所示，由的方程得圓心，半徑為，因為，所以，又，所以，則，所以，又，所以，又斜率不為，所以點不在軸上，所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，且點不在軸上，則，，所以，即點的軌跡方程為，故答案為：，.7．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習）已知點是橢圓的一個焦點，且橢圓經過，兩點，則橢圓的另一個焦點的軌跡方程為．【答案】【分析】根據雙曲線的定義可求的軌跡方程.【詳解】由橢圓的定義可知，所以，因此點的軌跡是以、為焦點，實軸長為2的雙曲線的左支，故它的軌跡方程為．故答案為：.8．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐標系中B?2,0、．若A為動點且滿足，則動點的軌跡方程為．【答案】【分析】根據雙曲線的定義可求的軌跡方程.【詳解】因為，故的軌跡為雙曲線的右支（扣除頂點），且半焦距，實半軸長，故虛半軸長為，的軌跡方程為：.故答案為：.9．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習）如圖，軸，垂足為，點在的延長線上，且，當點在圓上運動時，點的軌跡方程為．【答案】【分析】設點的坐標為，點，可得，根據點在圓上即可求出．【詳解】解：設點的坐標為，點，由題意可知，則由題可得，即，點在圓上運動，，即點的軌跡方程為．故答案為：題型二：直線與圓錐曲線的位置關系易錯點05：直線與圓錐曲線的位置關系考慮不全出錯典例(2024·四川南部縣模擬)過點P(3,1)作直線l與拋物線y2＝－4x只有一個交點，這樣的直線l有________條()A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】當直線l斜率不存在時，l：x＝3，與拋物線無交點，不合題意；當直線l斜率為零時，l：y＝1，與拋物線有且僅有一個交點，滿足題意；當直線l斜率不為零時，x－3＝eq\f(1,k)(y－1)，即x＝eq\f(1,k)(y－1)＋3，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,k)y－1＋3，,y2＝－4x))得ky2＋4y＋12k－4＝0，則Δ＝16－4k(12k－4)＝0，解得k＝eq\f(1±\r(13),6)，∴滿足題意的直線l有兩條；綜上所述，過點P(3,1)與拋物線y2＝－4x只有一個交點的直線l有3條．【易錯剖析】本題容易忽略對斜率不存在、二次方程的二次項系數是否為零的討論.【避錯攻略】1．直線與圓錐曲線的位置關系(1)直線與圓錐曲線的位置關系有相交、相切、相離；相交有兩個交點(特殊情況除外)，相切有一個交點，相離無交點．(2)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0代入圓錐曲線C的方程．消去y(或x)得到一個關于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①當a≠0時，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有Δ＞0時，直線l與曲線C相交；Δ＝0時，直線l與曲線Ceq\o(□,\s\up1(5))相切；Δ＜0時，直線l與曲線C相離．②當a＝0時，即得到一個一次方程，則l與C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的eq\o(□,\s\up1(8))對稱軸平行或重合．2．圓錐曲線的弦長公式設直線與圓錐曲線的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(（1＋\f(1,k2)）[（y1＋y2）2－4y1y2])，k為直線斜率且k≠0.易錯提醒：在判斷直線和圓錐曲線的位置關系時，先聯立方程組，再消去x(或y)，得到關于y(或x)的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項系數等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應注意斜率不存在的情形．1．（24-25高三上·北京·階段練習）若直線與雙曲線恰好有一個交點，則直線的斜率的所有可能值為.【答案】或【分析】聯立直線方程和雙曲線方程，然后根據判別式來判斷交點個數.【詳解】將代入雙曲線方程中得到：，展開整理得.當時，即時，方程變為一次方程，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線恰好有一個交點.當時方程是二次方程，若直線與雙曲線恰好有一個交點，則判別式，展開得到：.進一步化簡為，則.解得.

綜上所得，直線的斜率的所有可能值或.2．（24-25高二上·河南南陽·階段練習）（多選）已知直線：，雙曲線：.以下說法正確的是（

）A．當時，直線與雙曲線只有一個公共點B．直線與雙曲線只有一個公共點時，或C．當或時，直線與雙曲線沒有公共點D．當時，直線與雙曲線有兩個公共點【答案】AC【分析】聯立直線與雙曲線得到關于x的一元二次方程，應用判別式并結合雙曲線性質判斷不同參數范圍對應直線與雙曲線的交點個數，即可得答案.【詳解】由直線方程知，直線過，雙曲線的漸近線為，所以時一個交點，聯立直線與雙曲線，得，則，當，即時直線與雙曲線相切，當，即或時沒有公共點，當且，即或或時兩個公共點.所以A、C對，B、D錯.故選：AC3．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習）已知橢圓，直線，若橢圓C上存在兩點關于直線l對稱，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對稱關系，求得直線的方程，代入橢圓方程，利用，求得的范圍，再根據的關系即可求m的取值范圍.【詳解】設設橢圓上存在關于直線對稱的兩點為,根據對稱性可知線段被直線垂直平分，且的中點在直線上，且，故可設直線的方程為，聯立，整理可得:，所以，由，可得，解得，所以因為的中點在直線上，所以，所以，所以，故選:C.1．（24-25高三上·北京·階段練習）過點且與拋物線恰有一個公共點的直線的條數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據拋物線的幾何性質，分當直線與軸平行時，直線與軸垂直時，和直線與坐標軸不平行時，三種情況，結合，即可求解.【詳解】當直線過點，且與軸平行時，此時直線與拋物線只有1個公共點；當直線過點，且與軸垂直時，此時直線與拋物線有2個公共點；當直線過點，斜率存在且不為0時，設直線，代入拋物線，得：，因為.由，因為，所以方程有兩根，故過點可以作兩條直線與拋物線相切.綜上，過點共有3條直線，與拋物線只有1個公共點.故選：D2．（24-25高二上·北京·階段練習）設直線與橢圓相交于、兩點，當變化時，線段的中點所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先通過聯立直線和橢圓方程，利用